碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文首先介紹了一個(gè)能夠解決自仿映射各方向壓縮不一致的工具偽范數(shù)， 給出了它的若干性質(zhì)用偽范數(shù)代替歐氏范數(shù)，給出了偽h a u s d o r f f 維數(shù)及偽盒維 數(shù)的定義隨后介紹了自仿t i l e 及其特殊情形自相似t i i e 的定義利用偽范數(shù)這個(gè) 工具給出了整自仿t i l e 邊界h a u s d o r f r 維數(shù)的一個(gè)估計(jì)，且在彳的特征值模全相等 的情況下，得到了整自仿t i l e 邊界h a u s d o r f r 維數(shù)的準(zhǔn)確值最后作為應(yīng)用給出了兩 個(gè)例子，第一個(gè)是自相似情形，第二個(gè)為a 的最大最小特征值模相等的情形 關(guān)鍵詞：偽范數(shù)；自仿t i l e ；h a u s d o r f r 維數(shù)：關(guān)聯(lián)矩陣 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t w 色行r s tg i v eat o o l ， p s e u d o - n o n n ， w h i c hc a na b s o r bt h en o n u n i f o n nc o n t r a c t i l i t y o f 彳一1 ji nd i 仃e r e n td i r c c t i o n s ，a n ds o m ep r o p e n i e so fi t w ed e f l n et h eh a u s d o r f r d i m e n s i o na n db o xd i m e n s i o nb yt h ep s e u d o n o n ni n s t e a do fe u c l i d e a nn o m ，a n dt h e n 、ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fs e l f - a m n et i l e 鋤ds e l f - s i m i l a rt i l e b yu s i n gm et o o lw e a t t a i na ne s t i m a t eo ft h eh a u s d o r f rd i m e n s i o no ft h eb o u n d a 眄o fai n t e g r a ls e l f - a m n e t i l e ，a n di ft h em a x i m u ma n dm i n i m u mm o d u l io ft h ee i g e n v a l u e so f 彳a r ee q u a l ，w eg e t t h ee x a c th a u s d o r f r d i m e n s i o no ft h eb o u n d a wo ft h ei n t e g r a ls e l f - a 幣n et i l e f i n a l l y ， w es h o wt w oe x a m p l e s ，o n ei ss e l f s i m i l a rt i i e ，a n dt h eo t h e ri sat i l ew h o s ee x p a n d e n t m a t r i x 彳h a st w oe i g e n v a l u e sw i t he q u a lm o d u l i k e y w o r d s ：p s e u d o n o n n ；s e l f 二a f f i n et i l e ；h a u s d o r f rd i m e n s i o n ；c o n t a c tm a t r i x 碩士擘住論文 m a s t e r st h e s i s 華中師范大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說(shuō)明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作 所取得的研究成果。除文中已經(jīng)標(biāo)明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或 集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果。對(duì)本文的研究做出貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在 文中以明確方式標(biāo)明。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 上 作者簽名：彳毒杰 日期：死僻月印日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán) 保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借 閱。