1、數(shù)學建模是通過對實際問題進行抽象、簡化，反復(fù)探索，構(gòu)件一個能夠刻劃客觀原形的 本質(zhì)特征的數(shù)學模型，并用來分析、研究和解決實際問題的一種創(chuàng)新活動過程。 數(shù)學建模的幾個過程 :模型準備 ：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學語 言來描述問題。模型假設(shè) ：根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的 語言提出一些恰當?shù)募僭O(shè)。模型建立 ：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當?shù)臄?shù)學工具來刻劃各變量之間的數(shù)學關(guān)系，建 立相應(yīng)的數(shù)學結(jié)構(gòu)。 （盡量用簡單的數(shù)學工具）模型求解 ：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算（估計） 。模型分析 ：對所得的結(jié)果進行數(shù)學上的分析。模

2、型檢驗 ：將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性 和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實際含義，并進行解釋。如果模 型與實際吻合較差 , 則應(yīng)該修改假設(shè)，在次重復(fù)建模過程。模型應(yīng)用 ：應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異 數(shù)學建模就是建立數(shù)學模型，建立數(shù)學模型的過程就是數(shù)學建模的過程， 數(shù)學建模是 一種數(shù)學的思考方法， 是運用數(shù)學的語言和方法， 通過抽象、 簡化建立能近似刻劃并 解決 實際問題的一種強有力的數(shù)學手段 。數(shù)學模型的分類（1）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類： 生物數(shù)學模型，醫(yī)學數(shù)學模型，地質(zhì)數(shù)學模型，數(shù)量經(jīng)濟學模型，數(shù)學社會學模型等。（2）按是否考慮

3、隨機因素分類：確定性模型與隨機性模型（3）按是否考慮模型的變化分類：靜態(tài)模型與動態(tài)模型（ 4）按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法分類：離散模型與連續(xù)模型 （5）按建立模型的數(shù)學方法分類： 幾何模型，微分方程模型，圖論模型，規(guī)劃論模型，馬氏鏈模型等。（6）按人們對是物發(fā)展過程的了解程度分類：白箱模型： 指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。 如力學、 熱學、電學以及相關(guān)的工程技術(shù)問題。 灰箱模型： 指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚， 在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工 作要做的問題。如氣象學、生態(tài)學經(jīng)濟學等領(lǐng)域的模型。黑箱模型： 指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。 如生命科學、 社會科學等方面的問 題。但

4、由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡化為灰箱模型來研究。數(shù)學建模方法一）、機理分析法 從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導出模型。1. 比例分析法 - 建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法。2. 代數(shù)方法 - 求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符號、圖形）的主要方法。3. 邏輯方法 - 是數(shù)學理論研究的重要方法， 對社會學和經(jīng)濟學等領(lǐng)域的實際問題， 在決策，對策等學科中得到廣泛應(yīng)用。4. 常微分方程 - 解決兩個變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立 瞬時變化率 的表達式。5. 偏微分方程 - 解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律。（二）、數(shù)據(jù)分析法 從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計方法建立數(shù)學模型。1. 回歸分

5、析法-用于對函數(shù)f （x）的一組觀測值（xi,fi ） i=1,2, , ,n，確定函數(shù)的表達式，由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。2. 時序分析法 - 處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法。3. 回歸分析法-用于對函數(shù)f（ x）的一組觀測值（xi,fi ）i=1,2, , ,n，確定函數(shù)的表達式，由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。4. 時序分析法 - 處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法。（三）、仿真和其他方法1. 計算機仿真（模擬）-實質(zhì)上是統(tǒng)計估計方法，等效于抽樣試驗。離散系統(tǒng)仿真-有一組狀態(tài)變量。 連續(xù)系統(tǒng)仿真 - 有解析表達式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。2.

6、 因子試驗法 - 在系統(tǒng)上作局部試驗，再根據(jù)試驗結(jié)果進行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)。3. 人工現(xiàn)實法 - 基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達到的目標，并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化，人為地組成一個系統(tǒng)。微分方程模型微分方程是表達事物發(fā)展過程的一種很有用的工具，它能更全面、更深刻地揭示實際事物內(nèi)在的動態(tài)關(guān)系。建立起這樣的模型，可以幫助我們?nèi)ソ忉尭鞣N有關(guān)的現(xiàn)象，做出相應(yīng)的決策或者對未來的發(fā)展進行某種預(yù)測。建立數(shù)學模型的第一步，是把對一個實際問題的描述翻譯成數(shù)學語言，翻譯的過程同中學時解“應(yīng)用題”的過程很相似，根據(jù)問題中給出的已知條件和要求達到的目的，設(shè)定若干變量，有時還需要添加或補充一些

