山東省聊城市2020屆高三數(shù)學(xué)二?？荚囋囶} 理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.） 1.設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再和集合求并集，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的并集，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.2.已知，則的共軛復(fù)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)相等求出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因，所以，因此的共軛復(fù)數(shù)為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，熟記概念以及復(fù)數(shù)運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.3.已知實(shí)數(shù)，“”是“”的（ ）A. 充要條件B. 必要不充分條件C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由題中條件，分別判斷由“”能否推出“”，以及由“”能否推出“”，結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則，不能推出“”；當(dāng)，可得；故“”是“”的必要不充分條件.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的概念，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.4.已知為等差數(shù)列均前項(xiàng)和，若，則（ ）A. 12B. 15C. 18D. 21【答案】C【解析】【分析】先設(shè)等差數(shù)列公差為，根據(jù)，求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，解得，所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.5.已知函數(shù)，則（ ）A. 2B. C. -2D. 【答案】C【解析】【分析】先由，得到函數(shù)的周期，將化為，再由時(shí)的解析式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故，因此，函?shù)是以4為周期的函數(shù)，所以，又，所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)求值問(wèn)題，熟記函數(shù)周期性即可，屬于基礎(chǔ)題型.6.1927年德國(guó)漢堡大學(xué)學(xué)生考拉茲提出一個(gè)猜想：對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，對(duì)它乘3加1，如果它是偶數(shù)，對(duì)它除以2，這樣循環(huán)，最終結(jié)果都能得到1.有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為“該猜想任何程度的解決都是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步，將開(kāi)辟全新的領(lǐng)域”，這大概與其蘊(yùn)含的“奇偶?xì)w一”思想有關(guān).如圖是根據(jù)考拉茲猜想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出的值為（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槌跏贾禐?，第一步：，進(jìn)入循環(huán)；第二步：，進(jìn)入循環(huán)；第三步：，進(jìn)入循環(huán)；第四步：，進(jìn)入循環(huán)；第五步：，進(jìn)入循環(huán)；第六步：，進(jìn)入循環(huán)；第七步：，結(jié)束循環(huán)，輸出.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，分析框圖作用，逐步執(zhí)行即可，屬于基礎(chǔ)題型.7.已知展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于22，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于22，求出，再寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于22，所以，整理得，解得，所以二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令可得，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可，屬于?？碱}型.8.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖，側(cè)視圖都是兩個(gè)正方形，俯視圖為一個(gè)圓及圓中互相垂直的半徑，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由三視圖可知該幾何體為一個(gè)圓柱挖去了，再由圓柱的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)圓柱挖去了，且圓柱的底面圓半徑為1，高為2，因此，所求幾何體的體積為.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的三視圖以及幾何體體積問(wèn)題，熟記圓柱體積公式即可，屬于?？碱}型.9.函數(shù)的圖像大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)奇偶性，可排除C，再由特殊值驗(yàn)證可排除D；最后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除C；又，排除D；又，因?yàn)樗杂煽傻茫獾?；由可得，解得或；所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，常使用排除法處理，需要考生熟記函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定等，屬于?？碱}型.10.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后與的圖像重合，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先寫(xiě)出函數(shù)向右平移個(gè)單位所得函數(shù)解析式，結(jié)合題意，以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，可得，由題意可得，所以，,因此，,又，所以的最小值為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像變換問(wèn)題，熟記三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于，則（ ）A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】B【解析】【分析】記中點(diǎn)為，連結(jié)，作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意得到，再由直線與拋物線聯(lián)立得到到，求出，進(jìn)而可求出弦長(zhǎng).【詳解】如圖，記中點(diǎn)為，連結(jié)，作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，因?yàn)橹本€過(guò)拋物線焦點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與拋物線的準(zhǔn)線相切于，所以垂直準(zhǔn)線，所以，即，由得，所以，因此，所以.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查拋線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，熟記拋物線性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.12.已知為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，若，方程有且只有一個(gè)根，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由題意求出，得到，根據(jù)方程有且只有一個(gè)根，得到有且只有一個(gè)實(shí)根，令，用導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，由數(shù)形結(jié)合思想即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以又，所以，因此，所以，因此，因?yàn)榉匠逃星抑挥幸粋€(gè)根，所以有且只有一個(gè)根，即有且只有一個(gè)實(shí)根，且；令，則，由得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；故最大值為，又；作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下：因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)根，只需直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像可得或.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)零點(diǎn)的綜合，方程的根可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合的思想即可求解，屬于?？碱}型.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.） 13.已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是_.【答案】【解析】【分析】由約束條件作出可行域，目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸截距，結(jié)合圖像杰克得出最小值.【詳解】由約束條件作出可行域如下：因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)表示直線在軸截距，由圖像可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最小，即最?。挥山獾?，故的最小值為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，根據(jù)可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.14.已知向量，則_.【答案】2【解析】【分析】先由題意得到，再由，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解?故答案為2【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記公式即可，屬于?？碱}型.15.