本人授權(quán)華中師范大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn) 行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。同時(shí)授權(quán) 中國(guó)科學(xué)技術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國(guó)學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)，并通 過(guò)網(wǎng)絡(luò)向社會(huì)公眾提供信息服務(wù)。 作者簽名：?jiǎn)⒉砜模?日期：7 砌年j 月加日 導(dǎo)師簽名： 氕 f k 日期：少昭年廣月列日 本人已經(jīng)認(rèn)真閱讀“c a l i s 高校學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)發(fā)布章程”，同意將本人的 學(xué)位論文提交“c a l i s 高校學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)”中全文發(fā)布，并可按“章程”中的 規(guī)定享受相關(guān)權(quán)益?；厝救砧幒筮M(jìn)卮；旦圭生；旦蘭生i 旦三生筮查! 作者簽名：名孝芻 日期：伽g 年_ i 7 月仞日 導(dǎo)師簽名： ， y0 乏h 碩士學(xué)住論文 m a s t e r st h e s i s 第一節(jié)引言 對(duì)t i l e 及t i l i n g 的研究由來(lái)已久，可以追溯到c a u c h y 時(shí)代，他指出如果在一個(gè) 整數(shù)的基數(shù)表示中可以引進(jìn)負(fù)數(shù)的話，那么我們就沒(méi)有必要記住超過(guò)5 5 的乘法表 了【2 8 】近年來(lái)人們對(duì)t i l e 及t i l i n g 的研究發(fā)展出現(xiàn)了多樣化，包括在基數(shù)展開(kāi) 1 0 ， 1 l ，1 7 ，2 0 方面的研究，還包括對(duì)支撐在t i l e 上的多維小波基的構(gòu)造 5 ，2 l 一2 4 及馬 爾科夫分劃的構(gòu)造 1 2 ，2 5 的研究當(dāng)然有更多的人是對(duì)尺d 中t i l e 本身感興趣 6 ， 1 3 一1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 6 ，2 7 而對(duì)自仿t i l e 的邊界維數(shù)的計(jì)算則是對(duì)t i l e 本身直接研究的一 個(gè)熱門(mén)課題 在 2 】中e d g a r 曾提出過(guò)l 6 v yd r a g o n ( 自相似集) 邊界的h a u s d o r f r 維數(shù)是多少 的問(wèn)題，并進(jìn)一步提出了自相似t i l e 邊界的h a u s d o r 讎數(shù)是多少的問(wèn)題，隨后k e e s l i n g 和d u v a l l 計(jì)算出了l 6 v yd r a g o n 邊界的維數(shù)【3 】在【6 】中l(wèi) a g a r i a s 和w a n g 對(duì)自仿t i l e 的結(jié) 構(gòu)進(jìn)行了研究，在【9 】中k c e s l i n g 給出了尺d 中任何自相似t i l e 的邊界維數(shù)都小于d ，且 可以任意接近d 在 8 】中s t r i c h a 陀和w a n g 對(duì)自仿t i l e 的邊界進(jìn)行了分析，并求出 了自相似t i l e 邊界的h a u s d o m 維數(shù)，在 4 】中d u v a l l ，k e e s l i n g 和n c e 以【5 】，【7 】為基 礎(chǔ)，給出了計(jì)算自相似t i l e 邊界維數(shù)的另一種方法，即尺“中自相似數(shù)字t i l e 的邊界 h a u s d o r 讎數(shù)為 d i m 片( a 丁) ：譬， m c 其中1 c 為壓縮因子，a 為關(guān)聯(lián)矩陣的最大特征值但對(duì)一般自仿邊界維數(shù)的計(jì)算就 出現(xiàn)了困難，原因在于在自仿t i l e 的構(gòu)造過(guò)程中出現(xiàn)的彳- 1 使得被壓縮集合在各個(gè) 方向上的壓縮出現(xiàn)了不一致性而在【l 】中h e 和l a u 通過(guò)構(gòu)造與彳有關(guān)的偽范數(shù)吸 收了這種不一致性 本文利用偽范數(shù)，將d u v a l l 等計(jì)算自相似t i l e 邊界維數(shù)的方法推廣到了整自仿 t i l e 的情形，得到了如下主要定理 定理1 1 設(shè)丁= r o ，功為一整自仿t i l e ，且id e t 彳| _ g ，d 互z d 為模a 的完全剩 余系，且群d 刊d e t 彳i ，c 為關(guān)聯(lián)矩陣，其最大特征值為兄，則有 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s a i m 抑恥筘 本文的主要安排如下： 第二節(jié)介紹迭代函數(shù)系統(tǒng)，我們所說(shuō)的t i l e 是通過(guò)迭代函數(shù)系統(tǒng)得到的 第三節(jié)介紹了偽范數(shù)的定義，并用偽范數(shù)取代歐氏范數(shù)，得到了偽距離，偽 h a u s d o r f r 維數(shù)，偽盒維數(shù)等一系列概念這是我們求邊界維數(shù)的關(guān)鍵工具 第四節(jié)，介紹自仿t i l e 的一系列定義，給出了本文主要定理的證明，同時(shí)也給 出了求解自仿t i l e 邊界維數(shù)的具體方法 最后，作為應(yīng)用，給出了兩個(gè)自仿t i l e 的例子，并且求出了它們的邊界維數(shù) 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 第二節(jié)預(yù)備知識(shí) 迭代函數(shù)系統(tǒng) 迭代函數(shù)系統(tǒng)簡(jiǎn)記為i f s ( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ) ，是分形理論的一個(gè)重要內(nèi) 容，其理論與方法是分形自然景物模擬及分形圖像壓縮的理論基礎(chǔ)有關(guān)他的論述 是由j e h u t c h i n s o n 在【2 9 】中給出的，建立了i f s 的一般理論基礎(chǔ)，至今已有十分 豐富的內(nèi)容特別是m f b a m s l e y 等人的工作，使得他成為繪制分形集的方便有 效的方法，并將之應(yīng)用到圖像的壓縮與處理方面，取得了巨大成功下面介紹他的 一些基本概念 定義2 1 ( i f s ) 設(shè)( r ”，p ) 為刀維歐氏空間，如果對(duì)任意f l ，2 ，) ， z ：r ”一尺”是壓縮映射，即對(duì)任意x ，y r ”，存在( 0 ，1 ) ，使得 p ( 萬(wàn)( 功，zc 力) ，p ( x ，y ) ， 則稱壓縮映射族 ：) 墨。為( r ”，p ) 上的一個(gè)迭代函數(shù)系統(tǒng) 足 定理2 2 【2 9 1 對(duì)于給定的迭代函數(shù)系統(tǒng) z ) 墨。，總存在唯一非空緊集kcr ”，滿 ， k = u ，( k ) ， i = l 稱k 為關(guān)于迭代函數(shù)系統(tǒng) ，) 墨。的不變集或吸引子通常情形下k 或者k 的邊界是 分形集 如果映射，對(duì)任意x ，y 尺”，滿足p ( 廠( x ) ，廠( y ) ) = 即( x ，力，其中，( 0 ，1 ) ， 則稱廠為壓縮比為，的相似壓縮映射相似壓縮映射族之下的不變集稱為自相似集 例如由相似壓縮迭代函數(shù)系統(tǒng) z = z ，厶= 三o + 2 ) ) 生成的不變集c 就是通 常意義下的三分c a n t o r 集它是一個(gè)自相似集 碩士學(xué)位論丈 m a s t e r st h e s i s 第三節(jié)偽范數(shù)及其性質(zhì) 本節(jié)引入偽范數(shù)的定義，并介紹其性質(zhì)，然后定義偽距離、偽h a u s d o r f r 度量， 偽h a u s d o r f r 維數(shù)和偽盒維數(shù)等限于篇幅，我們將省略其證明，讀者可參看文 1 記m d ( r ) 為d j 矩陣全體組成的集合，彳鳩俾) 為擴(kuò)張矩陣( 即其所有特征 值的模均大于1 ) ，且l d e t 么l = g 尺取定彳之后，我們可以定義一個(gè)與彳有關(guān)的 偽范數(shù)：設(shè)o o ； j e y ( i v ) 存在 o ，使對(duì)任意的x ，j ，r d ，有 以x + y ) s m a x w ( x ) ，以j ，) ) 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s l s 記v ( x ，y ) = w 0 一y ) 為x ，y 在w 意義下的距離，稱之為偽距離 記風(fēng)( x ，) = j ，：w ( x y ) ，) 為偽范數(shù)意義下中心在x ，半徑為，的球，稱之為 w - 球令擊a 所。e = s u p 似x 一力：x ，j ，e ) 下面我們用以x ) 取代歐氏范數(shù)定義偽h a u s d o m 維數(shù)及偽盒維數(shù) 對(duì)ec 尺d ，定義 日品( e ) = i n ( 餓蜊。e ) 4 ：e u e ，砒肌。e 萬(wàn)) ， 則日0 ( e ) 隨著萬(wàn)趨于。