3 計(jì)算導(dǎo)數(shù) 對(duì)于函數(shù)yx22x.問(wèn)題1：如何求f(1)?提示：f(1) .問(wèn)題2：如何求f(x)?提示：f(x) .問(wèn)題3：f(x)與f(1)有什么關(guān)系？提示：f(1)可以認(rèn)為把x1代入導(dǎo)函數(shù)f(x)得到的值1導(dǎo)函數(shù)若一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f(x)：f(x) 則f(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱(chēng)f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)2導(dǎo)數(shù)公式表(其中三角函數(shù)的自變量單位是弧度)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)yc (c是常數(shù))y0ysin xycos_xyx(為實(shí)數(shù))yx1ycos xysin_xyax (a0，a1)yaxln_a，特別地(ex)exytan xyyloga x (a0，a1)y，特別地(ln x)ycot xy1導(dǎo)數(shù)公式表中(ax)axln a與(logax)較易混淆，要區(qū)分公式的結(jié)構(gòu)特征，找出它們之間的差異去記憶2f(x)與f(x0)既有區(qū)別，又有聯(lián)系，f(x)是導(dǎo)函數(shù)，f(x0)是當(dāng)xx0時(shí)導(dǎo)函數(shù)f(x)的一個(gè)函數(shù)值，是一個(gè)確定的值 利用導(dǎo)函數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)例1一運(yùn)動(dòng)物體的位移s(單位：m)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s(t)t2t.求s(0)，s(2)，s(5)，并說(shuō)明它們的意義思路點(diǎn)撥先求出s(t)的導(dǎo)函數(shù)，然后分別把t0,2,5代入即可精解詳析由題意ss(tt)s(t)(tt)2(tt)(t2t)(t)22ttt.t2t1.當(dāng)t趨于0時(shí)，可以得出導(dǎo)函數(shù)為s(t) (t2t1)2t1.因此，s(0)2011，它表示物體的初速度為1 m/s；s(2)2215，它表示物體在第2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為5 m/s；s(5)25111，它表示物體在第5 s時(shí)的瞬時(shí)速度為11 m/s.一點(diǎn)通利用定義求函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的一般步驟：(1)確定函數(shù)yf(x)在其對(duì)應(yīng)區(qū)間上每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)；(2)計(jì)算yf(xx)f(x)；(3)當(dāng)x趨于0時(shí)，得到導(dǎo)函數(shù)f(x) .1已知函數(shù)f(x)x2x，則f(x)()A1B2C2x D2x1解析：f(x) (2xx1)2x1.答案：D2求函數(shù)f(x)2x24x的導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)函數(shù)f(x)求f(3)的值解：f(x) (4x2x4)4x4，f(3)43416.利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yx；(2)ylog3x；(3)y；(4)y5x.思路點(diǎn)撥先對(duì)函數(shù)式進(jìn)行必要的化簡(jiǎn)，再選擇導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解精解詳析(1)yxx，y(x)x.(2)y(log3x).(3)ytan x，y(tan x).(4)y(5x)5xln 5.一點(diǎn)通求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有兩種基本方法：(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、降低運(yùn)算難度解題時(shí)根據(jù)所給函數(shù)的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式如將根式、分式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，利用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)3若f(x)，則f(1)()A0BC3 D.解析：f(x)(x)x，f(1).答案：D4給出下列結(jié)論：(cos x)sin x；cos；若y，則y； .其中，正確的命題序號(hào)是_解析：因?yàn)?cos x)sin x，所以錯(cuò)誤；sin，而0，所以錯(cuò)誤；(x2)2x3，所以錯(cuò)誤；(x)x，故正確答案：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3(1)若直線l過(guò)點(diǎn)A(0，1)且與曲線yx3切于點(diǎn)B，求B點(diǎn)坐標(biāo)(2)若直線l與曲線yx3在第一象限相切于某點(diǎn)，切線的斜率為3，求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積思路點(diǎn)撥(1)可設(shè)出切點(diǎn)為(x0，x)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率公式建立關(guān)于x0的方程求解(2)先求切線的方程，從而求出切線與x，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求三角形的面積精解詳析(1)y3x2，設(shè)B(x0，x)(x00)，則切線斜率k3x.