淺談高中數(shù)學(xué)不等式的證明方法姜堰市羅塘高級中學(xué) 李鑫摘要：不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識，本文介紹了幾種不等式的證明方法，并舉例進(jìn)一步加強(qiáng)對各種不等式的理解。關(guān)鍵字：比較法，分析法，綜合法，反證法，放縮法，數(shù)學(xué)歸納法，換元法，均值不等式，柯西不等式，導(dǎo)數(shù)法不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，因此在歷年高考中頗為重視。由于不等式的形式各異, 所以證明沒有固定的程序可循，技巧多樣，方法靈活，因此有關(guān)不等式的證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點之一。本文從不等式的各個方面進(jìn)行講解和研究。一比較法所謂比較法，就是通過兩個實數(shù)與的差或商的符號（范圍）確定與大小關(guān)系的方法，即通過“，；或，”來確定，大小關(guān)系的方法，前者為作差法，后者為作商法。例1 已知：，求證：.分析：兩個多項式的大小比較可用作差法證明 ，故得 .例2 設(shè)，求證：.分析：對于含有冪指數(shù)類的用作商法證明 因為 ，所以 ，.而 ，故 二分析法從求證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立，這種方法叫做分析法。例3：求證證明：為了證明原不等式成立，只需證明即 ，只需證明成立原不等式成立運(yùn)用分析法時，需積累一些解題經(jīng)驗，總結(jié)一些常規(guī)思路，這樣可以克服無目的的亂碰，從而加強(qiáng)針對性，較快地探明解題途。三綜合法 從已知或證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。例4：已知，求證：證明： 1= 又 四反證法從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的，這種證明方法叫做反正法.用反證法證明不等式時，必須將命題結(jié)論的反面的各種情形一一導(dǎo)出矛盾這里作一簡單介紹。反證法證明一個命題的思路及步驟：1）假定命題的結(jié)論不成立；2）進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來的假定“結(jié)論不成立”是錯誤的;4）肯定原來命題的結(jié)論是正確的。例5：已知，求證：至少有一個小于等分析：本題從正面考慮情況較多，可考慮選用反證法，“小于等于”的反面是“大于”“至少有一個”的反面是“一個也沒有”。證明：假設(shè)都大于，則 根據(jù)平均值不等式，有，同理 ，顯然矛盾.所以結(jié)論成立。五放縮法放縮法就是在證明過程中,利用不等式的傳遞性,作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小,證明比原不等式更好的不等式來代替原不等式的證明.放縮法的目的性強(qiáng),必須恰到好處, 同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及.否則不能達(dá)到目的。例6：設(shè)、是三角形的邊長，求證證明：由不等式的對稱性，不妨設(shè)，則 且， 六數(shù)學(xué)歸納法對于含有的不等式，當(dāng)取第一個值時不等式成立，如果使不等式在時成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時也成立，那么肯定這個不等式對取第一個值以后的自然數(shù)都能成立.例7 已知：，求證：.證明 （1）當(dāng)時，不等式成立；（2）若時，成立，則=，即成立.根據(jù)（1）、（2），對于大于1的自然數(shù)都成立.七換元法在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡化.例8： 已知：，求證：.證明 設(shè)，則， 所以 例9：已知，求證：。本題在前面綜合法中證明過，但觀察到已知條件中的，可考慮用換元法，設(shè).證明：， (求證式中分母含)可設(shè)，其中，其中，于是：當(dāng)時，分子取最小值，分母取最大值.八利用均值不等式均值不等式公式：（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）；（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）。均值不等式是高考中一個重要知識點，其變形多，約束條件“苛刻“（一正、二定，三相等）。例10： 已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 分析：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a，b，c的3次多項式，左側(cè)6項，右側(cè)6項，左和右積，具備均值不等式的特征。 證明: b2+c22bc, a0, a(b2+c2)2abc 同理，b(c2+a2)2bac, c(a2+b2)2cab, 又 因為a，b，c不全相等， 所以上述三個不等式中等號不能同時成立，因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc。例11.若，求證：證明：因為所以 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立九導(dǎo)數(shù)法當(dāng)屬于某區(qū)間，有，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減.推廣之，若證，只須證及即可.例 12 證明不等 ，證明 設(shè)則故當(dāng)時，遞增；當(dāng)遞減.則當(dāng)時， 從而證得 十利用柯西不等式設(shè)均為實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時成立.例13.若，求證：此題在前面用均值不等式解的，也可以用柯西不等式解答。證明： 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立不等式知識在高中尤為重要，在學(xué)術(shù)上也有很大的研究的余地，本文只是淺顯的舉例說明了一些關(guān)于不等式的內(nèi)容更深層的知識有待學(xué)者繼續(xù)研究。參考文獻(xiàn)1 傅榮強(qiáng)，于長軍.龍門專題高中數(shù)學(xué)不等式 M.龍門書局出版社，2