而增大，記 彰( e ) 2 燭日品( e ) ， 則日：為一測(cè)度，稱之為關(guān)于w 的口一h a u s d o m 測(cè)度，并稱 d i m ：；e = i n f 口：彤( e ) = o ) = s u p 口：田( e ) = ) 為e 關(guān)于w 的h a u s d o r f f 維數(shù)( 偽h a u s d o r f r 維數(shù)) 設(shè)e 為尺d 的有界子集，若對(duì)每個(gè)f ，誡冊(cè)。( ) = ，且ec ，亂，則稱 u ) 腳 為一個(gè)e 的關(guān)于w 的，- 覆蓋記y ( e ) 為覆蓋e 的偽半徑為，的球的最少個(gè)數(shù)， 我們可以定義e 上關(guān)于w 的上、下盒維數(shù)如下： 而舭；掣p 導(dǎo)r u 一， 血扭- ；哮f 鼉筍 ，ul n ， 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 如果上面兩式值相等，則稱它們的共同值 d i m ：e = 面磊；e = 塵堡：e 為e 關(guān)于w 的盒維數(shù)( 偽盒維數(shù)) 引理3 2 謝鴆( 尺) 為擴(kuò)張矩陣，l d e t 彳l = g r ，則對(duì)任意的e 尺d ，有 是a i m 揶擊m 胚是二e 其中九。，k 分別為a 的所有特征值的最大、最小模，d i m e 為e 在通常意義下 的h a u s d o r f r 維數(shù) 6 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 第四節(jié)整自仿t i l e 的邊界維數(shù) 給定迭代函數(shù)系統(tǒng) z ) 墨。，其中每個(gè)z 為尺d 中的壓縮映射設(shè)日為尺d 中的非 空緊子集組成的集族，在其上引入h a u s d o r f r 度量p ，則h 成為b a n a c h 空間定義 | f ：日一日，f ( x ) = u z ( x ) 這樣f 就為日到日上的壓縮映射由壓縮映射原理，f 有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即吸引子 r ，它滿足 r 丁= u ，( r ) ， 扭l r = l i m f ”( 瓦) 月 其中，”為f 的玎次迭代，極限為在h a u s d o r 啵量p 下取得，瓦為r d 的任意的非空 緊子集鍆 設(shè)i f s z ( x ) = 彳一1 ( 工+ 諺) 滿足 ( i ) 生成的吸引子丁具有非空的內(nèi)部： ( i i ) 彳為擴(kuò)張矩陣； ( i i i ) 數(shù)字集d = 占l ，占2 ，s ) r j 滿足撐d 爿d e t 彳i 為整數(shù) 此時(shí)，我們稱t 為自仿t i l e 這樣對(duì)每個(gè)x r 都具有形式 x = 彳。1 面，面d ，皇l 特別的，若矩陣彳為常數(shù)與正交陣的乘積，則稱丁為自相似t i l e 7 碩士擘位論文 m a s t e r st h e s i s 當(dāng)彳中的元素為整數(shù)，d z d 為模彳的完全剩余系時(shí)，稱r 為整自仿t i l e 以 下的討論我們將限制在r 為整自仿t i l e 這種情況下文中的瓦，l 均為下式所定義 稱 瓦= 卜l 2 ，1 2 r ， c = f ”( 瓦) 我們說(shuō)一個(gè)集合為t i l i n g ，是指： ( i ) 其中的每個(gè)元素都是緊的； ( i i ) 所有元素的并為r ”的覆蓋； ( i i i ) 任意兩個(gè)不同元素的內(nèi)部之交為空集 類似于h a u s d o r f r 度量p ，我們可以定義偽h a u s d o m 度量九，設(shè) 乓= x ：以x 一口) 萬(wàn)對(duì)某個(gè)口e 成立) ， 以( 彳，b ) = i n f 萬(wàn)：彳c 易上舊c 以) 為彳，b 關(guān)于w 的h a u s d o r f r 距離( 偽h a u s d o r f r 距離) 引理4 1 設(shè)r = 丁( 彳，功為一個(gè)整自仿t i l e ，則存在正常數(shù)口使得 丸( a 丁，a 瓦) 口g 一d 證明首先證明存在常數(shù)口使得d 。( 丁，l ) 卵”坩事實(shí)上，由性質(zhì)3 1 ( i i ) ，有 ，” 鞏( r ，瓦) = 以( f ( r ) ，f ( 瓦一，) ) = 丸( u 彳_ 1 ( 丁+ z ) ，u 彳- 1 ( 瓦一。+ z ) ) - if = l 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s m a x 九( 彳- 1 ( 丁+ z ) ，爿- 1 ( 瓦一。+ 4 ) ) = m p x g - 1 坩鞏( 丁+ 碼，乙一- + 碣) ) = g - 1 坩屯( r ，乙一1 ) 取屯( 丁，兀) = 口，則有 以( r ，瓦) 口g 一們 ( 4 1 ) 下證d 。( a r ，a l ) 口g 一咖，首先證明每個(gè)x 識(shí)到a 丁中某些點(diǎn)的偽距離至多為 口g 一以分三種情況：x 刀，x 諾r ，x 丁o ( 1 ) 若工卯，顯然； ( 2 ) 若x 萑r ，則由( 4 1 ) 式，存在一點(diǎn)y 丁使得1 ，( x ，力= 以z y ) 口g 一班， 如果y 訂，結(jié)論成立，如果y 芒刀，即y 丁。