第一課時數(shù)列知識要點數(shù)列通項與前項和的關(guān)系NANS1NINAS1321221NANN熱身1數(shù)列1，3，6，10，的一個通項公式為2數(shù)列的通項公式為,則數(shù)列各項中最小項是NANAN2833數(shù)列的前項和,，則14SA典例精析題型一歸納、猜想法求數(shù)列通項【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項，分別寫出它們的一個通項公式7，77，777，7777，,6385,1432點撥聯(lián)想與轉(zhuǎn)換是由已知認(rèn)識未知的兩種有效的思維方法，觀察歸納是由特殊到一般的有效手段，本例的求解關(guān)鍵是通過分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換獲得項與項數(shù)的一般規(guī)律，從而求得通項。題型二應(yīng)用求數(shù)列通項211NSANN例2已知數(shù)列的前項和，分別求其通項公式3NS082NNNA點撥本例的關(guān)鍵是應(yīng)用求數(shù)列的通項，特別要注意驗證的值是否滿足211NSANN1A的一般性通項公式?！?N三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項【例3】根據(jù)下列各個數(shù)列的首項和遞推關(guān)系，求其通項公式NA14,2121AN2，,01012NNNA,1NA點撥在遞推關(guān)系中若求用累加法，若求用累乘法，若,1NFAN,1NFANA，求用待定系數(shù)法或迭代法。QPANN1N總結(jié)提高1給出數(shù)列的前幾項求通項時，常用特征分析法與化歸法，所求通項不唯一2由求時，要分1和兩種情況NSAN23數(shù)列是一種特殊函數(shù)，因此通過研究數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性）來解決數(shù)列中的“最大項”與“和最小”等問題十分有效。4給出與的遞推關(guān)系，要求，常用思路是一是利用（）轉(zhuǎn)化為NNANNAS12的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求。ANSNA課堂演練1若數(shù)列的前項的，那么這個數(shù)列的通項公式為（）NA32NAS2已知數(shù)列滿足，（），則（）N0111NNN20A3已知數(shù)列滿足NA,1，2312和求證明1NA數(shù)列3，5，7，9，11，的一個通項公式是（）已知數(shù)列中，NA21則的值為（），（NN14A3設(shè)，則的大小關(guān)系是12NNNA與11若數(shù)列滿足，NA2,01NNNA，則的值為（）761202、填空題1已知數(shù)列中，,NA321A，NNA21272已知中，前項和與的關(guān)系是，求SNS1A62等差數(shù)列知識要點1等差數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差，用表示。D2遞推關(guān)系與通項公式MNADDNAMN11變式推廣通項公式遞推關(guān)系由此聯(lián)想到點所在直線的斜率。,為常數(shù)）即特征KNFADAN,1是數(shù)列成,為常數(shù)，（MKNA等差數(shù)列的充要條件。等差中項若成等差數(shù)列，則稱的等差中項，CBA,BC與且；成等差數(shù)列是的充2,A2要條件。前項和公式N；21ASN211DNASN變式12211211NSADNADNN,2212為常數(shù)即特征BANSFDAN是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。A5等差數(shù)列的基本性質(zhì)N,NQPM其中反QPNMAA，則若之，不成立。DMNAN2仍成等差數(shù)列。NNNSS23,判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法定義法是等）常數(shù)）（NDAN1NA差數(shù)列中項法是等差數(shù)221NN（N列通項公式法是等差數(shù),為常數(shù)BKANNA列前項和公式法是等,2為常數(shù)BASNN差數(shù)列課前熱身1等差數(shù)列中，NA,39741A（63852,則）2等差數(shù)列中，NA31,120910864的值為則3等差數(shù)列的前項和為，當(dāng)變化NANSDA，1時，若是一個定值，那么下列各數(shù)182中也是定值的是（）8201513SCSBA4計算機執(zhí)行以下程序初始值0X，XS，則進行，否則從繼續(xù)進行201打印停止那么，語句打印出的數(shù)值為895設(shè)，分別為等差數(shù)列與的前NSTNABN項和19524SBAN，則54解51402291091119BABATS典例精析一、等差數(shù)列的判定與基本運算例1已知數(shù)列前項和NANSN92求證為等差數(shù)列；記數(shù)列的前A項和為，求的表達式。NTN點撥根據(jù)定義法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，靈活運用求和公式。