吉林省長(zhǎng)春市 2016 年高考數(shù)學(xué)四模試卷（文科） （解析版） 一、選擇題（本大題包括 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)涂在答題卡上） 1已知集合 A= 4， 2， 1， 5， B=x|y= ，則 AB 中元素的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2已知復(fù)數(shù) z 滿足 z= ，則 |z|=（ ） A 2 B C 3 D 5 3設(shè) a， b R，則 “ “2a b 1”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 4已知直線 m， n 與平面 ， ，下列命題中錯(cuò)誤的是（ ） A若 m ， n ，則 m n B若 m ， n ，則 m n C若 m ， n ， ，則 m n D若 m n， n，則 m 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出 k 的值為 8，則判斷框內(nèi)可填入的條件是（ ）A s B s C s D s 6祖暅原理： “冪勢(shì)既同，則積不容異 ” “冪 ”是截面積， “勢(shì) ”是幾何體的高，意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處截面的面積恒相等，體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的幾何體滿足 “冪勢(shì)同 ”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（ ） A 4 B 8 C 8 D 8 2 7函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分圖象如圖所示，則 f（ ）=（ ） A B 1 C D 2 8已知等比數(shù)列 調(diào)遞減，滿足 ， a2+0，則數(shù)列 公比 q=（ ） A B C D 3 9函數(shù) y=x+大致圖象為（ ） A B CD 10如圖，從高為 h 的氣球（ A）上測(cè)量鐵橋（ 長(zhǎng)，如果測(cè)得橋頭 B 的俯角是 ，橋頭 C 的俯角是 ，則該橋的長(zhǎng)可表示為（ ） A h B h C h D h 11棱長(zhǎng)為 1 的正四面體 ， E 為棱 一點(diǎn)（不含 A， B 兩點(diǎn)），點(diǎn) E 到平面平面 距離分別為 a， b，則 的最小值為（ ） A 2 B C D 12 M 為雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）右支上一點(diǎn)， A、 F 分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且 等邊三角形，則雙曲線 C 的離心率為（ ） A 1 B 2 C 4 D 6 二、填空題（本大題包括 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把正確答案填在答題卡中的橫線上） . 13已知 | |=| |=2， （ ） = 2，則 與 的夾角為 14等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 ， 5，則使 最小值的 n 等于 15已知圓 C 的圓心在直線 2x+y 1=0 上，且經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)（ 1， 5），則圓 C 的方程為 16下列說法中正確的有： 座位號(hào)為 14 的觀眾留下來座談 ”是系統(tǒng)抽樣； 推理過程 “因?yàn)橹笖?shù)函數(shù) y=增函數(shù)，而 y=2x 是指數(shù)函數(shù)，所以 y=2x 是增函數(shù) ”中，小前提是錯(cuò)誤的； 對(duì)命題 “正三角形與其內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn) ”可類比猜想：正四面體與其內(nèi)切球切于各面中心； 在判斷兩個(gè)變量 y 與 x 是否相關(guān)時(shí)，選擇了 3 個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù) 別為：模型 1 為 型 2 為 型 3 為 中擬合效果最好的是模型 1 三、解答題（本大題包括 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） . 17已知函數(shù) f（ x） =x+ ） + （ 1）利用 “五點(diǎn)法 ”列表，并畫出 f（ x）在 ， 上的圖象； （ 2） a， b， c 分別是銳角 角 A， B， C 的對(duì)邊若 a= ， f（ A） = ，求 18某便攜式燈具廠的檢驗(yàn)室，要檢查該廠生產(chǎn)的某一批次產(chǎn)品在使用時(shí)的安全性檢查人員從中隨機(jī)抽取 5 件，通過對(duì)其加以不同的電壓（單位：伏特）測(cè)得相應(yīng)電流（單位：安培），數(shù)據(jù)見如表 產(chǎn)品編號(hào) 電壓（ x） 10 15 20 25 30 電流（ y） 1）試估計(jì)如對(duì)該批次某件產(chǎn)品加以 110 伏電壓，產(chǎn)生的電流是多少？ （ 2）依據(jù)其行業(yè)標(biāo)準(zhǔn) ，該類產(chǎn)品電阻在 18， 22內(nèi)為合格品，電阻的計(jì)算方法是電壓除以電流現(xiàn)從上述 5 件產(chǎn)品中隨機(jī)抽 2 件，求這兩件產(chǎn)品中至少有一件是合格品的概率 （附：回歸方程： ， b= ， a= ， 參考數(shù)據(jù)： =2250） 19在四棱錐 P ， 平面 2C=2 ， 0， M 為 點(diǎn) （ 1）證明： 平面 （ 2）若三棱錐 M 體積為 ，求 M 到平面 距離 20已知橢圓 C： =1（ a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 點(diǎn) 直線 ， B 兩點(diǎn)， |最小值為 3，且 周長(zhǎng)為 8 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）當(dāng)直線 l 不垂直于 x 軸時(shí)，點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 A，證明直線 AB 恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo) 21已知函數(shù) f（ x） =x+a R） （ 1）若曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處與直線 y=3x 2 相切，求 a 的值； （ 2）若 f（ x） a 恒成立，求 a 的取值范圍 四 2、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .選修 4何證明選講 22如圖， 圓 O 的直徑，弦 延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) M， 直 延長(zhǎng)線于點(diǎn) N （ 1）求 證： 角平分線； （ 2）求證： 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23，曲線 C 的方程為 =2 以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為 1 的直線 l 經(jīng)過點(diǎn) P （ 1）寫出直線 l 的參數(shù)方程和曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）若直線 l 和曲線 C 相交于兩點(diǎn) A， B，求 |+| 的值 選修 4等式選講 24 =|x+1|+|x 2|，不等式 f（ x） t 對(duì) x R 恒成立 （ 1）求 t 的取值范圍； （ 2）記 t 的最大值為 T，若正實(shí)數(shù) a， b 滿足 a2+，求證： 2016 年吉林省長(zhǎng)春市高考數(shù)學(xué)四模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題包括 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)涂在答題卡上） 1已知集合 A= 4， 2， 1， 5， B=x|y= ，則 AB 中元素的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 求出 B 中 x 的范圍，找出 A 與 B 的交集，即可作出判斷 【解答】 解：由題意可知 B=x|x 2， 因?yàn)榧?A= 4， 2， 1， 5， 所以 AB= 1， 2， 5 則集合 AB 中元素的個(gè)數(shù)為 3 個(gè) 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵 2已知復(fù)數(shù) z 滿足 z= ，則 |z|=（ ） A 2 B C 3 D 5 【分析】 由已知的等式求出復(fù)數(shù) z，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求模 【解答】 解：復(fù)數(shù) z= = =2+i，則 |z|= = 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù) 模的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題 3設(shè) a， b R，則 “ “2a b 1”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【分析】 “價(jià)于 “a b 0”， “2a b 1”等價(jià)于 “a b”，即可判斷出結(jié)論 【解答】 解： “價(jià)于 “a b 0”， “2a b 1”等價(jià)于 “a b”， “ “2a b 1”的充分不必要條件 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏 輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 4已知直線 m， n 與平面 ， ，下列命題中錯(cuò)誤的是（ ） A若 m ， n ，則 m n B若 m ， n ，則 m n C若 m ， n ， ，則 m n D若 m n， n，則 m 【分析】 根據(jù)空間線面位置關(guān)系的性質(zhì)和判定進(jìn)行逐項(xiàng)分析或證明 