，因以x ) 為c 。函數(shù)，且r ：尹7 1 知 鞏( x ，w ( x y ) ) n a 丁，從而存在z a 丁使得v 瓴z ) ，( x ，j ，) 口g 一咖； ( 3 ) 若x r o ，考慮下面兩個(gè)集合： f = p + 丁ip z d f 。= p + 瓦ip z d ) 由 6 中的推論1 1 及定理1 2 知f 為尺d 的t i l i n g ，而乙為t i l i n g 是因?yàn)閐 z j 為模a 的 完全剩余系因?yàn)閦 識(shí)，則存在y + l f 。使得x 劬+ ) ，因x 丁o ，所以 x 仨y + 丁，由( 4 1 ) 式知存在點(diǎn)z y + 丁使得v ，z ) 口g 一”m ，從而存在b 。( x ，w 一z ) ) 內(nèi)一點(diǎn)甜a 丁使得“a ( y + d ，v ( 甜，z ) 1 ，( x ，z ) a g 一啪同上理由，a 丁上每點(diǎn)到 a 瓦中某點(diǎn)的偽距離至多口g 一們 口 9 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 定義么+ b = 口+ 6 i 口彳，6 b ) ，p 血ix x 記島為第f 個(gè)坐標(biāo)為l ，其余為 o 的向量，則 q ，乞，) 為尺d 中的規(guī)范正交基 引理4 2 令0 = 0 ) u e 1 ，乞，) ，則存在唯一的最小有限集cz d ，使 得o ，d + 彳+ d 這樣得到的稱為( 彳，d ) - 鄰域 證明可由下面的步驟得到，令 1 = ou x z d 恤+ d 穆d 7 d ，y d + o ) 2 = iu x z di 血+ d 7 鄧d7 d ，y d + 1 ) l = i - 1u x z di 彳x + d 7 ”d d ，y d + l 1 ) 繼續(xù)下去，則存在使得心= 壇+ 。= ，令 _ 心= 代+ - 一一00t 即為所求 下證這樣的七。存在，即有限第 步得到的記為m 對(duì)任意x m ，有 x = 彳_ + 彳陽(yáng)z 一彳”4 ，后刀，o o j o 一 -o” 事實(shí)上，。中的元素顯然可以寫(xiě)成上述形式；假設(shè)。中的元素也具有上述形 式，由m + 。的定義，若x m + 。，則 x ?；騲 x z di 彳x + 以= 以+ 少，d 。，以d ，y 乙) ， 1 0 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 當(dāng)x 虬時(shí)，由歸納假設(shè)條件滿足對(duì)于后者，有 z = 彳- 1 ( d ：一以+ 少) = 彳。1 以一彳。1 以+ 彳- 1 ( 彳4 廠+ 彳”彰一彳卜”西) = 彳一“1 廠+ 彳”1 d - 彳卜”1 z 7_一 _ j 從而對(duì)任意x m ，有 x = 彳t 廠+ 彳卜”彰一彳卜”碣，七” o- i j i 。 取定d ，則x 虬又可以寫(xiě)成以下形式： 由于 x = 彳。廠+ 彳卜”z 一彳卜”珥o_0 一 。 月一l 月一l = 彳。廠+ ( 4 卜”z + 彳一島) 一( 么卜”碣+ 爿一知) f = oi = h，= o，一月 彳4 尺，r = 【一1 ，l r ， 后面括號(hào)中代表的元均屬于l 從而有 o l m 互u 彳“r + r r ， 后式為緊致集，故必存在使得岷= 岷+ 。= ，從而為有限集 下證的唯一性 用反證法若存在。，：，。2 滿足條件，由最小性知i 。i = l ：1 我們斷言 必有d + ln 2 么( 。n 2 ) + d ，若不然，則存在工ln 2 ，d d ，使得x + d 甓 彳( ln 2 ) + d ，從而存在x i l ( in 2 ) ，工2 2 ( ln 2 ) ，及d l ，d 2 d ， 使得x + d = 血l + 西，x + d = 出2 + d 2 ，這就與彳x + d = y 有唯一解( 工，回矛盾從而 d + 。n 2 彳( ln 2 ) + d 成立，但這又與的最小性矛盾 口 下面引入關(guān)聯(lián)矩陣的概念 對(duì)每個(gè)x ，d d ，勤表示舟x 鋤+ d 的唯一解令= ( 彳，功 0 ， 七= l 7 i 表示中元素的個(gè)數(shù)，定義七后矩陣c ，其元素c 叫由指標(biāo)x ，j ，確定， c 叫= i d di 禮= 力l ，稱矩陣c 為( 彳，d ) 的關(guān)聯(lián)矩陣 引理4 3 設(shè)工，y ( 彳，d ) o ) ，則c 三c ”表示了滿足條件計(jì)x 彳”y + 見(jiàn)的 d 見(jiàn)的個(gè)數(shù) 證明我們將用歸納法證明當(dāng)擰= l 時(shí)，這正是c 的定義 假設(shè)刀一1 時(shí)結(jié)論是正確的考慮c = c 。