華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 在生態(tài)學(xué)的研究中，考察生物種群數(shù)量的發(fā)展已經(jīng)成為一個重要的課題而在種 群發(fā)展的系統(tǒng)中時滯的影響是常常存在的一般而言，含有時滯的模型有兩類，一類 是含有離散時滯的l o g i s t i c 模型；另一類是含有無窮時滯的v o l t e r r a 模型我們在本 文中所要考察的正是這兩類模型( 而和以前的研究者不同之處是我們更多關(guān)注了系統(tǒng) 的漸近周期性，即當(dāng)方程的系數(shù)發(fā)生周期性變化時，其相應(yīng)初一邊值問題的解從漸近 形態(tài)上看是否收斂到某一個周期函數(shù)? 我們采用的是單調(diào)性方法，而最關(guān)鍵的是論證邊值問題的周期解的存在唯一性 對于任意給定的時滯，以前的研究者們只得到周期擬解，卻得不到周期解我們由擬 解出發(fā)，應(yīng)用做差、積分、放縮估計的方法得到了關(guān)于周期解存在唯一的一些充分條 件。當(dāng)然在處理過程中依照邊界條件的不同而有所不同 f 而我們的研究又是基于h e s sp 于 3 9 1 中給出的結(jié)果我們所提的條件也是基于 對一的第一特征值與系數(shù)a ( t ，x ) 進(jìn)行比較得來的相應(yīng)的對于n e u m a n n 邊界條 件，其條件的提出更直觀一些，也就是說邊值問題的周期解存在唯一的條件只和方程 的系數(shù)有關(guān)從而只要方程的系數(shù)滿足一定關(guān)系就可以保證系統(tǒng)的解產(chǎn)生有規(guī)律的周 期性振蕩。但是對于d i r i c h l e t 和r o b i n 邊界條件，處理起來就不那么容易了經(jīng)過 深入的探討，我們發(fā)現(xiàn)把事先得到的上、下周期函數(shù)和系數(shù)一同進(jìn)行考察問題就解決 了雖然條件的提出不夠直觀，但是從理論上已經(jīng)得到了完善不僅如此，我們給出 的數(shù)值模擬結(jié)果也很好的說明了這一點(diǎn)另外一個方面，對于l o g i s t i c 模型來說，時 滯對系統(tǒng)到底會產(chǎn)生什么樣的影響呢? 時滯的大小對于系統(tǒng)的振蕩性影響會有什么不 同呢? 我們就這些問題也做出了相應(yīng)的探討夕移 本文安排如下：第一章是序論部分介紹問題的生物學(xué)背景；概述l o g i s t i c 模型 和v o l t e r r a 模型的研究歷程并提出我們的新研究課題；另外還給出了研究所需的基 礎(chǔ)理論。第二章是關(guān)于l o g i s t i c 模型的漸近周期性問題主要是論述相應(yīng)邊值問題周 期解的存在唯一性以及時滯的影響估計另外還給出了某些數(shù)值結(jié)果第三章是關(guān)于 v o l t e r r a 模型的漸近周期性問題先討論邊值問題周期擬解的存在性再考察周期解的 存在性，另外還給出其相應(yīng)漸近性的塑笪趔結(jié)果第四章給出了總結(jié)和思考，提出 了一些可以進(jìn)一步研究的新問題 i 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t i nt h es t u d yo fe c o l o g y ，t oc o n s i d e rt h ep o p u l a t i o nd e v e l o p m e n to fs p e c i e si sav e r y i m p o r t a n ts u b j e c t a n di nt h e s es y s t e m st h e r ea l w a y se x i s t st h ea f f e c t i o no ft i m e d e l a y i nc o m m o n ，t h em o d e l sw i t ht i m e d e l a ya r eo ft w ot y p e s o n ei st h el o g i s t i cm o d e l w i t hd i s c r e t ed e l a y ，a n da n o t h e ri st h ev o l t e r r am o d e lw i t hi n f i n i t ed e l a y i nt h i sp a p e r o u rm a i na i mi st os t u d yt h e s et w om o d e l s w h a td i f f e rf r o mt h a to ft h er e s e a r c h e r s i nt h ep a s ti st h ec o n s i d e r a t i o no ft h ea s y m p t o t i cp e r i o d i c i t yo ft h es y s t e m s t h a ti s ， i nt