【解答】 解：對(duì)于 A，由于垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故 A 正確； 對(duì)于 B， n ， 平面 內(nèi)存在直線 b n， m ， b， m b， 又 b n， m n故 B 正確 對(duì)于 C，在直線 m 上取 點(diǎn) P，過 P 作 n 的平行線 n，則 n 假設(shè) m=A， n=B， =l，過 A 作 l 于 O，連結(jié) =l， ， l， ， ，又 n ， n，同理 m， 四邊形 平行四邊形， 又 m ， ， 四邊形 矩形， m n，又 n n， m n故 C 正確 對(duì)于 D，當(dāng) m時(shí)，顯然結(jié)論不成立故 D 錯(cuò)誤 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了空間線面位置關(guān)系 的判定與性質(zhì)，屬于中檔題 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出 k 的值為 8，則判斷框內(nèi)可填入的條件是（ ）A s B s C s D s 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 k， S 的值，當(dāng) S 時(shí)，退出循環(huán)，輸出 k 的值為 8，故判斷框圖可填入的條件是 S 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖， k 的值依次為 0， 2， 4， 6， 8， 因此 S= + + = （此時(shí) k=6）， 因此可填： S 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷程序運(yùn)行的 S 值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題 6祖暅原理： “冪勢(shì)既同，則積不容異 ” “冪 ”是截面積， “勢(shì) ”是幾何體的高，意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處截面的面積恒相等，體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的幾何體滿足 “冪勢(shì)同 ”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（ ） A 4 B 8 C 8 D 8 2 【分析】 根據(jù)冪勢(shì)同的定義，結(jié)合三視圖的和直觀圖之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】 解：由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖幾何體體積相等， 圖示幾何體是一個(gè)正方體去掉一個(gè)半圓柱， 正方體的條件為 2 2 2=8， 半圓柱的體積為 =， 從而其體積為 8 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查利用三視圖求出幾何體的體積，根據(jù)三視圖確定幾何體的直觀圖是解決本題的關(guān)鍵 7函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分圖象如圖所示，則 f（ ）=（ ） A B 1 C D 2 【分析】 由周期求出 ，由五點(diǎn)法作圖求出 的值，把點(diǎn)（ 0， 1）代入求得 A，可得 f（ x）的解析 式，從而求得則 f（ ）的值 【解答】 解：由函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分圖象， 可得 = ， =3 再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得 3 +=，求得 = 再把點(diǎn)（ 0， 1）代入，可得 1， A=2， f（ x） =23x+ ） 則 f（ ） =2+ ） =1， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查由函數(shù) y=x+）的部分圖象求解析式，由周期求出 ，由五點(diǎn)法作圖求出 的值，把點(diǎn)（ 0， 1）代入求得 A，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題 8已知等比數(shù)列 調(diào)遞減，滿足 ， a2+0，則數(shù)列 公比 q=（ ） A B C D 3 【分析】 由等比數(shù)列的性質(zhì)可得： ， a2+0，且 調(diào)遞 減，解出即可得出 【解答】 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得： ， a2+0，且 調(diào)遞減， 解得： ， ， 可求得 （ 舍掉） 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 9函數(shù) y=x+大致圖象為（ ） A B CD 【分析】 通過定義域和單調(diào)性來，利用排除法判斷 【解答】 解：由函數(shù)有意義可得 0， f（ x）的定義域?yàn)?x|x 0，排除 A； y=1+ ， 當(dāng) x 0 或 x 2 時(shí)， y 0，當(dāng) 