7、假設(shè) 條件，由此推導并建立起變量間的用等式描述的關(guān)系。所不同的是，微分方程中的等式 關(guān)系是微觀的、瞬時的關(guān)系。建立微分方程模型的一般過程 我們知道解應(yīng)用題是沒有通用法則可循的，必須具 體問題具體分析，建立微分方程模型也是如此。下面只是列出在建模過程中通常需要注 意的一些地方。 在剛開始學習構(gòu)造微分方程模型時， 總是習慣地用代數(shù)方程來思考， 僅僅考慮問題中各個量之間的靜態(tài)關(guān)系， 而不注意它們與其變化率之間的關(guān)系 事實上， 需要特別關(guān)注實際問題中表示“導數(shù)”的常用詞，如物理問題中的“速率” 、生物學或 人口學問題中的“增長率” 、放射性問題中的“衰變率”等一些涉及變化率的詞 ， 或 者“在單位時間

8、里，某個量改變了多少”一類的字樣。圍繞這些變化的量。設(shè)法利用所 涉及的原則或現(xiàn)有的物理定律，或者根據(jù)問題中給出的條件推導出合適的關(guān)系式。在多 數(shù)一階微分方程的建模問題中，往往可以套用這樣一種模式 ：變化率 =輸入率 輸出 率，其中變化率一般表示成導數(shù)的符號X 。這個微分方程應(yīng)該是在每一時刻都成立的瞬時表達式，而等號右邊的輸入率和輸出率則是需要根據(jù)題意寫出的X 和 T 的函數(shù)方程中的每一項都應(yīng)該有相同的物理量綱，以保證等式的合理性。以方程（1唱 3）為例，Dx / Dt的單位是個/秒、個/年等，表示單位時間里群體變化的數(shù)量， 一般是瞬時值，Ro的單位為1/ S,1/ A等，是單位時間單一個體的增

9、長率（生殖率 死亡率） ；而1 X/XM 是無量綱的，純粹是一個比率。這樣，這個方程兩邊的單位相同。在建模時，除了建立瞬時表達式外我們還需要知道一些有關(guān)特定時刻的額 外信息， 它們與微分方程無關(guān)， 但可用來幫助確定微分方程中的系數(shù)和解中的積分常數(shù)。 這些參數(shù)也是數(shù)學模型中不可缺少的部分，合理地選擇這些參數(shù)是建模成功的關(guān)鍵之 一。額外信息是通過有關(guān)問題的背景領(lǐng)域的專業(yè)知識、相關(guān)的實驗數(shù)據(jù)或者我們的日常 經(jīng)驗等提取出來的。再用這些信息來推導、選擇方程中的參數(shù)，并從不同的方面加以驗 證。用數(shù)學語言描述實際問題，或者說將實際問題翻譯成數(shù)學語言，必須有合理的符合實際的假設(shè)，以假設(shè)的方式給出所涉及的物理定

10、律或有關(guān)領(lǐng)域的某些規(guī)律 但是實際世界往往十分復(fù)雜，互相影響的量相當多，或者所研究的問題還沒有現(xiàn)成的規(guī)律可依 （往往對非物理領(lǐng)域的問題） 。在實際的翻譯中免不了要有一定的近似，需要對問題有 一定的簡化，因此，提出合理的假設(shè)是建好數(shù)學模型的首要關(guān)鍵， 它是整個建模過程的基礎(chǔ)，必須引起足夠的重視。一方面，我們要求假設(shè)符合實際情況，能夠反映所研究 的問題的基本特征和基本行為。在前面的例子中，各種假設(shè)盡可能地滿足生物生態(tài)學上 的具體要求。對所作的假設(shè)必須有足夠的根據(jù)，應(yīng)做出定性或者定量的分析。如果假設(shè) 條件太嚴格，就使得推導出來的數(shù)學模型描述的對象過分簡單，與實際情況相去甚遠， 或者解決的問題范圍十分狹

11、窄， 計算結(jié)果的誤差太大。但是，如果假設(shè)條件過分寬松， 往往得不出數(shù)學描述， 即使能得到也因為太復(fù)雜而使數(shù)學處理非常困難。 因此另一方面， 我們還要作一些簡化假設(shè)，如消除次要項、把某些變量限制為常數(shù)或者線性化等。數(shù)學 模型是實際世界的一種近似，建模目的不同，或者感興趣的方面不同，就有不同的簡化 假設(shè)，比如為了預(yù)測變化的未來時刻的狀態(tài)，為了解釋某種現(xiàn)象的發(fā)生機理或者為了優(yōu) 化、控制某個動態(tài)系統(tǒng)，等等。在不同的精度要求下，也會有不同的簡化，我們必須審 慎取舍，在這兩個方面采取一種合適的折中辦法，才能得出準確而實用的數(shù)學模型。只 有有了合適的假設(shè)，才有可能寫出理想的微分方程 求解微分方程也是建模的重