h ec a s et h a tt h ec o e f f i c i e n t so ft h ee q u a t i o nv a r yp e r i o d i c a l l y ，i ft h es o l u t i o no ft h e i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m c a nc l o s et oap e r i o d i cf u n c t i o ni nt h el o n gr u n ? w ea d o p tt h em o n o t o n em e t h o di nt h i sp a p e r ，a n dt h ek e ys t e pi st oa r g u et h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o r e v e r yg i v e nt i m e d e l a y ，t h er e s e a r c h e r si nt h ep a s tc a no n l yo b t a i nt h ep e r i o d i cq u a s i s o l u t i o n s ，b u tt h e yc a n to b t a i nt h er e a lp e r i o d i cs o l u t i o n s w es t a r tf r o md e a l i n gw i t h t h eq u a s i s o l u t i o n s ，a n dg e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o ft h ep e r i o d i cs o l u t i o nb yas u i t a b l em e t h o d - - t os u b t r a c t ，t oi n t e g r a t e ，t oz o o i no u t a n dz o o mi nf o re s t i m a t i o n c e r t a i n l y , t h ed e t a i lm e t h o d sw i l lb ed i f f e r e n tf o rt h e v a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s o u rb a s i ci d e a sc o m ef r o mt h er e s u l t sg i v e nb yh e s s 尸i n 3 9 1 t h ec o n d i t i o n sw e g e ta r eb a s e do nt h ec o m p a r i n g o f a ( t ，z ) a n dt h ef i r s te i g e n v a l u eo f 一a c c o r d i n g l y ， t h ec o n d i t i o n sf o rt h en e u m a n n b o u n d a r yc a nb ee a s i l yc h e c k e d ，t h i si s ，t h ec o n d i t i o n s f o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f p e r i o d i cs o l u t i o n si nt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi s o n l yr e l a t e dt ot h ec o e f f i c i e n t si nt h es y s t e m s oi ft h ec o e f f i c i e n t ss a t i s f ys o m ek i n do f c o n d i t i o n s ，t h es y s t e mm a ys u r g ep e r i o d i c a l l y b u tf o rt h ed i r i c h l e ta n dr o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h ep r o b l e m sa r en o te a s yt od e a lw i t h f o r t u n a t e l y ，w ec a nc o n s i d e r t h e s ep r o b l e m sb yp u t t i n gt h eu p p e ra n dl o w e rp e r i o d i cf u n c t i o n si n t oc o n s i d e r a t i o n i i 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 t h o u g ht h ec o n d i t i