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓：的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線在第一象限與橢圓交與點(diǎn)，且為正三角形，則橢圓的離心率為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)過(guò)點(diǎn)的直線在第一象限與橢圓交與點(diǎn)，且為正三角形，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入橢圓方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉闄E圓：的右焦點(diǎn)，所以，又點(diǎn)的直線在第一象限與橢圓交與點(diǎn)，且為正三角形，邊長(zhǎng)為，所以，代入可得：，又，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓離心率，熟記橢圓的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.16.對(duì)于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”.已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).【答案】【解析】【分析】先由求出，得到數(shù)列是等差數(shù)列，再根據(jù)對(duì)任意的恒成立，得到，解不等式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，則，所以，所以，因此，則，所以數(shù)列等差數(shù)列，故對(duì)任意的恒成立，可化為，即，解得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 17.如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，.（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求的面積.【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理，可得，再由題中條件，即可求出結(jié)果；（2）先由余弦定理可得，根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出，進(jìn)而可求出結(jié)果【詳解】（1）在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因?yàn)椋?（2）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因?yàn)椋?所以，解得，所以.所以 .【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理、以及余弦定理即可，屬于常考題型.18.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）先由線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而可得平面平面；（2）先取中點(diǎn)，連結(jié)，證明平面平面，在平面內(nèi)作于點(diǎn)，則平面. 以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出兩平面的法向量，求向量夾角余弦值，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以折起后，且，因?yàn)?，所以是正三角形，所?又因?yàn)檎叫沃?，為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)椋云矫?又平面，所以平面平面.（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，又，則平面.又平面，所以平面平面.在平面內(nèi)作于點(diǎn)，則平面.以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.在中，.，故，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，令，得，.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，則，又二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的判定，以及二面角的余弦值，熟記面面垂直的判定定理、以及二面角的向量求法即可，屬于?？碱}型.19.已知以橢圓：的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形恰好是面積為4的正方形. （1）求橢圓的方程； （2）直線：與橢圓交于異于橢圓頂點(diǎn)的，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，直線和直線的斜率之積為1，直線與軸交于點(diǎn).若直線，的斜率分別為，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）0【解析】【分析】（1）由題意可得到，求解即可得出橢圓方程；（2）先設(shè)，則，根據(jù)，得到，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出，進(jìn)而可求出的值，得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形恰好是面積為4的正方形，所以，解得.所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，則，因?yàn)?，所以，?lián)立，消，得，所以，所以，直線的方程為：，令，由，得，所以，所以.所以為定值0.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程以及橢圓中的定值問(wèn)題，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理等求解，屬于?？碱}型.20.某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖（如圖）： 規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在的為劣質(zhì)品，在拘為優(yōu)等品，在的為特優(yōu)品，銷(xiāo)售時(shí)劣質(zhì)品每件虧損1元，優(yōu)等品每件盈利3元，特優(yōu)品每件盈利5元.以這100 件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率. （1）求每件產(chǎn)品的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)； （2）該企業(yè)為了解年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用和年銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. 16.3023.200.811.62表中，.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷(xiāo)售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程. 求關(guān)于的回歸方程； 用所求的回歸方程估計(jì)該企業(yè)應(yīng)投人多少年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)，才能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報(bào)值達(dá)到最大？（收益=銷(xiāo)售利潤(rùn)營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)用，取）附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線均斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.【答案】（1）3；（2），900萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）先設(shè)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為，判斷出的可能取值，根據(jù)頻率分布直方圖求出對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而得出分布列，求出期望；（2）先由得，令，則，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出，進(jìn)而可得，從而可得，整理即可求出結(jié)果；設(shè)年收益為萬(wàn)元，則，令，則，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為，則的可能取值為-1，3，5由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品為劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率分別為0.05，0.85，0.1.所以；，所以的分布列為-1350.050.850.1所以（元）.即每件產(chǎn)品的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)為3元.（2）由得，.令，則，由表中數(shù)據(jù)可得，則.所以，即.因?yàn)?，所以，故所求的回歸方程為.設(shè)年收益為萬(wàn)元，則.令，則，所以當(dāng)，即時(shí)，有最大值900.即該企業(yè)應(yīng)該投入900萬(wàn)元營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)，能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報(bào)值達(dá)到最大900萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望以及非線性回歸方程，只需依題意將非線性方程化為線性的來(lái)處理即可，屬于常考題型.21.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn). （1）求的取值范圍； （2）的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)，根據(jù)題中條件可得在內(nèi)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再對(duì)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，分別討論，即可求出結(jié)果；（2）先由題意可得到的極值點(diǎn)，就是的零點(diǎn)，即，根據(jù)(1)中單調(diào)性，以及，可得，再設(shè)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合題中條件，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?設(shè)，則由題意得，在內(nèi)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).，令，解得；令，解得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此.當(dāng)時(shí)，這時(shí)在上沒(méi)有變號(hào)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，所以在和?nèi)分別有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.（2）的極值點(diǎn)，就是的零點(diǎn)，即.因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，且，所以，.設(shè)，則 .因?yàn)闀r(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?由于，而在上單調(diào)遞減.所以，從而，因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方