6.4數(shù)列求和考情分析掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法基礎(chǔ)知識數(shù)列求和的常用方法1公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和(1)等差數(shù)列的前n項和公式：snna1d；(2)等比數(shù)列的前n項和公式：sn2倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的3錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的4裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和5分組轉(zhuǎn)化求和法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減6并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.注意事項1.一般數(shù)列求和，應(yīng)從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和2.在利用裂項相消法求和時應(yīng)注意：(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項之差；(2)在正負項抵消后，是否只剩下了第一項和最后一項，或有時前面剩下兩項，后面也剩下兩項3.(1)；(2)；(3).題型一公式法求和【例1】在等比數(shù)列an中，a39，a6243，求數(shù)列an的通項公式an及前n項和公式sn，并求a9和s8的值解在等比數(shù)列an中，設(shè)首項為a1，公比為q，由a39，a6243，得q327，q3.由a1q2a3，得9a19，a11.于是，數(shù)列an的通項公式為an13n13n1，前n項和公式為sn.由此得a93916 561，s83 280.【變式1】已知數(shù)列an是首項a14，公比q1的等比數(shù)列，sn是其前n項和，且4a1，a5，2a3成等差數(shù)列(1)求公比q的值；(2)求tna2a4a6a2n的值解(1)由題意得2a54a12a3.an是等比數(shù)列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1.(2)a2，a4，a6，a2n是首項為a24(1)4，公比為q21的等比數(shù)列，tnna24n.題型二分組轉(zhuǎn)化求和【例2】求和sn1.解和式中第k項為ak12.sn2222n2.【變式2】已知數(shù)列xn的首項x13，通項xn2npnq(nn*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列xn前n項和sn的公式解(1)由x13，得2pq3，又因為x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以sn(2222n)(12n)2n12.題型三裂項相消法求和【例3】在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時，其前n項和sn滿足san. (1)求sn的表達式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項和tn.解(1)san，ansnsn1(n2)，s(snsn1)，即2sn1snsn1sn，由題意sn1sn0，式兩邊同除以sn1sn，得2，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列12(n1)2n1，sn.(2)又bn，tnb1b2bn.【訓(xùn)練3】 在數(shù)列an中，an，又bn，求數(shù)列bn的前n項和sn.解an.bn8.sn88.題型四錯位相減法求和【例4】已知等差數(shù)列an滿足a20，a6a810.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列an的通項公式為an2n.(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為sn，sn.記tn1，則tn，得：tn1，tn.即tn4.sn444.【變式4】 設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nn*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和sn.解(1)a13a232a33n1an，當(dāng)n2時，a13a232a33n2an1，得：3n1an，an.當(dāng)n1時，a1也適合上式，an.(2)bnn3n，sn13232333n3n，則3sn32233334n3n1，得：2sn332333nn3n1n3n1(13n)n3n1.sn(13n).重難點突破【例5】已知等差數(shù)列an的前3項和為6，前8項和為4.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn(4an)qn1(q0，nn*)，求數(shù)列bn的前n項和sn.解析 (1)設(shè)an的公差為d，則由已知得即解得a13，d1，故an3(n1)4n. (2)由(1)知，bnnqn1，于是sn1q02q13q2nqn1，若q1，上式兩邊同乘以q.qsn1q12q2(n1)qn1nqn，兩式相減得：(1q)sn1q1q2qn1nqnnqn.sn.若q1，則sn123n，sn鞏固提高1已知數(shù)列an的前n項和snan2bn(a、br)，且s25100，則a12a14等于()a16b8c4 d不確定解析：由數(shù)列an的前n項和snan2bn(a、br)，可得數(shù)列an是等差數(shù)列，s25100，解得a1a258，所以a1a25a12a148.答案：b2數(shù)列an的通項公式an，若前n項的和為10，則項數(shù)為()a11 b99c120 d121解析：an，sn110，n120.答案：c3若數(shù)列an的通項公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10()a15 b12c12 d15解析：a1a2a1014710(1)10(3102)(14)(710)(1)9(392)(1)10(3102)3515.答案：a4若數(shù)列an為等比數(shù)列，且a11，q2，則tn的結(jié)果可化為()a1 b1c. d.解析：an2n1，設(shè)bn2n1，則