o n sc a nn o tb e c h e c k e de a s i l y ，i ti ss u f f i c i e n ti nt h et h e o r y - a tt h e s a m et i m e 、o u rn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sc a na l s os h o wt h et r u t h m o r e o v e r ，f o rt h el o g i s t i cm o d e l w h a te f f e c t sd ot h et i m e d e l a yp u to n t h es y s t e m ? w h a te f f e c t sd ot h e s i z eo ft i m e d e l a yp u to nt h ev i b r a t i o no ft h es y s t e m ? i n t h i sp a p e r ，w ea l s om a k eo u r e f f o r tt os o l v et h e m w e a r r a n g et h i sp a p e ra s o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb i o l o g yb a c k g r o u n d ，t a l ka b o u tt h eh i s t o r yo ft h e s t u d yi nl o g i s t i ca n d v o l t e r r am o d d sa n dg i v eo u tt h en e ws u b j e c t sf o rf u r t h e rs t u d y m o r e o v e r ，w ea l s ol i n eo u tt h eu s e f u lf u n d a m e n t a l t h e o r e m s i nc h a p t e r2 ，w ew i l ls t u d yt h ea s y m p t o t i cp e r i o d i c i t yo ft h el o g i s t i cm o d e l a n d t h em a i na i mi st or e v e a lt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n st o b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mm o r e o v e r ，t h ea f f e c t i o no ft i m e d e l a yi s a l s os t u d i e d i nt h e e n d ，w eg i v es o m en u m e r i c a lr e s u l t sa sa p p l i c a t i o n i n c h a p t e r3 ，w ew i l ls t u d yt h ea s y m p t o t i cp e r i o d i c i t yo ft h e v o l t e r r am o d e l a n dt h em a i na i mi st or e v e a lt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fq u a s i s o l u t i o n s ，f u r t h e r m o r e ，t or e v e a lt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n st ot h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s m o r e o v e r ，w ea l s og i v es o m en u m e r i c a lr e s u l t sf o rt h es i m u l a t i o no f a s y m p t o t i cp e r i o d i c i t y i nc h a p t e r4 ，w eg i v et h es u m m a r ya n dt h et h o u g h t ，a l s os e to u ts o m en e w p r o b l e m sf o rf u r t h e rs t u d y k e yw o r d s ：l o g i s t i c v o l t e r r a p e r i o d i c i t ya s y m p t o t i c t i m ed e l a ye x i s t e n c e u n i q u e n e s s i l l 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 生物學(xué)背景 