最 短 路 徑第二師華山中學初中數(shù)學組馮麗華2015/9/30最短路徑教學設計 一、內容和內容解析 1、內容 利用軸對稱探究簡單的最短路徑問題。 2、內容解析 最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點之間，線段最短”及“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究。 本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典問題“將軍飲馬問題”為載體，開展最短路徑問題的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化“兩點之間，線段最短”問題。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點是：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。二、目標和目標解析1、目標能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變換在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想，進一步獲得數(shù)學活動的經(jīng)驗，增強應用意識。2、目標解析（1）學生能將實際問題中的“地點”“河”抽象為數(shù)學中的“點”“線”，把實際問題抽象為數(shù)學問題；（2）能利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題；（3）能另選一點，通過比較、邏輯推理證明所求線段和最短；（4）在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想。三、教學問題診斷分析最短路徑問題從本質上說是極值問題，作為八年級的學生，在此之前很少接觸，解決這方面問題的經(jīng)驗明顯不足，特別是面對實際背景的極值問題無從下手。對于直線異側的兩點，怎樣在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最短，學生很容易想到連接這兩點，所連線段與直線的交點就是所求點。但對于直線同側的兩點，如何在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最短，一些學生感到茫然，找不到解決問題的方法。在證明最短時，需要在直線上任選一點（與所求作的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和學生想不到，不會用。教學時，教師可從“直線異側的兩點”過渡到“直線同側的兩點”，為學生搭建“腳手架”。在證明“最短”時，教師可告訴學生證明“最大”“最小”問題，常常要另選一個量，通過與求證的那個“最大”“最小”的量進行比較證明。由于另取的點具有任意性，所以結論對于直線上的每一點（點C除外）都成立。 本節(jié)課的教學難點是：利用軸對稱將同側線段和最短問題轉化為異側線段和最短問題，并能進行簡單推理論證。四、教學支持條件分析在初次解決問題時，學生出現(xiàn)了多種方法，通過測量，發(fā)現(xiàn)利用軸對稱將同側兩點轉化為異側兩點求得的線段和比較短；進而利用幾何畫板通過動畫演示，實驗驗證了結論的一般性；最后通過邏輯推理證明。教具準備：直尺、幾何畫板，ppt五、教學過程設計環(huán) 節(jié)教師活動學生活動設計意圖一復習引入1.【問題】：看到課題，回憶學過哪些最短路徑問題？2.以上兩個問題，我們稱為“最短路徑”問題。3、小試身手已知:如圖,點A，B分別是直線l異側的兩個點，如何在直線l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短？A B兩點之間，線段最短直線外一點與直線上各點所連線段中，垂線段最短。從學生已經(jīng)學過的知識入手，為進一步豐富、完善知識結構做鋪墊。二探究新知1.提出問題【故事引入】：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。認真讀題，仔細思考。二探究新知2.分析問題（1）.【轉化】：你能將實際問題抽象為數(shù)學問題嗎？（2）【度量】：請嘗試找出符合條件的點C；分別度量出AC,BC的長度，并計算AC+BC，記錄在題目旁邊。（3）.【展示】：巡視發(fā)現(xiàn)學生不同的作法（盡可能多），投影，拍照。（4）.【追問】：上述幾種方法中，哪一種作法中的點C能使得AC+BC較短？將實際問題中的“地點”“河”抽象為數(shù)學中的“點”“線”，把實際問題抽象線段和最小問題?！菊故尽浚簩W生展示并能簡單說明思路。作法1： 作法2：作法3：通過“度量”的數(shù)據(jù)得出結論。【小結】：發(fā)現(xiàn)第3種作法是較短的，第1種作法只能說明在河l上取一點，到A、B兩地的距離相等。第2種作法是利用“兩點之間線段最短”，得到BC最短，利用“垂線段最短”，得到AC最短，但不能確定AC+BC是最短的。學生主動探索，充分發(fā)揮學生的主動性。展示多種方法，產(chǎn)生思維沖突，引發(fā)學生進一步探究的學習欲望。二探究新知3.解決問題（1）【轉化】用第3種作法的同學，你們是怎樣找到的點C？（2）【比較】在以上幾種方法中，利用軸對稱找出的點C能使得AC+BC較短，但在直線l上有無數(shù)個點，也就有無數(shù)條路線，此時點C還能使AC+BC最短嗎？通常我們要在直線上任另取一點P（與點C不重合），說明AC+BCAP+BP。（3）【幾何畫板】下面我們可以借助數(shù)學工具幾何畫板來進一步驗證一般性。老師動手操作，并回憶作圖步驟，驗證對于第3種情況來說是最短的路徑。【注：通過動畫演示，從特殊到一般地驗證了前面的結論?！坷幂S對稱將同側線段和最短轉化為異側線段和最短問題。借助軸對稱的“橋梁”作用，若直線l上任意一定（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小。認真觀察老師的做法，思考，要想確認AC+BC最短，可以在直線l上任取一點P（不與點C重合）通過度量可以得出AC+BC最短。并觀察變化趨勢。讓學生進一步體會做法的正確性，提高邏輯思維能力。讓學生在反思的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗。（4）.【推理論證】：（1）獨立糾正圖形（2）請兩位同學全班交流推理過程（3）師生共同完成板書（4）學友向學師口述證明過程。1.獨立糾錯2.兵教兵進一步推理論證，加強邏輯性，培養(yǎng)學生良好的思維習慣。三總結提高（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？ （2）軸對稱在所研究問題中起什么作用？用到了轉化的數(shù)學思想。歸納：通過梳理“將軍飲馬問題“的解題思路，幫助學生歸納解決實際問題的探究過程，讓學生充分體會軸對稱變換可以將不共線的兩條路徑轉化到一條直線上。四拓展應用【問題】：如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄。請你幫他確定這一天的最短路線。【小結】：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱將同側轉化為異側問題，化折線為直線，從而作出最短路徑的選擇?！窘處熂恼Z】：現(xiàn)實生活中需要我們尋找簡單、實用的方法，但學習無捷徑，希望大家勤于思考，多多動腦，用數(shù)學知識武裝自己，做一位有智慧的小將軍。作兩次軸對稱，找到點B、點C，連接BC與兩直線的交點E、F，AE+EF+FC即為所求路徑。學以致用及時復習所學的知識。五板書設計13.4 最短路徑六、目標檢測設計題目1、（課堂檢測）如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄。請你幫他確定這一天的最短路線。設計意圖：學以致用，并且有提高和挑戰(zhàn)，作兩次軸對稱，找到點B、點C，連接BC與兩直線的交點E、F，AE+EF+FC即為所求路徑。在解決最短路徑問題時，通常利用軸對稱將同側轉化為異側問題，化折線為直線，從而作出最短路徑的選擇。題目2、（課后檢測）如圖，一個旅游船從大橋AB 的