c 籮1 ，只需證明( i ) 對(duì)滿足 ：e d l + x 彳z + d ，以+ z 彳柚j ，+ 見(jiàn)一i 的礬d ，吐見(jiàn)- 1 ，元素d = 彳吐+ 4 見(jiàn)滿 足d + x 彳”y + 見(jiàn)；( i i ) 每個(gè)滿足d + x 彳”y + d 。的d d 。都可寫(xiě)為d = 4 d 2 + d l ， 其中d l d ，滿足d l + x 止+ d ，以見(jiàn)一l 滿足d 2 + z 彳川+ 見(jiàn)- 1 對(duì)于( i ) 有， d l + 彳d 2 + 工= 彳z + d + 4 d 2 = 彳”y + 彳d + d ， 其中d d ， d ”d 因彳d 。+ d 7 e ，從而有d + x = d i + 彳d 2 + x 彳”y + 見(jiàn) 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 對(duì)于( i i ) ，假設(shè)d + 工彳”y + 見(jiàn)，其中d = 彳d 2 + d l ，而d 和吐昧l 均唯 一確定，那么由引理4 2 ，有確定的z 和d d 使得d l + 工= 止+ d ，從而 彳( d 2 + z ) + d 7 = x + d l + 彳d 2 = x + d 彳”y + 見(jiàn)= 彳( 彳”1 y + d 。一i ) + d ， 由代表元的唯一性 d 2 + z 彳”- 1 + d 。一1 定理1 1 的證明對(duì)于整自仿t i l e r ，函數(shù)迭代系統(tǒng)為 丁= f ( 丁) = u z ( r ) ，z ) = 彳- 1 + 4 ) ，4 d ， 口 從而乙2 u 彳”( 瓦+ 乩+ 彳d - + + 彳”1 d ) 舊d ) ，且丁2 1 驄瓦乙為彳”( 瓦) 的 平移體的不交并，在彳”的作用下就存在一個(gè)從中的平移體到見(jiàn)中的點(diǎn)的一一對(duì) 應(yīng) 對(duì)于給定的( 彳，d ) 令= ( 么，d ) 0 ) ，規(guī)定i mj 代表矩陣m 的所有元素的加 和，則由引理4 3 ，l c ”i 表示了滿足d + 工彳”y + 見(jiàn)的( x ，y ，回的個(gè)數(shù)，其中x ，y ， d q 令b = d 見(jiàn)id + x 彳“y + 見(jiàn)，x ，y ) ，尾= 怫i ，則有 尾i c ”卜七2 尾 ( 4 2 ) 其中七= i i 由第一段敘述，吃也表示了瓦中某些平移體在不致混淆的情況下我 們?nèi)杂贸詠?lái)表示這些平移體的集合 由引理4 2 ，d + 么+ d ，通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法可得d 。+ 彳”+ 見(jiàn)，薩1 ， 2 ，因此有見(jiàn)+ s 么”+ d 。令6 = 6 ( 彳，d ) 為原點(diǎn)到( 彳，d ) 中點(diǎn)的最大偽距 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 離取玩中任一平移體，設(shè)其中心為，則由上述，到a 乙的某些點(diǎn)的偽距離不超 過(guò)6 9 圳j ，取其中一點(diǎn)x ，有，p ，力幻”坩，根據(jù)引理4 1 ，x 到a 丁中某些點(diǎn)的偽 距離至多為口g 一們，取其中一點(diǎn)j ，有，( x ，力叼圳d ，從而有v ( r ，力= w ( ，一y ) = w ( ，一x + x 一力m a x w p x ) ，似x y ) ) = m a ) 【 6 9 圳d ，鉀圳d ) 同樣 有a r 上每點(diǎn)到這樣的一個(gè)平移體中心的偽距離至多為m a x 6 9 ”m ，凹”塒) 考慮的r d 的t i l i n g 0 = x + 彳”( 瓦) i x 么”( z d ) ) 在上述集合中與原點(diǎn)的偽距離至多為p m 餓 幻圳d ，口g 一以) 的t i l e 的數(shù)量由一個(gè)和 維數(shù)d 有關(guān)，而與玎無(wú)關(guān)的常數(shù)辦決定令口。為f ，中覆蓋a 丁的平移體的最小個(gè)數(shù)， 由于乙互f ，有尾辦口。與口。辦尾更進(jìn)一步，由( 4 2 ) 式及上述，存在正常 數(shù)，6 滿足 口l c “| 67 l c ” 由于c ”為非負(fù)矩陣，我們得到l i m ( i c ”i ) l ，”= 五，即 月 l i m 三l n i c 一| - h l 兄 月_ o ，z 由偽上、下盒維數(shù)的定義， 而新= n 翟p 警= n 竺p = n 竺p 等凈= 帶， ，枷一l n ，月呻一l n 所口。