1 緒論 在生物科學(xué)的研究中生態(tài)學(xué)是一個重要的分支，它主要研究生物種群、群落和生 物圈以及生物體的生存與環(huán)境的關(guān)系而這種在一定環(huán)境下的生態(tài)系統(tǒng)往往可以通過 一個數(shù)學(xué)的模型來描述從實踐中得出一個比較準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，并能通過數(shù)學(xué)的計 算和理論分析，我們就可以更好的了解生態(tài)系統(tǒng)并能達(dá)到人類對某些生態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行控 制的目的 鑒于生態(tài)系統(tǒng)的復(fù)雜性，首先產(chǎn)生的是單種群模型( 參考【卜5 】) 當(dāng)然純粹的單 一種群是沒有的，某一個種群在自然界中都屬于某一個層次，常常存在著它的高一層 次的捕食者，同一層次的競爭者和低一層次的食物供應(yīng)者但是我們可以把其它層次 種群的存在和自然環(huán)境因素都?xì)w結(jié)于模型的參數(shù)，概括為其“內(nèi)稟增長率”、“容納 量”等，這樣使得問題簡化，可以便于對基本原理的研究特別地對于壽命比較長、世 代重疊的種群，而且當(dāng)其數(shù)量很大時，其數(shù)量隨時問的變化常常可以近似地看成一個 連續(xù)過程，從而可以引入微分方程模型來研究對于這種連續(xù)時間的模型我們常常不 是研究種群總數(shù)量的變化規(guī)律，而是研究其密度的變化規(guī)律而這又分為兩種情況： ( 1 )如果所研究的種群在空間中的密度分布大致均勻，這時的數(shù)學(xué)模型將是 一個常微分方程 ( 2 )如果所研究的種群在空間中的密度分布是不均勻，而且種群可以由高密 度向低密度流動，這時的數(shù)學(xué)模型將是一個偏微分方程 1 2 研究狀況 最早是英國科學(xué)家馬爾薩斯( m a l t h u s1 7 6 6 - 1 8 3 4 ) 提出的人口發(fā)展模型： 掣：。p ( t ) ( 1 1 ) 出 p ( t o ) = p o ，( 1 2 ) 1 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 其中常數(shù)a 代表人口的凈增長率，p ( t ) 代表t 時刻的人口密度相應(yīng)得此常微分方程 的解為p ( t ) = p o e 4 ( 川”，它與1 7 0 0 1 9 6 1 年的人口數(shù)目擬和的較好但此模型有明顯 的不足，即當(dāng)t _ o o 時，p ( t ) _ + o 。 1 8 3 7 年荷蘭生物學(xué)家v e r h u l s t 指出m a l t h u s 模型的不足在于只考慮到繁衍增長 而未看到種內(nèi)競爭，他考慮到了單種群成員間的沖突乃至殘害現(xiàn)象，并提出了單種群 的l o g i s t i c 模型： a l p t _ _ _ 2 ：p ( t ) ( 口一印( t ) ) (13)dt ，、。，、一。，、。，、” p ( t o ) = p o ( 1 4 ) 相應(yīng)的此微分方程的解為 此，= 商翁， 且有2 驄p ( ) 2 ；據(jù)文獻(xiàn)記載，美國、法國等都曾用此公式預(yù)報過人口，其結(jié)果比較 符合實際此模型又可以寫成如下形式： 蚴d t = n u ( t ) ( 1 塑k ) ( 15 ) ”、”，、， 、1u j u ( t o ) = 7 1 0 ， ( 1 6 ) 其中。為內(nèi)在增長率，札( t ) ( 1 一警) 稱為有效增長率此方程有個平衡點(diǎn)札( t ) = ， 此即為因環(huán)境資源的有限性及相應(yīng)種內(nèi)的斗爭而限制了種群數(shù)量的發(fā)展，此平衡點(diǎn)即 為可容納的最大種群密度 c u s h i n g j m 及k a k u t a n i s m a r k u s l 等人( 參考【6 7 ) ，研究了如下的時滯 l o g i s t i c 方程： 百d u ( t ) = 。u ( f ) ( 1 一掣) 吲崎) ( 1 7 ) 亂( ) = i t 0 ，t 【一7 - ，o 】， ( 1 8 ) 其中時滯7 為某正常數(shù)，此模型考慮到了時間滯后性的因素而引起時滯的因素有很 多，例如：鳥類的孵化周期、哺育動物的妊娠期以及食物供給的遲緩補(bǔ)充等 一 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 以上都是常微分方程模型，但是在實際的生態(tài)環(huán)境中物種在空間上的密度分布往 往不均衡在生物的動態(tài)行為中就空間上來說，一個物種( 例如某種動物) ，當(dāng)種群密 度大的地方食物缺乏時，自然會有一些個體向種群密度小的地方遷移，而這種遷移也 影響著本物種的種群數(shù)量發(fā)展，這便導(dǎo)致了偏微分方程模型假定一個物種在某個有 界區(qū)域q 上生存，則區(qū)域邊界a q 上的種群分布情況也影響著該物種種群密度的發(fā) 展當(dāng)此區(qū)域足夠大以至于個體的遷移不會跑出該區(qū)域時，這便產(chǎn)生了n e u m a n n 邊 界條件： 舞= 0 ，其中n 代表外法線方向；當(dāng)在邊界上沒有個體存在時，便產(chǎn)生了 d i r i c h l e t 邊界條件：讓= 0 ；或者能夠確定出在邊界上遷入和遷出個體的某種數(shù)量關(guān) 系時，便產(chǎn)生了所謂的r o b i n 邊界條件：豪+ 7 ( z ) 亂。 ( f ，z ) ，其中7 和h 都是確定 的函數(shù) 基于以上考慮，在l o g i s t i c 模型( 1 3 ) ( 1 4 ) 的基礎(chǔ)上，v e r h u l s t - f i s h e r 提出了如 下的反應(yīng)擴(kuò)散模型： o u 礦( t , x ) 一d a “( ，z ) = u ( t ，z ) f a - 6 ( ，z ) 】，( t ，z ) ( o ，o o ) xn ，( 1 9 ) b 叫( t ，z ) = 0 ，( t ，z ) ( 0 ，o 。) 掃q ，( 1 1 0 ) u ( 0 ，。) = u o ( 。) ， z q ， ( 1 1 1 ) 其中d 為擴(kuò)散系數(shù)，代表l a p l a c e 算子，邊界條件口f 叫為以上提到的三類中的某 一類， 后來的研究者們以l o g i s t i c 模型為基礎(chǔ)，遵循v e r h u l s t f i s h e r 模型的研究方法， 產(chǎn)生了眾多的新模型，而這一些都統(tǒng)稱為l o g i s t i c 模型我們所關(guān)注的是既有擴(kuò)散又 有時滯影響的一類為便于研究取擴(kuò)散系數(shù)為1 ，模型如下： 掣一a u ( 抽) = u 圳a - 吣壙c 呻1 刪，挑r + 姆( 1 1 2 ) b w i ( t ，z ) 一0 ，( t ，茹) r + xa q ，f 1 1 3 ) 札( t ，x ) = ( ，z ) ，( t ，z ) 【_ r ，0 豆， ( 1 1 4 ) 其中的系數(shù)a ，b ，c 為常數(shù)對于這類模型近來的研究者們【8 兒9 ，考察了變系數(shù)情況下 的解的漸近形態(tài)在 9 9 6 年文f 8 】的作者考慮到了物種的出生率、死亡率、擴(kuò)散率、相互 3 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 作用率以及環(huán)境的容受量等都可能隨季節(jié)發(fā)生周期性的變化，從而可假設(shè)系數(shù)8 ，6 ，c 為以t 為周期的函數(shù)并以此考察了當(dāng)時滯7 - 是t 的整數(shù)倍時問題( 1 1 2 ) 一( 1 1 4 ) 的漸 近周期性鑒于文 8 】證明中的不足( 實際上得不到漸近周期解) ，1 9 9 9 年文f 9 的作 者考察了系數(shù)只隨空間的變化而變化的情形，并得出了定態(tài)解的漸近穩(wěn)定性的結(jié)果 對于周期系數(shù)的時滯l o g i s t i c 模型( 1 1 2 ) 一( 1 1 4 ) 來說，對于任意給定的時滯7 _ ，是否 存在唯一的漸近周期解? 另外時滯對該系統(tǒng)會產(chǎn)生什么樣的影響? 這正是我們在后文 中要闡述的問題 我們的研究也得益于時滯擴(kuò)散方程組的出現(xiàn)在方程組研究中用到的一些方法也 為我們解決這類問題提供了不少幫助例如文獻(xiàn)【1 0 - 2 1 】等 另外一類單種群數(shù)量發(fā)展模型便是著名的v o l t e r r a 模型， 1 9 3 1 年于 2 2 中提出的模型如下： 面dz ( t ) = z ( t ) 【。一婦( t ) 一0 0 。k ( r ) z ( t r ) 打】， z ( t ) = 咖0 ) 芝0 ，t r o ， 最初是由v o l t e r r a 在 t r + ，( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 這兒a ，b 為正數(shù)，r + = ( 0 ，o o ) ，r o = ( 一o o ，o 】，連續(xù)函數(shù)k 為積分核其中積分項 表示遺傳等因素對物種的增長率的影響m i l l e r 于1 9 6 6 年在 2 3 】中對該問題進(jìn)行了 研究并給出了如下結(jié)果： 定理a設(shè)k c ( n + ) nl 1 ( r + ) ，且b 伊i k ( 7 _ ) l d t ，那么對r i 上的任意正的連 續(xù)有界函數(shù)曲，柯西問題( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 對t r + 存在唯一的正解z ( t ) ，而且此解滿足： 。l i m 。