有理數(shù)的概念撰稿：占德杰審稿：張揚(yáng)責(zé)編：孫景艷一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念，會(huì)用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量。掌握一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的求法和性質(zhì)，學(xué)習(xí)使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解相反數(shù)的幾何意義，會(huì)借助數(shù)軸比較有理數(shù)的大小。掌握一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的求法和性質(zhì)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對(duì)值的幾何意義。重點(diǎn)：有理數(shù)的概念及其分類(lèi)，相反數(shù)的概念及求法，絕對(duì)值的概念及求法，數(shù)軸的概念及應(yīng)用；有理數(shù)比較大小難點(diǎn)：絕對(duì)值的概念及求法，尤其是用字母表示的時(shí)候的意義。運(yùn)用數(shù)軸理解絕對(duì)值的幾何意義。有理數(shù)比較大小的方法的掌握。二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：負(fù)數(shù)的引入要點(diǎn)詮釋?zhuān)赫龜?shù)和負(fù)數(shù)是根據(jù)實(shí)際需要而產(chǎn)生的，隨著社會(huì)的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過(guò)的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實(shí)際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下6等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的的量規(guī)定為負(fù)的，這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù)。用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù)。知識(shí)點(diǎn)二：正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）像3、1.5、584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)，在小學(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)，除0以外都是正數(shù)，正數(shù)比0大。（2）像3、1.5、584等在正數(shù)前面加“”(讀作負(fù))號(hào)的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)比0小。（3）零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。注意：（1）為了強(qiáng)調(diào)，正數(shù)前面有時(shí)也可以加上“”（讀作正）號(hào)，例如：3、1.5、也可以寫(xiě)作3、1.5、。（2）對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡(jiǎn)單理解為：帶“”號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)。例如：a一定是負(fù)數(shù)嗎？答案是不一定。因?yàn)樽帜竌可以表示任意的數(shù)，若a表示的是正數(shù)，則a是負(fù)數(shù)；若a表示的是0，則a仍是0；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，a就不是負(fù)數(shù)了（此時(shí)a是正數(shù)）。知識(shí)點(diǎn)三：有理數(shù)的有關(guān)概念要點(diǎn)詮釋?zhuān)?、有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。注：（1）有時(shí)為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù)，這時(shí)的分?jǐn)?shù)包括整數(shù)。但是本節(jié)中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù)。（2）因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示，所以我們把有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)。（3）“0”即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但“0”是整數(shù)。2、整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。例如：1、2、3、0、1、2、3等等。3、分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，例如：、0.6、0.6等等。知識(shí)點(diǎn)四：有理數(shù)的分類(lèi)要點(diǎn)詮釋?zhuān)?、按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類(lèi)：2、按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類(lèi)：注：通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱(chēng)為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱(chēng)為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱(chēng)為非負(fù)整數(shù)（也叫做自然數(shù)），負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱(chēng)為非正整數(shù)。如果用字母表示數(shù)，則a0表明a是正數(shù)；a0表明a是負(fù)數(shù)；a0表明a是非負(fù)數(shù)；a0表明a是非正數(shù)。知識(shí)點(diǎn)五：數(shù)軸的概念要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂?guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸數(shù)軸的定義包含三層含義：（1）數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無(wú)限延伸；（2）數(shù)軸有三要素原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，三者缺一不可；（3）原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長(zhǎng)度大小的確定，都是根據(jù)實(shí)際需要“規(guī)定”的（通常取向右為正方向）。知識(shí)點(diǎn)六：數(shù)軸的畫(huà)法要點(diǎn)詮釋?zhuān)?、畫(huà)一條直線（一般畫(huà)成水平的直線）。2、在直線上選取一點(diǎn)為原點(diǎn)，并用這點(diǎn)表示零（在原點(diǎn)下面標(biāo)上“0”）。3、確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來(lái)。4、選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示為1，2，3；從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示為1，2，3注：（1）原點(diǎn)的位置、單位長(zhǎng)度的大小可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)選??；（2）確定單位長(zhǎng)度時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況，有時(shí)也可以每隔兩個(gè)(或更多的)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，從原點(diǎn)向右，依次表示為2，4，6，；從原點(diǎn)向左，依次表示為2，4，6，；知識(shí)點(diǎn)七：數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，反過(guò)來(lái)，不能說(shuō)數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù)。要點(diǎn)詮釋?zhuān)赫欣頂?shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示。知識(shí)點(diǎn)八：利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸跀?shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)九：相反數(shù)的概念1、相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。2、相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)（除了符號(hào)不同以外完全相同），我們說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）“只”字是說(shuō)僅僅是符號(hào)不同，其它部分完全相同；（2）相反數(shù)是數(shù)，不是量；（3）相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的。知識(shí)點(diǎn)十：相反數(shù)的表示方法要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂话愕?，?shù)a的相反數(shù)是a。這里a表示任意的一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、或者0。知識(shí)點(diǎn)十一：多重符號(hào)的化簡(jiǎn)把多重符號(hào)化成單一符號(hào)，如果是正號(hào)，則可以省略不寫(xiě)，實(shí)際上，多重符號(hào)的化簡(jiǎn)是由“-”的個(gè)數(shù)來(lái)定，若“-”個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，如-(-4)=4；若“-”個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù)，如-+-(-4)=-4。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?、在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”號(hào)，仍然與原數(shù)相同，如55，（5）5。2、在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”號(hào)，就成為原數(shù)的相反數(shù)。如（3）就是3的相反數(shù)，因此，（3）3。知識(shí)點(diǎn)十二：絕對(duì)值的概念要點(diǎn)詮釋?zhuān)?、絕對(duì)值的幾何定義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，數(shù)a的絕對(duì)值記作“”2、絕對(duì)值的代數(shù)定義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。即知識(shí)點(diǎn)十三：兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的比較要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂驗(yàn)閮蓚€(gè)負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是：絕對(duì)值較大的負(fù)數(shù)一定在絕對(duì)值較小的負(fù)數(shù)的左邊，所以，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的方法是：一、先分別求出這兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；二、比較這兩個(gè)絕對(duì)值的大小；三、根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷。知識(shí)點(diǎn)十四：有理數(shù)大小的比較法則要點(diǎn)詮釋?zhuān)赫龜?shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。三、規(guī)律方法指導(dǎo)有理數(shù)與小學(xué)所學(xué)的數(shù)，主要區(qū)別在于負(fù)數(shù)。有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，任何一個(gè)有理數(shù)都能在數(shù)軸上找到表示它的位置，而是唯一確定的點(diǎn)。數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示三類(lèi)數(shù)。在數(shù)軸上表示零的點(diǎn)稱(chēng)做原點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)為界，正有理數(shù)（正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)）用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)來(lái)表示；負(fù)有理數(shù)（負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)來(lái)表示，這就說(shuō)明，數(shù)軸是有方向的。由于數(shù)軸規(guī)定了方向，因而在數(shù)軸上排列著的數(shù)就是有順序的。從左到右一個(gè)數(shù)比一個(gè)數(shù)大。即數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。在數(shù)軸上，原點(diǎn)左、右兩邊距離原點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)所表示的有理數(shù)，它們只有符號(hào)不同，這樣的一對(duì)數(shù)稱(chēng)為互為相反數(shù)。如果數(shù)軸上的點(diǎn)只考慮它到原點(diǎn)的距離，而不考慮它的正、負(fù)方向的數(shù)，則表示這個(gè)