一刀呻一l n 口l n 口 血矽= n 唧f 挈= “凹f = n 凹f 掣= 帶， ，斗u i n ， ”_ + 一m m 口” n 一 一i n 口一l n 口一 從而有 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 由 1 中的定理5 5 知， d i m 扭= 而新= 血矽= 帶， 幽掙= d i m 矽= 筘 口 這樣，由定理3 2 ，我們就給出了整自仿t i l e 邊界h a u s d o r f r 維數(shù)的一個(gè)估計(jì)且 若九積= k ，則有 m m 一a h ；璣帶 1 5 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 第五節(jié)兩個(gè)例子 例l 令彳= ( 1 1 ) 州( 0 ，o ) ，( 1 ，o ) ) 則刑，d ) 為大家所熟知的“脯 d r a g o n ”( 雙龍) ，由引理4 2 的算法我們得到 = ( o ，o ) ，( 0 ，1 ) ，( 1 ，0 ) ，( 1 ，一1 ) ，( 0 ，- 1 ) ，( - 1 ，0 ) ，( 一l ，1 ) ) 進(jìn)一步計(jì)算得到 c = 0 0 0 0 lo ol o 0 0 0 0 0 0 o l0 0l 0 2 2 0 lo 0l 0 0 0 o 0 o 0 0 其最大特征值為三+ 三( 2 8 3 廚) 3 + 吉( 2 8 + 3 廁3 ，而且對(duì)彳有九“= k = 壓， 這樣我們就得到了 d i m ：型型坐塹嘗墮堂坐塑 1 5 2 3 6 m z 例2 令彳= ( 言三) ，。= ( 。，0 ) ，( 1 ，0 ) ，( 1 ，1 ) ，( 2 ，1 ) ) ，由引理4 2 算法我們得到 其關(guān)聯(lián)矩陣為 = ( 0 ，o ) ，( 1 ，0 ) ，( - 1 ，o ) ，( 0 ，1 ) ，( 0 ，- 1 ) ) r 2 o 0 0 、 ll l0 2 0 ol c = il l0 l2 0l ii l 1 o o 2 1 6 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 對(duì)彳有九默= 九i = 2 ，從而由我們的計(jì)算公式得到丁( 彳，d ) 的邊界維數(shù)為 = 篆乩 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 參考文獻(xiàn) 【l 】x i n g g a n gh e ，k a - s i n gl a u ，o nag e n e r a l 娩e dd i m e n s i o no fs e l f - a f e n e 仔a t a l s 【j m a t h n a c h18 1 n o 8 ，1 17 ( 2 0 0 8 ) 【2 】 g e d g a r ，c l a s s i c so nf r a c t a l s m 】a d d i s o n w e s l e y ；19 9 3 3 】p ：d u v a l la n dj k e e s l i n g ，t h eh a u s d o r 伍d i m e n s i o no ft h eb o u n d a 叫o ft h el 6 v y d r a g o n j c o n t e m p m a t h ，2 4 6 ，a m e r m a t l l s 0 c ，p r o v i d e n c e ，i u ，19 9 9 4 】 【5 】 p ：d u v a l i ，j k e e s l i n g ，a v i n c e ，t h eh a u s d o i f rd i m e n s i o no ft h eb o u n d a 叮o fa s e l f - s i m i l a rt i l e j l o n d o nm a t h s o c ( 2 ) 6 1 ( 2 0 0 0 ) ，n o 3 ，7 4 8 7 6 0 k g r 6 c h e n i ga n da h a a s ，s e l f - s i m i l a rl a t t i c et i l i n g s j f o u r i e ra n a l a p p l 1 ( 1 9 9 4 ) ，1 3 l 1 7 0 【6 】j e 衢e yc l a g a r i 嬲，y a n gw a n g ，s e l f - a f f i n et i l e s i nr ” j a d v a n c e si n m a t h e m a t i c s1 2 l ( 1 9 9 6 ) ，2 1 - 4 9 7 】a n c e ，s e l f - r e p l i c a t i n gt i l e sa n dt h e i rb o u n d a 叮 j d i s c r e t ec o m p u t g e o m 2 l ( 1 9 9 9 ) ，n o 3 ，4 6 3 - - 4 7 6 【8 】 r s s t r i c h a n z 鋤dy w a n g ，g e o m e t 叮o fs e l f - a 踴n et i l e si 【j i n d i a n au n i v m a t h 4 8 ( 1 9 9 9 ) ，n o 1 ，1 2 3 9 】j k e e s i i n g ，t h eb o u n d a r i e so fs e l f _ s i m i l a rt i l e si n 尺” j 1 0 p o l o g ya n di t