( t ) 2 再薩麗a ( 1 1 7 ) 后來大量的研究者發(fā)展了這一模型受擴(kuò)散模型的影響，r e d l i n g e r 在1 9 8 5 年于 2 4 中研究了如下模型： 掣一酬抽) 叫圳a - b u ( 如) 一z 0 0 砷) 坤1 圳丁 ， ( t ，$ ) r + x q ，( 1 1 8 ) 4 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 o u - ( - t , z ) ：0 ， d n u 0 ，。) = 妒( t ，z ) ， ( t ，。) r + a q ， ( t ，z ) r 彳xq ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 此處諺為一有界非負(fù)連續(xù)函數(shù)r e d l i n g e r 經(jīng)過研究給出了如下結(jié)果； 定理b對于每一個初值函數(shù)咖，初一邊值問題( 1 1 8 ) 一( 1 2 0 ) 都有一個有界、非負(fù)正 則解u ( t ，z ) 另外，如果毋( o ，) 不恒為零，那么對( t ，z ) ( 0 ，o 。) q ，都有u ( t ，z ) 0 ， 并且 l i mu 加瓦蒜，蠔瓦 ( 1 2 1 ) 另一方面，考慮到增長率受物種本身進(jìn)化的影響，系數(shù)也會隨時間發(fā)生變化， g o p a l s a m y 和h e 在1 9 9 5 年于 2 5 中對如下形式的v o l t e r r a 方程做出了研究 面d 。( t ) = 圳) ) “。) o 。( r ) 塵( t r ) 吼t 兄+ ， ( 1 2 2 ) x ( t ) = ( t ) 蘭0 ，t r i ， ( 12 3 ) 其中o ，b 為定義在r + 上的有界連續(xù)函數(shù)滿足：0 a l a ( t ) a 2 ，0 0 ，都有 ，。k ( r ) e 小，也肌小d r j 0 則l i t m 曾f x ( t ) m - 定理d 假設(shè)j ft 2 k ( r ) 打 且醒口m 0 ，則 o l i r a i n f m i n u ( t ，z ) sl i ms u p m a x u ( t ，z ) s 盧 一t - - o o _ 一t - - ) a _ 0 z n 其中正常數(shù)o ，盧滿足下列方程組： 6 2 口= a l c 2 m ：盧+ o m o a ， 6 l 盧= a 2 + c 1 盯盧一c 2 m + a ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 盡管對問題( 1 2 4 ) 一( 1 2 6 ) 的解有了一個先驗的界，但是就其解的漸近形態(tài)來說我 們并不清楚考慮到與l o g i s t i c 模型( 1 1 2 ) ( 1 1 4 ) 同樣的情況，此問題中的系數(shù)也可 能發(fā)生周期性的變化所以探討這種含有無窮時滯的v o l t e r r a 方程的漸近周期性是完 全有必要的對此我們將在后文中展開論述 1 3 基本原理 1 3 1 基本約定與函數(shù)空間 6 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( 參考1 2 7 2 s ) 令 伽一；知旦o x i o x ，+ 酗磋巾刪 b o u = a 麗a “n + u ( x e 塒 ( 1 2 9 ) ( 1 3 0 ) 這里qc r n 是有界光滑的開區(qū)域( 例如邊界a n c 2 + 。) ，b i c ( 再) ，一l 是q 上的一致橢圓算子a ，b 是 ( 1 ) a = 0 ，b = 1 ；或( 2 ) a = 1 ，b ( x ) 0 b ( 。) g ( a q ) n 是a q 的外法向 記 舢一。私他z ) 0 2 眠u jt l , - i - 和，z ) 魯，(131j1 ) 舢= 一( t ，k ( t ，z ) 籌， ( 1 ) l d 5 i一 t = 三u = 窯十觚 ( 1 3 2 ) q t = ( 0 ，t 】q ，島= ( 0 ，t xa q ， q 。= ( 0 ，+ 。) n ，i 9 。= ( o ，+ 。) a q 其中( t ，z ) ，b i ( t ，z ) a ( 爵) ，一l 是q 丁上的拋物算子 b “= n 嘉+ 6 ( 馳) u ( ) 曲 ( 1 _ 3 3 ) 其中a ，b ：( 1 ) o = 0 ，b = 1 ； 或( 2 ) a = 1 ，b ( t ，z ) 0 以r 引入幾個b a n a c h 空l 司( 參考1 2 9 3 3 ) 記l = ( 1 1 ，f n ) ，j lj = 島k ，其 中以為非負(fù)整數(shù)廣義導(dǎo)數(shù) 跏= 茅 ( 1 ) h s l d e r 空間 設(shè)0 o i 指數(shù)為口的h 6 l d e r 系數(shù) 帥) = 。s u p 確絲害裂， e 啦) 卻嘲札) 毗( 1 3 4 ) 7 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 c 。