2對函數(shù)的進一步認識2 1函數(shù)概念 1 初中時你學過哪些函數(shù) y kx b k 0 y ax2 bx c a 0 k 0 分別叫 2 函數(shù)y kx b 已知kb 0 則函數(shù)的圖象經(jīng)過第象限 3 函數(shù)y 2x2 3x 1 當x 1時的函數(shù)值為 一次函數(shù) 二次函數(shù) 反比例函數(shù) 一 二 四 或一 三 四 0 1 函數(shù) 1 函數(shù)的定義 jp2 給定兩個a和b 如果按照某個對應關系f 對于集合a中任何一個數(shù)x 在集合b中都存在的數(shù)f x 與之對應 那么就把對應關系f叫做定義在集合a上的函數(shù) 記作或 2 函數(shù)的定義域與值域對于函數(shù)y f x x a 其中x叫作自變量 叫做函數(shù)的定義域 叫做函數(shù)的值域 非空數(shù)集 唯一確定 f a b y f x x a 集合a 集合 f x x a 2 區(qū)間的概念設a b是兩個實數(shù) 且a b a b a b a b a b 3 無窮大概念 1 實數(shù)集r用區(qū)間表示為 讀作 讀作 讀作 2 無窮區(qū)間的表示 無窮大 負無窮大 正無窮大 a a a a 1 什么樣的對應可以構成函數(shù) 提示 函數(shù)的定義中 任一x 與 有唯一確定的y 說明函數(shù)中兩變量x y是 一對一 或 多對一 時可以構成函數(shù) 2 f x 與f a 的含義有何不同 提示 f x 與f a 的區(qū)別與聯(lián)系 f a 表示當x a時函數(shù)f x 的值 是一個常量 而f x 是自變量x的函數(shù) 表示的是變量 如圖是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖象 收支差額 車票收入 支出費用 由于目前本條線路虧損 公司有關人員提出了兩條建議 建議 是不改變車票價格 減少支出費用 建議 是不改變支出費用 提高車票價格 下面給出四個圖象 在這些圖象中 a 反映了建議 反映了建議 b 反映了建議 反映了建議 c 反映了建議 反映了建議 d 反映了建議 反映了建議 思路點撥 解答本題應從y與x的關系出發(fā) 分析出票價與斜率的關系 然后就 兩種建議分別描出圖象 與題中 對應便可求解 解析 由題可知直線與y軸交點的縱坐標的相反數(shù)表示支出 斜率表示票價 建議 中票價不變 即直線的斜率不變 減少支出即直線與y軸交點縱坐標變大 對應 建議 中 直線與y軸交點的縱坐標不變 斜率變大 對應 答案 b 1 解答此類題目的關鍵在于借助變量間的圖象分析實際問題中所隱含的東西 然后結合已學知識加以綜合分析 從而把問題解決 2 判斷兩變量之間是否為函數(shù)關系 關鍵是看變量之間的關系是否為確定的關系 如 中收入與消費支出的關系是一種趨勢而非確定關系 而其余均為確定關系 1 下列各組中兩個變量之間是否存在依賴關系 其中哪些是函數(shù)關系 球的體積和它的半徑 速度不變的情況下 汽車行駛的路程與行駛時間 家庭收入愈多 其消費支出也有增長的趨勢 正三角形的面積和它的邊長 解析 中兩個變量間都存在依賴關系 其中 是函數(shù)關系 下列各組中的兩個函數(shù)是否表示同一函數(shù) 思路點撥 逐一考查兩個函數(shù)的定義域 對應關系和值域 解析 1 兩個函數(shù)定義域顯然不同 故兩個函數(shù)不表示同一函數(shù) 2 兩個函數(shù)的對應關系顯然不同 故兩個函數(shù)不表示同一函數(shù) 3 兩個函數(shù)的定義域顯然不同 故兩個函數(shù)不表示同一函數(shù) 4 定義域 對應關系 值域均相同 兩個函數(shù)表示同一函數(shù) 5 定義域 對應關系 值域均相同 兩個函數(shù)表示同一函數(shù) 6 定義域 對應關系 值域均相同 兩個函數(shù)表示同一函數(shù) 只有定義域 