二、公式的應(yīng)用例2設(shè)等差數(shù)列的首項及公差都為整數(shù)，NA1D前項和為NS若，求數(shù)列的通項公980141SA，NA式若，求所有可能761411，的數(shù)列的通項公式NA點撥準(zhǔn)確靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，提高運算能力。N總結(jié)提高1在熟練應(yīng)用基本公式的同時，還要會用變通的公式，如在等差數(shù)列中，DNMAN在五個量中的三個量可求出SDA，1其余兩個量，要求選用公式要恰當(dāng)，即善于減少運算量，達到快速、準(zhǔn)確的目的。33已知三個或四個數(shù)成等差數(shù)列這類問題，要善于設(shè)元，目的仍在于減少運算量，如三個數(shù)成等差數(shù)列時，除了設(shè)外，還可設(shè)DA2，；四個數(shù)成等差數(shù)列時，可設(shè)為DA，MM33，4在求解數(shù)列問題時，要注意函數(shù)思想，方程思想，消元及整體消元的方法的應(yīng)用。課堂演練1設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若NSNA（）12663，則在等差數(shù)列中，NA132A，則等于（）3等差數(shù)列654A中，則前項的和N12910S，最大。4已知等差數(shù)列的前10項和為100，前100項NA和為10，則前110項和為某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費用12萬元，從第二年起包括維修費在內(nèi)每年所需費用比上一年增加4萬元，該船每年捕撈總收入50萬元，問捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少解設(shè)捕撈年后的總盈利為萬元，則N設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知NANS012133S，求出公差的范圍，D指出中哪一個值最大，并說1221，明理由。課外練習(xí)一、選擇題1已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10NA10A項的和，則其公差等于）701SD2已知等差數(shù)列的前項和為，等差數(shù)列NNS的前項和為，且NNT，則使為整數(shù)的539NSNNBA所有的值的個數(shù)有（）3，設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若NANS等于B987639AS，則，A63B45C36D273已知等差數(shù)列中，NA等于（1249716A，則，）二、填空題4設(shè)為等差數(shù)列的前項和，NSN97103S，則，5已知等差數(shù)列的前項和為，若NAN185212AS，則三、解答題6等差數(shù)列的前項和記為，已知NANS503210，求通項；若242，求NN7甲、乙兩物體分別從相距70的兩處同時相向運M動，甲第一分鐘走2，以后每分鐘比前一分鐘多走1，乙每分鐘走5，甲、乙開始運動后幾M分鐘相遇如果甲乙到對方起點后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多走1，乙繼續(xù)每分鐘走M5，那么，開始運動幾分鐘后第二次相遇故第一次相遇是在開始運動后7分鐘。10已知數(shù)列中，前和NA，31N21NS求證數(shù)列是等差數(shù)列N求數(shù)列的通項公式A63等比數(shù)列知識要點1定義如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為。0Q，（2遞推關(guān)系與通項公式MNNQA推廣通項公式遞推關(guān)系113等比中項若三個數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的等比中項，且為是CB,BCA與ACBACB2，注成等比數(shù)列的必要而不充分條件。4前項和公式111QAQANSN5等比數(shù)列的基本性質(zhì)，,NPM其中反之不真QNAAPNM，則若2AQMNN，為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列。N仍成等比數(shù)列。，時，NNNSSQ23216等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化是等差數(shù)列是等比數(shù)列；NA10CCNA，是正項等比數(shù)列是等差數(shù)列；LOGNC，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列。NNA7等比數(shù)列的判定法定義法為等比數(shù)列；（常數(shù)）QAN1N中項法為等比數(shù)列；0221NNAN通項公式法為等比數(shù)列；前項和法為常數(shù)）QK,AN為等比數(shù)列。