( 麗) 中的范數(shù)為 設(shè)七為正整數(shù) u j 。= 凰( u ) + m a xj u ( x ) n c + 。( 再) = u ( z ) l u c ( 麗) ，日。( d u ) + o o ，= ) ，( 1 3 5 ) 其相應(yīng)的范數(shù)為： l u l l + 。= 警i d u ( x ) l + h o ( d ?！? i 引l = k c ，2 七( 爵) 一 u ( t ，z ) 暇d 扣g ( 爵) ，2 r + 1 8 f 2 k ，( 1 , 3 6 ) 其相應(yīng)的范數(shù)為 c 2 + 。7 2 ，2 + 。( 碥) = ( t ，x ) j u c 即( 蕊) ，i - i 。2 ，。( 珥噬u ) o o ，2 r + l s i = 2 k ) 其相應(yīng)的范數(shù)為； 其中 訓(xùn)。0 m ，當(dāng)( t ，茁) ，( s ，口) 碥， 讓【m ，m 】時，要求f ( t ，茹，u ) 對讓的偏導(dǎo)數(shù)滿足 g ( 玨【m ，m 】) ，而且存在正 常數(shù)k 使得： ( t ，茁，缸) 一，( s ，耵，u ) k 1 t s + l 石一g 。i ( 1 4 5 ) 定義( i - - f 解) ：面( ，。) ，塹( ，z ) c i , 2 ( 爵) 分別叫做問題( 14 4 ) 的上、下解若 三西2f ( t ，z ，豇) ，( t ，衛(wèi)) q t ， l u _ f ( t ，z ，叢) ，( t ，茁) q t ， b 西9 ( ，z ) b u _ ，( t ，z ) s t ， 西( o ，窖) 2 妒( z ) 2 墜( o ，。) ， z q ( 1 4 6 ) 解的存在唯一性定理( 參考 3 2 3 5 - - 3 7 ) ：設(shè)西( t ，。) ，型( t ，z ) 分別是問題( 1 4 4 ) 的上、 下解，型( z ，z ) 訂( f ，z ) ，m = m i “爵型 o ；b ( t ，z ) o ；c ( t ，z ) 0 分別記a 1 ，b l ，c l 以 及a 2 ，b 2 ，c 2 為a ，b ，c 在【0 ，卅x 豆上的最小值和最大值，并要求c 2 0 ( 風(fēng)) 時滯r 是正常數(shù)g ( 一r ，0 x 麗) 是有界非負(fù)函數(shù)并滿足相容性條件： b 【( o ，z ) = 0 引理2 1 1 若存在一對光滑函數(shù)瓦，笪c ( 兄+ xq ) n g ( _ r ，。) _ ) ( 稱為問 題( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的上、下解) 在卜r ，0 0 ) x 再上滿足豇u 并且下列的不等式成立 l 豇( t ，。) 西( t ，z ) f o ( t ，z ) 一6 ( t ，z ) 面( t ，z ) 一c ( t ，z ) 墮( 一7 - ，。) ， l u ( t ，z ) 笪0 ，z ) 【0 0 ，z ) 一6 ( t ，z ) 些( t ，z ) 一c ( t ，茹) 西( t r ，z ) ，( 2 4 ) 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 = = 一j = = = = = = = ；= = 2 = = = = = = = = = = 0 0 = = = ；= = = ；= = = # = = ；= = = ；= = = = = = = ；= = = ；= = = = = = 一 ( t ，o ) r + q ， b 【_ ( t ，z ) 0 b 【翊( t ，z ) ，( t ，茹) r + a q ， ( 2 5 ) 麗( ，。) ( ，x ) u ( t ，3 2 ) ，( t ，z ) e 卜一0 豆， ( 2 6 ) 那么初邊值問題( 2 1 ) 一( 2 ，3 ) 存在唯一解u c 1 ，2 ( r + q ) ng ( 卜7 - ，) 再) 并且在 【一- 丁，o 。) 孬上面塹。 當(dāng)面，型在r + x 麗滿足( 2 4 ) ( 2 5 ) 以及序關(guān)系面型我們也稱西，墮為問題 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 的一對上下解 引理2j ，j 可以由前面的“解的存在唯一性定理”來保證 ( 也可以參考【3 7 】【3 8 】) 易見0 2 b - 和。是( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的一對上下解，那么由引理 2 j 知問題( 2 1 ) 一( 2 3 ) 當(dāng)妒0 時存在唯一解亂c 1 ，2 ( r + n ) n c ( 【_ r ，o o ) 麗) 為了研究問題( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的漸近周期性我們引入h e s s 3 9 關(guān)于下述問題的一個 結(jié)果 z u ( t ，z ) = u ( t ，。) e 0 ，z ) 一b ( t ，。) 