12、要組 成部分，在微分方程的有關(guān)教材中介紹過許多求解的方法 ， 在此不再詳細討論了，其 實，許多模型比較復(fù)雜，需要作進一步的簡化才能求得分析解；我們也經(jīng)常用數(shù)值方法 計算那些方程的解；有時干脆不去求具體的解，直接討論微分方程的性質(zhì)，比如它們的 穩(wěn)定性、漸衡、周期解等 最后一個重點是，要根據(jù)計算的結(jié)果用語言去解釋有關(guān)的 現(xiàn)象。通常，實際問題是由有關(guān)領(lǐng)域的專家或工作人員提出來的，他們一般不關(guān)心數(shù)學 推理求解的過程，而只希望知道問題的結(jié)論。從這個意義上講，真正好的數(shù)學模型，是 該領(lǐng)域的專家認可的模型。只有讓數(shù)學上的結(jié)果回答了實際的問題，才是一個完整的建 模過程。當然，正如我們在前面看到的那樣，模型建立

13、的過程是不斷改進、逐步完善的 過程。因此，只有堅持不懈地努力，才能構(gòu)造出與實際吻合得更好的模型來。差分模型與經(jīng)驗?zāi)Ｐ?差分方程就是針對要解決的目標， 引入系統(tǒng)或過程中的離散變量， 根據(jù)實際背景的規(guī)律、 性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出 和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動 性、周期性等） ，從而把握這個離散變量的變化過程的規(guī)律，進一步再結(jié)合其他分析， 得到原問題的解。2、應(yīng)用：差分方程模型有著廣泛的應(yīng)用。實際上，連續(xù)變量可以用離散變量來 近似和逼近，從而微分方程模型就可以近似于某個差分方程模型。差分方程模型有著

14、非 常廣泛的實際背景。在經(jīng)濟金融保險領(lǐng)域、生物種群的數(shù)量結(jié)構(gòu)規(guī)律分析、疾病和病蟲 害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許許多多的方面都有著非常重要的作用。可以這樣 講，只要牽涉到關(guān)于變量的規(guī)律、性質(zhì)，就可以適當?shù)赜貌罘址匠棠Ｐ蛠肀憩F(xiàn)與分析求 解。3、差分方程建模： 在實際建立差分方程模型時，往往要將變化過程進行劃分， 劃分成若干時段，根據(jù)要解決問題的目標，對每個時段引入相應(yīng)的變量或向量，然后通 過適當假設(shè)，根據(jù)事物系統(tǒng)的實際變化規(guī)律和數(shù)量相互關(guān)系，建立每兩個相鄰時段或幾 個相鄰時段或者相隔某幾個時段的量之間的變化規(guī)律和運算關(guān)系 （即用相應(yīng)設(shè)定的變量 進行四則運算或基本初等函數(shù)運算或取最運算等）等式

15、（可以多個并且應(yīng)當充分全面反 映所有可能的關(guān)系） ，從而 建立起差分方程。或者對事物系統(tǒng)進行劃分，劃分成若干子 系統(tǒng)，在每個子系統(tǒng)中引入恰當?shù)淖兞炕蛳蛄?，然后分析建立起子過程間的這種量的關(guān) 系等式，從而建立起差分方程。在這里，過程時段或子系統(tǒng)的劃分方式是非常非常重要 的，應(yīng)當結(jié)合已有的信息和分析條件，從多種可選方式中挑選易于分析、針對性強的劃 分，同時，對劃分后的時段或子過程，引入哪些變量或向量都是至關(guān)重要的，要仔細分 析、選擇，盡量擴大對過程或系統(tǒng)的數(shù)量感知范圍，包括對已有的、已知的若干量進行 結(jié)合運算、 取最運算等處理方式， 目的是建立起簡潔、 深刻、 易于求解分析的差分方程。 在后面我們

16、所舉的實際例子中，這方面的內(nèi)容應(yīng)當重點體會。差分方程模型作為一種重要的數(shù)學模型，對它的應(yīng)用也應(yīng)當遵從一般的數(shù)學建 模的理論與方法原則。同時注意與其它數(shù)學模型方法結(jié)合起來使用，因為一方面建立差 分方程模型所用的數(shù)量、 等式關(guān)系的建立都需要其他的數(shù)學分析方式來進行； 另一方面，由差分方程獲得的結(jié)果有可以進一步進行優(yōu)化分析、滿意度分析、分類分析、相關(guān)分析數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃是運籌學的一個重要分支，它起源于工業(yè)生產(chǎn)組織管理的決策問題，廣泛應(yīng)用于最優(yōu)化設(shè)計、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國防建設(shè)、交通運輸、決策管理與規(guī)劃等領(lǐng)域。它又分為線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、多目標規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃等幾大類。概率模型層次分析模型層次分析模型主

17、要應(yīng)用于日常工作、生活中的決策問題，尤其涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素和作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化時。數(shù)理統(tǒng)計模型1、蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具）3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題（建模競賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數(shù)學規(guī)劃算法來描述，通常使用Lin do、Lin go 軟件實現(xiàn)）4、圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備）5、動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法（這些算法是算法設(shè)計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中）6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現(xiàn)比較困難，需慎重使用）7、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很多競賽題中有應(yīng)用，當重點討論模型