值域和對應關系都相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù) 三者中只要有一個不同就不是同一函數(shù) 容易知道 定義域和對應關系相同的兩個函數(shù)的值域也一定相同 2 試判斷以下各組函數(shù)是否是相等函數(shù) 解析 1 定義域相同 都是r 但是g x x 即它們的解析式不同 也就是對應關系不同 故不相等 2 f x x 3 x 3 它與g x x 3的定義域不同 故不是相等函數(shù) 3 定義域相同 都是r 但是它們的解析式不同 也就是對應關系不同 故不相等 4 f x 的定義域是 x x 1 g x 的定義域是r 它們的定義域不同 故不相等 求下列函數(shù)的定義域 思路點撥 定義域的求法 1 如果f x 是整式 那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集r 2 如果f x 是分式 那么函數(shù)的定義域是使分母不為0的實數(shù)的集合 3 如果f x 為偶次根式 那么函數(shù)的定義域是使根號內的式子大于或等于0的實數(shù)的集合 4 如果f x 是由幾個部分的數(shù)學式子構成的 那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合 5 如果函數(shù)有實際背景 那么除符合上述要求外 還要符合實際情況 函數(shù)定義域要用集合或區(qū)間形式表示 這一點初學者易忽視 3 求下列函數(shù)的定義域 解析 1 由題意知4 x 0 x 4 故f x 的定義域是 x x 4 2 由1 x 0且1 x 0 得x 1且x 1 故f x 的定義域是 x x 1且x 1 思路點撥 直接將自變量x的取值代入函數(shù)解析式進行計算 1 當x的取值用字母表示時 對應的函數(shù)值也用字母表示 但要注意化簡 2 當求多重函數(shù)值時 一般要由里到外逐步計算 1 準確理解函數(shù)概念 1 對應法則f是表示定義域和值域的一種對應關系 與所選擇的字母無關 在研究函數(shù)時 除用符號f x 外 還常用g x f x g x 等符號來表示 變量也不是用唯一的字母來表示 f x x 1與f t t 1是同一個函數(shù) 2 符號y f x 是 y是x的函數(shù) 的數(shù)學表示 應理解為 x是自變量 它是對應法則所施加的對象 f是對應法則 它既可以是解析式 也可以是圖象 表格或文字描述 y f x 僅僅是函數(shù)符號 不能認為 y等于f與x的乘積 3 雖然f x x2和f x 1 x2等號右邊的表達式都是x2 但是 由于對應法則f所施加的對象不同 一個為x 而另一個為x 1 因此函數(shù)的解析式是不同的 4 f a 與f x 的關系 f a 表示當x a時函數(shù)f x 的值 是一個常量 而f x 是自變量x的函數(shù) 表示的是變量 2 正確使用區(qū)間符號區(qū)間是某些數(shù)集的一種重要表示形式 具有簡單直觀的優(yōu)點 因此是表示函數(shù)的定義域 值域及不等式解集的重要工具 應用時一定要弄清各種區(qū)間的含義及它們的區(qū)別 如 1 1 表示 x 1 x 1 而 1 1 表示 x 1 x 1 等 注意 1 無窮大是一個符號 不是一個具體的數(shù) 2 若 a b 是確定區(qū)間 則一定有a b 錯因 求函數(shù)定義域時 不能先進行變形 否則 會使定義域發(fā)生改變 造成錯誤 因此 必須根據(jù)原始函數(shù)解析式來求定義域 解析 對于 a x2 1 0 根式無意義 不表示函數(shù) 對于 b 當x 0時對應的函數(shù)值有兩個 不符合函數(shù)的定義 對于 d 任意x 與x對應的y值不唯一 因此也不表示函數(shù) 答案 c 2 下列變量間的關系是函數(shù)關系的是 a 勻速航行的輪船在2小時內航行的路程 b 某地蔬菜的價格與蔬菜的供應量的關系 c 正方形的面積s與其邊長a之間的關系 d 光照時間和果樹的畝產(chǎn)量 解析 a是常量