2 x 0 時(shí)， y 0 f（ x）在（ ， 2）上單調(diào)遞增，在（ 2， 0）上單調(diào)遞減，在（ 0， +）上單調(diào)遞增，排除 B， D 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)圖象的判斷，主要從函數(shù)的定義域，單調(diào)性來判斷，屬于中檔題 10如圖，從高為 h 的氣球（ A）上測(cè)量鐵橋（ 長(zhǎng)，如果測(cè)得橋頭 B 的俯角是 ，橋頭 C 的俯角是 ，則該橋的長(zhǎng)可表示為（ ） A h B h C h D h 【分析】 先求出 在 ，求出 【解答】 解：由 ，得 ， 在 ， AD=h， 又 ， 在 ， = h 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了 解三角形的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，是中檔題 11棱長(zhǎng)為 1 的正四面體 ， E 為棱 一點(diǎn)（不含 A， B 兩點(diǎn)），點(diǎn) E 到平面平面 距離分別為 a， b，則 的最小值為（ ） A 2 B C D 【分析】 連結(jié) 用 E E 出 ，利用基本不等式求解表達(dá)式的最值 【解答】 解：連結(jié) 正四面體棱長(zhǎng)為 1， O 為底面三角形 中心，正四角椎的高為： ， 由于 E E ，由 可得 ， 所以 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查空間幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力 12 M 為雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）右支上一點(diǎn)， A、 F 分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且 等邊三角形，則雙曲線 C 的離心率為（ ） A 1 B 2 C 4 D 6 【分析】 求出 M 的坐標(biāo)，利用雙曲線的第二定義，列出方程，即可求出雙曲線 C 的離心率 【解答】 解：由題意， A（ a， 0）， F（ c， 0）， M（ ， ）， 由雙曲線的定義可得 = 34， 3e 4=0， e=4 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線 C 的離心率，考查雙曲線的第二定義，正確運(yùn)用雙曲線的第二定義是關(guān)鍵 二、填空題（本大題包括 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把正確答案填在答題卡中的橫線上） . 13已知 | |=| |=2， （ ） = 2，則 與 的夾角為 【分析】 利用向量的數(shù)量積，化簡(jiǎn)求解，代入向量的夾角公式，求解即可 【解答】 解：由 （ ） = 2，得 = 2， =2，所以， 與 的夾角為 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力 14等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 ， 5，則使 最小 值的 n 等于 5 【分析】 利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷數(shù)列的項(xiàng)與數(shù)列的單調(diào)性，然后求解即可 【解答】 解：由題意 ， 5，可知 ，故數(shù)列 遞增數(shù)列，所以 0， 0，所以使 最小值的 n=5 故答案為： 5 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力 15已知圓 C 的圓心在直線 2x+y 1=0 上，且經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)（ 1， 5），則圓 C 的方程為 （ x 2） 2+（ y+3） 2=13 【分析】 設(shè)圓心 C（ b， 1 2b） ，利用圓的半徑相等列出方程，求得 b 的值，可得圓心坐標(biāo)和半徑，即可得到圓的方程 【解答】 解：由題意設(shè)圓的圓心 C（ b， 1 2b），再根據(jù)圓過原點(diǎn)和點(diǎn)（ 1， 5）， 可得 C 到原點(diǎn)的距離等于 C 到點(diǎn)（ 1， 5）的距離， 即 1 2b） 2=（ b+1） 2+（ 1 2b+5） 2， 解得 b=2 可得圓心 C（ 2， 3），半徑 = ， 則圓 C 的方程為：（ x 2） 2+（ y+3） 2=13 故答案為：（ x 2） 2+（ y+3） 2=13 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 ，準(zhǔn)確利用已知條件列出方程是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題 16下列說法中正確的有： 座位號(hào)為 14 的觀眾留下來座談 ”是系統(tǒng)抽樣； 推理過程 “因?yàn)橹笖?shù)函數(shù) y=增函數(shù)，而 y=2x 是指數(shù)函數(shù)，所以 y=2x 是增函數(shù) ”中，小前提是錯(cuò)誤的； 對(duì)命題 “正三角形與其內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn) ”可類比猜想：正四面體與其內(nèi)切球切于各面中心； 在判斷兩個(gè)變量 y 與 x 是否相關(guān)時(shí)，選擇了 3 個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù) 別為：模型 1 為 型 2 為 型 3 為 中擬合效果最好的是模型 1 【分析】 根 據(jù)抽樣的定義進(jìn)行判斷， 根據(jù)合情推理的定義進(jìn)行判斷， 根據(jù)類比推理的定義進(jìn)行判斷， 根據(jù)關(guān)指數(shù)的定義進(jìn)行判斷 【解答】 解：由題意可知， 是系統(tǒng)抽樣，正確； 推理過程是大前提錯(cuò)誤，而不是小前提，錯(cuò)誤； 滿足合情推理，因此 正確； 根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義可知，相關(guān)指數(shù)越接近于 1，模型的擬合效果越好，因此 正確 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大 三、解答題（本大題包括 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） . 17已知函數(shù) f（ x） =x+ ） + （ 1）利用 “五點(diǎn)法 ”列表，并畫出 f（ x）在 ， 上的圖象； （ 2） a， b， c 分別是銳角 角 A， B， C 的對(duì)邊若 a= ， f（ A） = ，求 【分析】 （ 1）化簡(jiǎn) 函數(shù) f（ x），利用 “五點(diǎn)法 ”列表、畫出 f（ x）在 上的圖象即可； （ 2）利用正弦定理，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換與角的取值范圍，即可求出三角形面積 S 的取值范圍 【解答】 解：（ 1） 函數(shù) f（ x） =x+ ） + x+ ）， 利用 “五點(diǎn)法 ”列表如下， x+ 0 2 x y 0 1 0 1 0 畫出 f（ x）在 上的圖象，如圖所示； （ 6 分） （ 2）在 ， a= ，可知 A= ， 由正弦定理可知 = = =2， 即 b=2c=2 S= B）， 則 S= = 2B ） + ，其中 ， 2B 2B ） 1 0 2B ） + 因此 S 的取值范圍是 =x+）圖象的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換和正弦定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目 18某便攜式燈具廠的檢驗(yàn)室，要檢查該廠生產(chǎn)的某一批次產(chǎn)品在使用時(shí)的安全性檢查人員從中隨機(jī)抽取 5 件，通過對(duì)其加以不同的電壓（單位：伏特）測(cè)得相應(yīng)電流（單位：安培），數(shù)據(jù)見如表 產(chǎn)品編號(hào) 電壓（ x） 10 15 20 25 30 電 流（ y） 1）試估計(jì)如對(duì)該批次某件產(chǎn)品加以 110 伏電壓，產(chǎn)生的電流是多少？ （ 2）依據(jù)其行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，該類產(chǎn)品電阻在 18， 22內(nèi)為合格品，電阻的計(jì)算方法是電壓除以電流現(xiàn)從上述 5 件產(chǎn)品中隨機(jī)抽 2 件，求這兩件產(chǎn)品中至少有一件是合格品的概率 （附：回歸方程： ， b= ， a= ， 參考數(shù)據(jù)： =2250） 【分析】 （ 1）把數(shù)據(jù)代入相應(yīng)的公式，即可求出回歸方程； （ 2）經(jīng)計(jì)算，產(chǎn)品編號(hào)為 的是不合格品，其余為合格品，從中隨機(jī)抽 2 件共有如下10 種情況，其中至少有一件是合格品有 9 種情況，根據(jù)概率公式計(jì)算即可 【解答】 解：（ 1） b= = a=20= 所以回歸直線 ， 故當(dāng)電壓加為 110 伏時(shí)，估計(jì)電流為 培 ， （ 2）由 R= 可得，電阻分為為 18， = ， = 18， = ，=20 經(jīng)計(jì)算，產(chǎn)品編號(hào)為 的是不合格品，其余為合格品， 從中隨機(jī)抽 2 件共有如下 10 種情況： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 其中至少有一件是合格品有 9 種情況， 故所求事件的概率為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了回歸方程和古典概率的問題，關(guān)鍵是會(huì)運(yùn)用公式，屬于基礎(chǔ)題 19在四棱錐 P ， 平面 2C=2 ， 0， M 為 點(diǎn) （ 1）證明： 平面 （ 2）若三棱錐 M 體積為 ，求 M 到平面 距離 【分析】 （ 1）取 中點(diǎn)為 N，連結(jié) 用 過證明 出 可證明 平面 （ 2）利用三棱錐 M 體積為 ，轉(zhuǎn)化求解 點(diǎn) M 到平面 距離為h，通過體積，求解 M 到平面 距離 【解答】 （本小題滿分 12 分） 解：取 中點(diǎn)為 N，連結(jié) 1） M 是 中點(diǎn)， D， 四邊形 