1、數(shù)學(xué)專題 精心整理專題10 最優(yōu)化閱讀與思考數(shù)學(xué)問題中常見的一類問題是：求某個(gè)變量的最大值或最小值；在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常碰到一些帶有“最”字的問題，如投入最少、效益最大、材料最省、利潤(rùn)最高、路程最短等，這類問題我們稱之為最值問題，解最值問題的常見方法有：1配方法由非負(fù)數(shù)性質(zhì)得2不等分析法通過解不等式（組），在約束條件下求最值3運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)對(duì)二次函數(shù)，若自變量為任意實(shí)數(shù)值，則取值情況為：（1）當(dāng)，時(shí)， ；（2）當(dāng)，時(shí)， ；4構(gòu)造二次方程利用二次方程有解的條件，由判別式確定變量的取值范圍，進(jìn)而確定變量的最值例題與求解【例1】當(dāng)變化時(shí)，分式的最小值是 （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：因分式中分子

2、、分母的次數(shù)相等，故可將原分式用整式、真分式的形式表示，通過配方確定最小值【例2】已知，且，則的最小值為（ ） A. B. 3 C. D. 13（太原市競(jìng)賽試題）解題思路：待求式求表示為關(guān)于x(或y)的二次函數(shù)，用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值，需注意的是變量x、y的隱含限制【例3】，在的范圍內(nèi)最小值2a，最大值2b，求實(shí)數(shù)對(duì)(a，b).解題思路:本題通過討論a，b與對(duì)稱軸的關(guān)系得出結(jié)論【例4】（1）已知的最大值為a，最小值b，求的值（“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”競(jìng)賽試題）（2） 求使取得最小值的實(shí)數(shù)的值 （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）（3）求使取得最小值時(shí)x，y的值（“我愛數(shù)學(xué)”初中生夏令營(yíng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解題思路：解

3、與二次根式相關(guān)的最值問題，除了利用函數(shù)增減性、配方法等基本方法外，還有下列常用方法：平方法、判別式法、運(yùn)用根式的幾何意義構(gòu)造圖形等 【例5】如圖，城市A處位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)B需從A市購(gòu)進(jìn)大量生活、生產(chǎn)用品，如果鐵路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半，問：該如何從B修筑一條公路到鐵路邊，使從A到B的運(yùn)費(fèi)最低？（河南省競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)鐵路與公路的交點(diǎn)為C，ACx千米，BCy千米，ADn千米，BDm千米，又設(shè)鐵路每千米的運(yùn)費(fèi)為a元，則從A到B的運(yùn)費(fèi)，通過有理化，將式子整理為關(guān)于的方程 【例6】（1）設(shè)，（），為kr1個(gè)互不相同的正整數(shù)，且xrxr1xk2003，求的最大可能值（香港中學(xué)競(jìng)賽試題

4、）（2）a，b，c為正整數(shù)，且，求c的最小值（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：對(duì)于(1)，因r1，對(duì)kr1 k11k個(gè)正整數(shù)x1，x2，xk，不妨設(shè)x1x2xk2013，可見，只有當(dāng)各項(xiàng)x1，x2，xk的值愈小時(shí)，才能使k愈大（項(xiàng)數(shù)愈多），通過放縮求k的最大值；對(duì)于（2），從入手能力訓(xùn)練 A級(jí)1已知三個(gè)非負(fù)數(shù)a，b，c，滿足3a2bc5和2ab3c1，若m3ab7c，則m的最小值為_，最大值為 2多項(xiàng)式p2x24xy5y212y13的最小值為 3已知x，y，z為實(shí)數(shù)，且x2yz6，xy2z3，那么x2y2z2的最小值為 （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4若實(shí)數(shù)a，b，c，滿足a2b2c29，則代數(shù)式(

5、ab)2(bc)2(ca)2的最大值為 ( )（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）5已知兩點(diǎn)A(3，2)與B(1，1)，點(diǎn)P在y軸上且使PAPB最短，則P的坐標(biāo)是（ ） A.(0，) B.(0，0) C.(0，) D.(0，)（鹽城市中考試題）6正實(shí)數(shù)，滿足，那么的最小值為（ ） A. B. C. 1 D. E. （黃岡市競(jìng)賽試題）7某公司試銷一種成本單價(jià)為500元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時(shí)的銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，又不高于800元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量(件)與銷售單價(jià)(元/件)可近似看作一次函數(shù)的關(guān)系（如圖所示）.（1）根據(jù)圖象，求一次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn)（毛利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總