s a p p l i c a t i o n s9 4 ( 1 9 9 9 ) ，1 9 5 - 2 0 5 10 】a m o d l y z k o ，n o m - n e g a t i v ed i g i ts e t si np o s i t i o n a ln u m b e rs y s t e m s j p r o c ， l o n d o nm a t h s o c ( 3 ) 3 7 ( 1 9 7 8 ) ，2 1 3 - 2 2 9 【1 1 】a v i n c e ，r e p l i c a t i n gt e s s e l l a t i o n s j s i a mj d i s c r e t em a t h 6 ( 1 9 9 3 ) ，5 0 1 5 2 1 【1 2 】b p r a f r a s t i s ，m a r k o vp a r t i t i o n sf o rh y p e r b o l i ct b r a la u t o m o 叩h i s m s j p h d t h e s i s ，u m i v e r s i 妙o fw a s i n 舒o n ，l9 9 2 13 】b g r u n b a u ma n dgc s h e p a r d ，t i l i n g sa n dp a t t e m s j f r e e m a n ，n e wy o r k ， l9 r 7 1 8 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 【1 4 】c b a n d t ，s e i f - s i m i l a rs e t s 5 i n t e g e rm a t r i c e sa n df r a c t a lt i l i n g so f r ” j p r o c a m e r m a t h s o c 1 1 2 ( 1 9 9 1 ) ，5 4 9 - 5 6 2 15 】c b a n d ta n dgg e l b r i c h ，c l a s s i n c a t i o no fs e l f - a f h n et i l i n g s j j l o n d o n ，m a t h s o c 5 0 ( 19 9 4 ) ，5 8 1 5 9 3 16 】c d eb o o ra n dk h o l l i g ，b o xs p l i n et i l i n g s j a m e r m a t h m o n t h l y9 8 ( 1 9 9 1 ) ，7 9 3 - 8 0 2 【l7 】d w m a t u l a ，b a s i cd i g i ts e t sf o r r a d i xr 印r e s e n t a t i o n s 【j j a s s o c c o m p m a c h 4 ( 1 9 8 2 ) 1 1 3 1 1 1 4 3 18 】f m d e l ( i ( i n g ，r e c u r r e n ts e t s j a d v m a t h 4 4 ( 19 8 2 ) ，7 8 - 1 0 4 1 9 】f m d e l ( 1 ( i n g ，r e p l i c a t i n gs u p e r f i g u r e sa n de d d o m o 印h i s m so ff r e eg r o u p s j j c o m b i n t h e o d rs e r a 3 2 ( 19 8 2 ) ，3l5 3 2 0 【2 0 】g i l b e r t ，w i l l i a mj g e o m e 仃yo fr a d i xr e p r e s e n t a t i o n s j t h eg e o m e t r i cv e i n ，p p 1 2 9 一1 3 9 ，s p r i n g e r ，n e w y o r k - b e r l n ，1 9 8 1 【2l 】i d a u b e c h i e sa n dj c l a g a r i 船，t w os c a l ed i f r e r e n c ee q u a t i o n si g l o b a lr e g u i a r i t ) r o f s o l u t i o n s j s i a m ，m a t h ，a j l a l 2 2 ( 1 9 9 1 ) ，1 3 8 8 1 4 1 0 【2 2 k g r o c h e n i g 鋤dw m a d y c h ，m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，h a a r b a s e s ，a n ds e l f - s i m i l a r t i l i n g s j i e e et r a n s i n f 0 n i t 3 8 ，n o 2 ，p a r ti i ( 1 9 9 2 ) ，5 5 6 5 6 8 2 3 】r s t