中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 構(gòu)造直角三角形 解 三角形 問(wèn)題 的 創(chuàng)新解法 在解三角形 時(shí) ,若能根據(jù)題中 幾何 圖形的特點(diǎn) ,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造直角三角形 ,就可以充 分 利用直 角三角形 的性質(zhì) ,收到化難為易、事半功倍 、 出奇制勝 的效果 ,達(dá)到妙解三角形的目的 . 母題結(jié)構(gòu) :(直角三角形的判定 )如果三角形的三邊長(zhǎng) a、 b、 c 滿足 a2+b2=此 三角形 直角三角形 ; 一邊上的中線等于這一邊的一半的三角形是直角三角形 ; 如果一條 邊是 另 邊的一半 ,且較小邊 所對(duì)的角等于 300,或較大邊 所對(duì)的角等于 600,則此 此 三角形 直角三角形 . 解 題 程序 :利用直角三角形性質(zhì)解決問(wèn)題的關(guān)鍵是 挖 掘 圖中的 直角三角形 或 構(gòu)造直角三角形 ,其中 ,利用 直角三角形的判定 是挖 掘 圖中 直角三角形 的 常用方法 ,而 作三角形的高是構(gòu)造直角三角形 的常用方法 . 子題類型 :(2012 年安徽 高考試題 )設(shè) 內(nèi)角 A、 B、 C 所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為 a、 b、 c, 且有 2( )求角 A 的大小 ; ( )若 b=2,c=1,D 為 中點(diǎn) ,求 長(zhǎng) . 解析 :( )由 22+C)(0) 1,又由 A (0, ) A=3; ( )取 ,則 1b=1,1c=21, D=23,22 =27. 點(diǎn)評(píng) :利用直角三角形的判定 ,挖掘題圖中直角三角形 ,并運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是巧解三角形的有力方法 . 子題類型 :(2015 年 安徽 高考試 題 )在 , A=43, 2 ,點(diǎn) D 在 上 ,D,求 長(zhǎng) . 解析 :如圖 ,作 E, F,則 ,D E 是 中點(diǎn) E=3;又由 A=43, 2 F=3;由 F=F ;在 ,22 = 10 . 點(diǎn)評(píng) :作三角形的高是構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題的基本思想方法 ;三角形的一條高把三角形分割為兩個(gè)直角三角形 ,充分利用這兩個(gè)直角三角形的性質(zhì)和關(guān)系可 給出 問(wèn)題的 創(chuàng)新 解 法 . 數(shù) 的幾何意義 子題類型 :(2008 年全國(guó)高考試題 )設(shè) 內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a,b,c,且 ,. ( )求邊長(zhǎng) a; ( )若 =10,求 周長(zhǎng) l. 解析 :如圖 ,作 D,則 BD=,CD=;( )在 ,a=; ( )由 S=210 5 周長(zhǎng) l=5+5+2 5 =10+2 5 . 點(diǎn)評(píng) :本題的 解法為作者給出 ,優(yōu)于“標(biāo)準(zhǔn)答案” 給出 的 幾 種 解法 ;它 揭示了問(wèn)題的本質(zhì) 和命題手法 ,同 時(shí)也告訴我們 :在解三角形問(wèn) 題時(shí) ,可以根據(jù) 已知 條 件 中三角函數(shù)的幾何意義 作 直角 三角形 巧解問(wèn)題 . 1.(2013 年 課標(biāo) 高考試題 )如圖 ,在 , 00,3 ,P 為 一點(diǎn) , 00. ( )若 1,求 ( )若 500,求 2.(2013 年 課 標(biāo) 高考試題 ) ,D 是 的點(diǎn) ,分 D=2( )求 ( )若 00,求 B. 3.(2005 年湖北高考試題 )在 ,己知 3 ,1, 6 ,求 面積 . 4.(2015 年 陜西 高考試題 ) 內(nèi) 角 A,B,C 所對(duì)的邊 分別是 a,b,c,向量 m=(a, 3 b)與 n=(行 . ( )求 A; ( )若 a= 7 ,b=2,求 面積 . 5.(2014 年 山東 高考試題 )在 ,角 A,B,C 所對(duì)的邊分別是 a,b,a=3,6,B=A+2. ( )求 b 的值 ; ( )求 面積 . 6.(2012 年課標(biāo)高考試題 )已知 a、 b、 c 分別為 個(gè)內(nèi)角 A、 B、 C 的對(duì)邊 ,3 . ( )求 A; ( )若 a=2, 面積為 3 ,求 b、 c. ( )在 , 00,1 00 00 7; ( )設(shè) ,則 00在 ,由 00=在 ,由)150=0150 4 3 43 . ( )由 分 ;在 , , 1; ( )由 ( )知 , 00 B=300. 作 ,則 C 6 , 3 ;由 3 6 2 +8 3 . ( )由 m n a: 3 b=3 3 A=600; ( )作 ,由 b=2 ,3 ;又 由 a= 7 面積 =2133. 如圖 ,作 D,則 -(A+2)=6,BC=a=3 6 ; ( )由 6 3 2 ; ( )由