平行四邊形， 面 平面以 平面 6 分） （ 2） M 是 中點(diǎn)， 所以 平面 ， ， S 設(shè)點(diǎn) M 到平面 距離為 h， 則 ， ， 故 M 到平面 距離為 （ 12 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力 20已知橢圓 C： =1（ a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 點(diǎn) 直線 ， B 兩點(diǎn)， |最小值為 3，且 周長(zhǎng)為 8 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）當(dāng)直線 l 不垂直于 x 軸時(shí)，點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 A，證明直線 AB 恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo) 【分析】 （ 1）判斷 x 軸時(shí)， |小，推出 ，利用 周長(zhǎng)為 4a，求解a， b，得到橢圓的方程 （ 2）設(shè) 程為 y=k（ x+1）， A（ B（ A（ 聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出 AB 的斜率，求解直線方程，利用直線系求解直線結(jié)果的定點(diǎn) 【解答】 解：（ 1）因?yàn)?過焦點(diǎn) 弦，所以當(dāng) x 軸時(shí)， |小，且最小值為 ， 由題意可知 ，再由橢圓定義知， 周長(zhǎng)為 4a，所以 ， 所以橢圓的方程為 ， （ 2）設(shè) 程為 y=k（ x+1）， A（ B（ A（ 則 ，化簡(jiǎn)得（ 3+412=0 所以 ， 則 ， AB 的方程為 化簡(jiǎn)有 ， 將 代入可得 ， 所以直線 AB 恒過定點(diǎn)（ 4， 0） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，直線系方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力 21已知函數(shù) f（ x） =x+a R） （ 1）若曲線 y=f（ x） 在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處與直線 y=3x 2 相切，求 a 的值； （ 2）若 f（ x） a 恒成立，求 a 的取值范圍 【分析】 （ 1）求得 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由已知切線方程，可得 a 的方程，解得 a=2； （ 2）求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì) a 討論，分 a 0， a=0， a 0，求出單調(diào)區(qū)間，可得最值，由不等式恒成立的解法，即可得到所求范圍 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x+導(dǎo)數(shù)為 f（ x） =1+ ， 可得 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線的斜率為 f（ 1） =1+a=3， 解得 a=2； （ 2） f（ x） =1+ ， x 0， 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?R； 當(dāng) a=0 時(shí)， f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞增； 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）在（ 0， a）上單調(diào)遞減，（ a， +）上單調(diào)遞增 則當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x） a 不可能恒成立； 當(dāng) a=0 時(shí)， f（ x） =x 0，成立； 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）在 x= a 處取得最小值 f（ a），則只需 f（ a） a， 即 a+ a） a，所以 a） 2， 解得 a 以 a 0 綜上所述： a 的范圍是 0 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法和不等式恒成立思想的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題 四 2、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .選修 4何證明選講 22如圖， 圓 O 的直徑，弦 延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) M， 直 延長(zhǎng)線于點(diǎn) N （ 1）求證： 角平分線； （ 2）求證： 【分析】 （ 1）由 圓 O 的直徑，得 0，又 直 延長(zhǎng)線于點(diǎn) N，得 0，可得 M、 N、 A、 D 四點(diǎn)共圓，然后利用等量關(guān)系求得 可得 角分線； （ 2）由 M、 N、 A、 D 四點(diǎn)共圓，得 B、 C、