為常數(shù)）（QKSNN,1NA課前熱身1如果1，9成等比數(shù)列，那么（）CBA,2在等比數(shù)列中，若，則此數(shù)列的前10項之積等于（）N206574A31310422NF設(shè)）（等于，則FN4已知數(shù)列是等比數(shù)列，且NAMMSS3201，則，5在數(shù)列中，若，則通項131NANN，NA典例精析一、等比數(shù)列的基本運算與判定運用等比數(shù)列的基本公式，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于等比數(shù)列的特征量，的方程是求解等比數(shù)列問題1Q的常用方法之一，同時應(yīng)注意在使用等比數(shù)列前項和公式時，應(yīng)充分討論公比是否等于1；N應(yīng)用定義判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列是最直接，最有依據(jù)的方法，也是通法，若判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列可用恒成立，也可用恒成立，若判定一個數(shù)不是等比數(shù)列則只需（常數(shù)）QAN1221NNA舉出反例即可，也可以用反證法。二、性質(zhì)運用例2在等比數(shù)列中，N143612NAAA，求，NA若NTT求,LGLG21總結(jié)提高1方程思想，即等比數(shù)列中5個量，一般可“知三求二”，通過求和與通項兩公式列NA1NQNAS方程組求解。2“錯位相減法”求和是解決由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對應(yīng)項的積組成的數(shù)列求和的常用方法。NNBNBA3對于已知數(shù)列遞推公式與的混合關(guān)系式，利用公式，再引入輔助數(shù)列，NANS21SANN轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題求解。4分類討論思想當(dāng)0，1或0，01時，為遞減數(shù)列；1的等比數(shù)列，若的兩根，則Q03842054X是方程和2098A5數(shù)列的前項和21，數(shù)列滿足（）。NANSANBNNBA113，N求證為等比數(shù)列；求數(shù)列的前項和。NBNT1在正數(shù)等比數(shù)列中，是方程的兩個根，則的值為（）NA191602X60540A2已知等比數(shù)列的公比為（為實數(shù)），前項和為，且成等差數(shù)列，則等于（QNNS93S，3Q）3設(shè)等差數(shù)列的公差不為零，9，若的等比中項，則等于（）NAD1ADKKA21與是K4已知等比數(shù)列的前項和（）SN，則35在等比數(shù)列中，N_,6326515A則，三、解答題8有四個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為16，且第4個數(shù)與第2個數(shù)的比也是16，求這四個數(shù)。64數(shù)列求和知識要點求數(shù)列前項和的基本方法N直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和；112211QANSDNNN公比含字母時一定要討論。為無窮遞縮等比數(shù)列時，NAQAS1錯位相減法求和如為等差數(shù)列，為等NANB比數(shù)列，求的和。NB21分組求和把數(shù)列的每一項分成若干項，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。合并求和如求的和。222197810裂項相消法求和把數(shù)列的通項拆成兩項之差，正負(fù)相消剩下首尾若干項。常見拆項11212121NNNNN公式法求和2131261NKNN倒序相加法求和其它求和法如歸納猜想法、奇偶法等。2直接用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程。求一般數(shù)列的前項和，無通法可循，為此平N時要注意掌握某些特殊數(shù)列前項和的求法。數(shù)列求和時，要注意觀察它的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。課前熱身1設(shè)數(shù)列22321211NDCBASSNNN的值為（）則，項和為的前，2已知數(shù)列的前項和NA210975350311）（，則DCBASNSNN等于（1374N）131322NDNCBA4數(shù)列是等差數(shù)列，A20650S項和，則前典例精析一、錯位相減法求和例1求和NNAA321點撥若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，NANB則求數(shù)列的前項和時，可采用錯位B相減法；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時，應(yīng)對字母是否為1進行討論；當(dāng)將與相減合并同類項時，注意錯NSQ位及未合并項的正負(fù)號。二、裂項相消法求和例2數(shù)列滿足8，NA1（）024NA，且N求數(shù)列的通項公式；N設(shè)14NABN（）求TNNNBBT21N故的最大整數(shù)值為5。M點撥若數(shù)列的通項能轉(zhuǎn)化為NA的形式，常采用裂項相消法求和。1FNF使用裂項消法求和時，要注意正負(fù)項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項。數(shù)學(xué)門診已知為數(shù)列的前項和，且NSNAN，232求證數(shù)列為等比數(shù)列；N1數(shù)列的前,21,84,132,N項和為（）N2121244NNDNCBA233445（1）（2）等于（）321636NDNCBA課外練習(xí)數(shù)列的前項和為，若NANS等于（）51SNA，則3016DCBA化簡的結(jié)1221NNNS果是合適。