讓0 ，z ) 】，( t ，。) r + q ， b u 】= 0 ，( t ，z ) r + a q ，( 2 7 ) 其中系數(shù)e ( t ，z ) ，b ( t ，x ) 關(guān)于t 是t 周期的，b ( t ，z ) o ，其它的條件與問題( 2 1 ) ( 2 2 ) 中的相同 命題2 1 1 ( 參考f 3 9 】第9 2 頁定理2 8 1 ) 對于下面的特征值問題： 上妒0 ，z ) 一e ( t ，z ) 妒( t ，。) = 盯妒( t ，$ ) ，( t ，z ) er + xq ， b 【】- 0 ，( t ，x ) r + xa q ，( 2 8 ) ( 其中妒關(guān)于t 是t 一周期的) 存在一個具有正特征向量的主特征值a ( e ) ( 1 ) 若盯( e ) o ，那么對于每一個非負(fù)初值，問題( 2 7 ) 的平凡解0 是全局漸近 穩(wěn)定的 ( 2 ) 若a ( e ) 0 ，那么對于每一個非負(fù)非平凡初值，問題( 2 7 ) 在nxr 上存在 唯一全局漸近穩(wěn)定的正周期解口( t ，。) ( 周期為t ) 1 2 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 取e ( t ，z ) = a ( t ，z ) ，著( 2 8 ) 的主特征值仃( o ) 0 ，則由命題2 ，j j 知相應(yīng)問題 ( 2 7 ) 便可以取得一個正t 一周期解o o ( t ，z ) 設(shè)礦( t ，z ) = c ( t ，x ) o o ( t r ，z ) ，在( 2 7 ) 中 取e ( f ，z ) = o ( t ，茁) 一礦( ，z ) ，若o ( a 一礦) 0 ，則問題( 2 7 ) 又可從取得一個正正周 期解o ( t ，z ) 容易驗證氏是問題( 2 1 ) ( 2 2 ) 的一個r 一周期上解而0 是一個弘周期 下解所以通過單調(diào)迭代方法，并參考【1 2 1 3 】中的結(jié)論，我們可以得到下面的結(jié)果 定理2 1 1 設(shè)( 日- ) 一( 凰) 成立 ( 1 ) 若o ( a ) 0 ，那么對于每一個非負(fù)初始函數(shù)( t ，z ) ，問題( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的平凡解0 是全局漸近穩(wěn)定的 ( 2 ) 若o ( a ) 0 以及o ( a 一日+ ) 0 成立，那么問題( 2 1 ) ( 2 2 ) 就能取得一對上、下 t - 周期擬解百，旦c 1 2 ( r + q ) ，并且它們滿足關(guān)系0 旦否島另外，對于 每一個非負(fù)非平凡初始函數(shù)幣( t ，z ) ，問題( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的解都滿足如下關(guān)系： n 恐別u ( ，z ) 一鰓z ) 】0 1 i m s u p u ( t , x ) 一訊。) 1 ，v z 麗- ( 2 9 ) 注： ( 1 ) 若百蘭堡，那么t 一周期擬解百( 或旦) 就是問題( 2 1 ) ( 2 2 ) 的周期解。 ( 2 ) 如果將算子上= o a t a 中的l a p l a c e 算子換成一致強(qiáng)橢圓算子，則定理 2 j 仍然成立 2 2 關(guān)于邊值問題周期解的存在唯一性 要揭示問題( 2 1 ) ( 2 2 ) 周期解的存在性，只要說明萬三旦就可以了在后文中我 們總假設(shè)條件o ( a ) 0 及o ( a 一礦) 0 成立從定理2j 得知，石和旦這一對 上、下周期擬解滿足下面的關(guān)系： 玩一百= 百( o 一6 _ 一d ) ，( t ，) 兄+ q ， 旦f 一壁= 安( o b o c o ，) ，( t ，z ) r + q ， 酬卅= 口回= 0 ， ( t ，z ) r + a q ， ( 2 1 0 ) 其中瓦三箬，幺蘭鬟，瓦三g ( t f ，z ) ，島三旦( 一一z ) 1 3 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 在( 2 1 0 ) 中把前兩個方程作差后可以得到下面的關(guān)系式： ( 玩一幺) 一( 百一緲= 。( 百一緲一b ( 礦一毋) 一c ( 蠆臥一西，)( 2 1 1 ) 下面我們針對不同的邊界條件尋求使得百三旦的成立的條件 p a r tad i r i c h l e t 邊界條件 對于d i r i c h l e t 邊界條件目= 旦= 0 ( 在鍘2 上) ，考慮到口一旦0 ，對方程式 ( 2 1 1 ) 兩邊同乘以( 百一旦) ，并關(guān)于茁在q 上積分，則方程式的左邊和右邊，可 以寫成如下的形式： 2 厶( 百一鰳( 玩一o _ t ) d z 一n ( 百一旦) ( 百一馳 = ；磊d n ( - p 一旦) 2 如+ 上i v ( 萬一旦) 1 2 如， ( 2 1 2 ) ，2 厶( 萬一旦) 【n ( 百一壁)