單元檢測七數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法(時間：120分鐘滿分：150分)第卷(選擇題共40分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，若S2163，則a7a11a15等于()A6B9C12D15答案B解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，則由S2163，得21a1210d63，即a110d3，所以a7a11a153a130d3(a110d)9，故選B.2已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足(a1a2a3a4a5)0，且a6，則數(shù)列an的前9項(xiàng)和為()A7B8C7D8答案C解析由(a1a2a3a4a5)0，得a1a2a3a4a5a1，所以a31.又a6，所以公比q，a14，故S947，故選C.3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN*)時，第一步驗(yàn)證n1時，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A1B12C123D1234答案D解析當(dāng)n1時，左邊應(yīng)為12(13)，即1234，故選D.4等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S20180，S20190，且對任意正整數(shù)n都有|an|ak|，則正整數(shù)k的值為()A1008B1009C1010D1011答案C解析由S20190，得a10100，得a1009a10100，a1009a1010|a1010|.又d1010時，|an|a1010|，n|a1010|，k1010.5用數(shù)學(xué)歸納法證明“(nN*)”時，由nk到nk1時，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是()A.B.C.D.答案C解析分別代入nk，nk1，兩式作差可得左邊應(yīng)添加項(xiàng)當(dāng)nk時，左邊為，當(dāng)nk1時，左邊為，所以增加項(xiàng)為兩式作差得，故選C.6設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11,2Snan11，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan3nBan3n1Can2nDan2n1答案B解析因?yàn)?Snan11，所以2a1a21，又a11，所以a23.由題知當(dāng)n2時，2Sn1an1，所以2anan1an，易知an0，所以3(n2)，當(dāng)n1時，也符合此式，所以an是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an3n1(nN*)，故選B.7已知數(shù)列an中，a1，且對任意的nN*，都有an1成立，則a2020的值為()A1B.C.D.答案C解析由題得a1；a2；a3；a4，數(shù)列an為周期數(shù)列，且a1a3a5a2n1(nN*)，a2a4a6a2n(nN*)，所以a2020，故選C.8設(shè)數(shù)列an滿足a1，且對任意的nN*，都有an2an3n，an4an103n，則a2021等于()A.B.2C.D.2答案A解析因?yàn)閷θ我獾膎N*，滿足an2an3n，an4an103n，所以103n(an4an2)(an2an)3n23n103n，所以an4an103n.因?yàn)閍2021(a2021a2017)(a2017a2013)(a5a1)a110(32017320133)10.9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a10，常數(shù)0，且a1anS1Sn對一切正整數(shù)n都成立，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()A.B.C.D.答案A解析令n1，則a2S12a1，即a1(a12)0，因?yàn)閍10，所以a1，所以2anSn，當(dāng)n2時，2an1Sn1，得2an2an1an，即an2an1(n2)，所以an是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an2n1(nN*)，當(dāng)n1時，也符合此式，故選A.10記f(n)為最接近(nN*)的整數(shù)，如：f(1)1，f(2)1，f(3)2，f(4)2，f(5)2，.若4038，則正整數(shù)m的值為()A20182019B20192C20192020D20202021答案C解析設(shè)x，nN*，f(x)n，則nn，所以n2nx的最大正整數(shù)n為_答案2n5解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知可得解得故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.Sna1，.得a111，所以Sn，由Sn，得0n5且nN*，故最大正整數(shù)n為5.16已知在首項(xiàng)都為2的數(shù)列an，bn中，a2b24,2an1anan2，bn1bn32n1，且bnZ，則bn_，數(shù)列的前n項(xiàng)和為_答案2n2n1解析由2an1anan2，知數(shù)列an是等差數(shù)列，因?yàn)閍12，a24，所以an的公差為2，所以an2n.由bn1bn2n，得bn2bn12n1，所以bn2bn32n1，且bnZ，所以bn2bn32n，又b12，b24，當(dāng)n2k1(k2)時，bn(bnbn2)(bn2bn4)(b3b1)b13(2n22n4232)23222k12n，n1時也成立；當(dāng)n2k(k2)時，bn(bnbn2)(b4b2)b23(2n22n4244)44k2n，n2時也成立所以bn2n.所以2n1，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為2n1.17若正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足(a6a5a4)(a3a2a1)49，則a9a8a7的最小值為_答案196解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q，則(q31)(a3a2a1)49，顯然q310，所以a3a2a1，a9a8a749494196，當(dāng)且僅當(dāng)q31，即q32時等號成立，故a9a8a7的最小值為196.三、解答題(本大題共5小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)18(14分)(2019杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足3Sn4an2(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)3Sn4an2，當(dāng)n2時，3Sn14an12，得3an4(anan1)，所以an4an1，即4.又3S14a12，所以a12，所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以an24n122n1(nN*)(2)因?yàn)閎nan22n112n，所以，所以Tn(nN*)19(15分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Snn2an(nN*)(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnn(an1)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.(1)證明當(dāng)n1時，2a1S11，則a11.由題意得2anSnn,2an1Sn1(n1)，兩式相減得2an12anan11，即an12an1.于是an112(an1)，又a112，所以數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以an122n12n，即an2n1，nN*.(2)解由(1)知，bnn2n，所以Tn12222n2n，2Tn122223n2n1，兩式相減得Tn222232nn2n1n2n1(1n)2n12，所以Tn(n1)2n12.20(15分)已知等比數(shù)列an的公比為q(0q1)，且a2a5，a3a4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnan(log2an)，求bn的前n項(xiàng)和Tn；(3)設(shè)該等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，正整數(shù)m，n滿足，求出所有符合條件的m，n的值解(1)方法一由已知得解得ann2，nN*.方法二由等比數(shù)列的性質(zhì)，知a2a5a3a4，a2a5，a2，a5是x2x0的兩個根，0qa5，a21，a5，又a5a2q3，q，ana2qn21n2n2，nN*.(2)由(1)可得，bn(2n)，Tn10(1)(2n)，Tn10(3n)(2n)，兩式相減得Tn2(n2)2(n2)，Tn，nN*.(3)Sn4，由，得22n(4m)0，由，得，.(2)由(1)得(n1)an2nan，.令bnnan，則bnbn1nan(n1)an1n1，當(dāng)n2時，bn1bnn，由b1a11，b22，易得bn0，由，得