又直線l過(guò)點(diǎn)(0，1)，k.3x，2x1，x0，x，B.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x)(x00)，則該切線斜率為3x.3x3，x01，則切點(diǎn)為(1,1)直線l的方程為：y13(x1)直線l與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為(0，2)，直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S.一點(diǎn)通利用導(dǎo)數(shù)公式可快速求出函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即為該點(diǎn)處切線的斜率在求切線的方程時(shí)，要注意點(diǎn)(x0，y0)處的切線與過(guò)(x0，y0)的切線的區(qū)別：前者(x0，y0)為切點(diǎn)，后者(x0，y0)不一定是切點(diǎn)5設(shè)曲線f(x)xn1(nN)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令anlg xn，則a1a2a99_.解析：由于f(1)n1，曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線為y1(n1)(x1)，令y0，得xxn，anlg ，原式lglglg lglg 2.答案：26求曲線y過(guò)點(diǎn)(3,2)的切線方程解：點(diǎn)(3,2)不在曲線y上，設(shè)過(guò)(3,2)與曲線y相切的直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0.y，y(x)x1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)(x0，y0)處的切線斜率k.切線過(guò)點(diǎn)(3,2)，整理得()2430，解得x01，x09，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)或(9,3)當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)時(shí)，切線斜率k，切線方程為y2(x3)，即x2y10.當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為(9,3)時(shí)，切線斜率k，切線方程為y2(x3)，即x6y90.綜上可知，曲線y過(guò)點(diǎn)(3,2)的切線方程為：x2y10或x6y90.1熟記導(dǎo)數(shù)公式表，必要時(shí)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)2計(jì)算f(x0)時(shí)，可先求f(x)，再將xx0代入3直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)是直線與曲線的公共點(diǎn)，切線的斜率是曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 1若f(x)log3x，則f(3)等于()A.Bln 3C. D.解析：f(x)，f(3).答案：C2曲線f(x)ex在點(diǎn)A(0,1)處的切線斜率為()A1 B2Ce D.解析：f(x)ex，f(x)ex，f(0)1.即曲線f(x)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為1.答案：A3給出下列結(jié)論：若y，則y；若y，則y；若f(x)sin ，則f(x)cos ；若f(x)3x，則f(1)3.其中，正確的個(gè)數(shù)是()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：對(duì)于y，yxx，故錯(cuò)；對(duì)于f(x)sin ，為常數(shù)函數(shù)，f(x)0，故錯(cuò)；都正確答案：B4已知f(x)logax(a1)的導(dǎo)函數(shù)是f(x)，記Af(2)，Bf(3)f(2)，Cf(3)，則()AABC BACBCBAC DCBA解析：記M(2，f(2)，N(3，f(3)，則由于Bf(3)f(2)表示直線MN的斜率，Af(2)表示函數(shù)f(x)loga x在點(diǎn)M處的切線的斜率，Cf(3)表示函數(shù)f(x)loga x在點(diǎn)N處的切線的斜率由f(x)的圖像易得ABC.答案：A5設(shè)直線yxb是曲線f(x)ln x(x0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)解析：f(x)(ln x)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由題意得，則x02，y0ln 2，代入切線方程yxb，得bln 21.答案：ln 216f(x)cot x，則f_.解析：f(x)，f2.答案：27求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y2；(2)y；(3)y10x；(4)ylogx；(5)y2cos21.解：(1)c0，y20.(2)(xn)nxn1，y()(x)xx .(3)(ax)axln a，y(10x)10xln 10.(4)(logax)，y(logx).(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.8若曲線f(x)x在點(diǎn)(a，