6、價(jià)）為S元試用銷售單價(jià)表示毛利潤(rùn)；試問：銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司可獲得最大毛利潤(rùn)？最大毛利潤(rùn)是多少？此時(shí)的銷量是多少？（南通市中考試題）8方程有一根不大于，另一根不小于，（1）求的取值范圍；（2）求方程兩根平方和的最大值與最小值（江蘇省競(jìng)賽試題）9已知實(shí)數(shù)a，b滿足，求的最大值與最小值（黃岡市競(jìng)賽試題）10.已知a，b，c是正整數(shù)，且二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，若點(diǎn)A，B到原點(diǎn)的距離都小于1，求abc的最小值（天津市競(jìng)賽試題）11某單位花50萬元買回一臺(tái)高科技設(shè)備，根據(jù)對(duì)這種型號(hào)設(shè)備的跟蹤調(diào)查顯示：該設(shè)備投入使用后，若將養(yǎng)護(hù)和維修的費(fèi)用均攤到每一天，則有結(jié)論：第x天應(yīng)付的養(yǎng)護(hù)

7、與維修費(fèi)為元（1）如果將設(shè)備從開始投入使用到報(bào)廢所需的養(yǎng)護(hù)與維修費(fèi)及購(gòu)買設(shè)備費(fèi)用的總和均攤到每一天，叫作每天的平均損耗，請(qǐng)你將每天的平均損耗y（元）表示為使用天數(shù)x（天）的函數(shù)（2）按照此行業(yè)的技術(shù)和安全管理要求，當(dāng)此設(shè)備的平均損耗達(dá)到最小值時(shí)，就應(yīng)當(dāng)報(bào)廢，問：該設(shè)備投入使用多少天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢？（河北省競(jìng)賽試題）B級(jí)1a，b是正數(shù)，并且拋物線和都與x軸有公共點(diǎn)，則的最小值是 2設(shè)x，y，z都是實(shí)數(shù)，且滿足xyz1，xyz2，則的最小值為 3如圖，B船在A船的西偏北45°處，兩船相距km，若A船向西航行，B船同時(shí)向南航行，且B船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離為 km（全國(guó)

8、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）4若a，b，c，d是乘積為1的四個(gè)正數(shù)，則代數(shù)式a2b2c2d2abbcacadbdcd的最小值為（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 10 （天津市競(jìng)賽試題）5已知x，y，z為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足3x2yz5，xyz2. 若s2xyz，則s的最大值與最小值的和為（ ） A. 5 B. C. D. （天津市選拔賽試題）6如果拋物線與x軸的交點(diǎn)為A，B，頂點(diǎn)為C，那么ABC的面積的最小值為（ ） A.1 B.2 C.3 D.47某商店將進(jìn)貨價(jià)每個(gè)10元的商品按每個(gè)18元售出時(shí)，每天可賣出60個(gè)，商店經(jīng)理到市場(chǎng)上做了一番調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，若將這種商品的售價(jià)（在每個(gè)18元的基礎(chǔ)上）

9、每提高1元，則日銷售量就減少5個(gè)；若將這種商品的售價(jià)（在每個(gè)18元的基礎(chǔ)上）每降低1元，則日銷量就增加10個(gè)，為獲得每日最大利潤(rùn)，此商品售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)多少元？（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）8有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次是p（萬元）和q（萬元），它們與投入資金x（萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式：.今有3萬元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得多大的利潤(rùn)？（紹興市競(jìng)賽試題）9已知為x，y，z為實(shí)數(shù)，且，試求的最大值與最小值10已知三個(gè)整數(shù)a，b，c之和為13，且，求a的最大值和最小值，并求出此時(shí)相應(yīng)的b與c值（四川省競(jìng)賽試題）11設(shè)x1，x2，xn是整數(shù)，并且滿足： 1