答案，時，時，解令DSNSCBANN4211已知等差數(shù)列的前項和是，NAN已知奇函數(shù)24162809171605，則，DCBAS二、填空題3設(shè)等比數(shù)列的公比與前項和分別為和NAQ，且1，NSQ102108SS，則6數(shù)列滿足NANN，則數(shù)列的前項和為12B又B三、解答題8設(shè)數(shù)列滿足NA（）33121NAANN求數(shù)列的通項公式；NN設(shè)，求數(shù)列的前項和NABNBNS9已知數(shù)列滿足NA321NA求數(shù)列的通項公式；N65數(shù)列的綜合應(yīng)用知識要點一、數(shù)列綜合問題中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想1用函數(shù)的觀點與思想認(rèn)識數(shù)列，將數(shù)列的通項公式和求和公式視為定義在自然數(shù)集上的函數(shù)；2用方程的思想處理數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列基本量的方程；3用轉(zhuǎn)化化歸的思想探究數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的研究；4數(shù)列綜合問題常常應(yīng)用分類討論思想，特殊與一般思想，類比聯(lián)想思想，歸納猜想思想等。二、解決問題的主要思路有1把綜合問題分解成幾個簡單的問題2把綜合問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題3通過觀察，探索問題的一般規(guī)律性4建立數(shù)列模型，使用模型解決問題三、實際問題的數(shù)列模型依據(jù)實際問題的遞推、等差、等比情境，將問題轉(zhuǎn)換為遞推數(shù)列、等差數(shù)列和等比數(shù)列，建立數(shù)列模型探究和解決實際應(yīng)用問題。課前熱身某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，按此規(guī)律，6小時后細胞成活的個數(shù)是（）A63B65C67D71根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果、預(yù)測某種家用商品從年初開始的幾個月內(nèi)積累的需求量（萬件）近似的滿足NS按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過15萬件的月份是（），1252190NNSA5月，6月B6月，7月C7月，8月D8月，9月過圓內(nèi)一點5，3有條弦,其長度組成等差數(shù)列,且最小弦長為數(shù)列的首項，最大XYX2KNA1弦長為M末項，若公差，則最大值為（）KA32,1DA5B6C7D8某工廠2003年至2006年的產(chǎn)量和為100噸，2005年至2008年的產(chǎn)量和為121噸，則該工廠從2003年到2008年平均增長率為典例精析1、數(shù)列模型實際應(yīng)用問題例2某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到2007年底全縣的綠化率已達30，從2008年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面即原有沙漠面積的16將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4又被沙化。設(shè)全縣面積為1，2007年底綠化面積為，經(jīng)過年綠化面積為，求證103AN1NA2541NNA至少需要多少年（取整數(shù)）的努力，才能使全縣的綠化率達到60點撥解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題。數(shù)學(xué)門診從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)51的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加。41設(shè)第年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為，寫出、的表達式。NNANBNAB至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入總結(jié)提高1數(shù)列模型應(yīng)用問題的求解策略認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意；依據(jù)問題情境，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后應(yīng)用通項公式，前項和公式以及性質(zhì)求解，或通過探索、N歸納構(gòu)造遞推數(shù)列求解。驗證、反思結(jié)果與實際是否相符。2數(shù)列綜合問題的求解策略數(shù)列與函數(shù)綜合問題或應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)列問題，或以函數(shù)為載體構(gòu)造數(shù)列，應(yīng)用數(shù)列的知識求解；數(shù)列的幾何型綜合問題，探究幾何性質(zhì)和規(guī)律特征建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后求解問題。課堂演練一張報紙，