1、江蘇蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)學(xué)問點(diǎn)歸納上冊2021.1.1第一章軸對稱圖形一、軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)分和聯(lián)系區(qū)分： 軸對稱是指兩個(gè)圖形沿某直線對折能夠完全重合，是兩個(gè)圖形之間的一種關(guān)系，而軸對稱圖形是兩部分能完全重合的一個(gè)圖形；聯(lián)系： 兩者都有完全重合的特點(diǎn)，都有對稱軸，都有對稱點(diǎn)；二、軸對稱的性質(zhì)1、定義垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線 ；2、 把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊， 假如它能夠與另一個(gè)圖形重合， 那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱， 也稱這兩個(gè)圖形成軸對稱， 這條直線叫做對稱軸， 兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做對稱點(diǎn)；3、 把一個(gè)圖形沿著一條某直線折疊，假如直線兩旁的部分能夠相互重

2、合，那么稱這個(gè)圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸；4、 成軸對稱的兩個(gè)圖形全等；假如兩個(gè)圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點(diǎn)連線的垂直平分線；三、線段、角的軸對稱性1、 線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸；線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；2、 到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合；3、 角是軸對稱圖形，角平分線所在直線是它的對稱軸；角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；四、等腰三角形的軸對稱性1、等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對稱軸；2、等腰三角形

3、的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對等角”）；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；3、假如一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）；4、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；5、直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半；6、三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形；等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3 條對稱軸；等邊三角形的每個(gè)角都等于60°；7、三條邊都相等的三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；五、等腰梯形的軸對稱性1、定義梯形中，平行的一組對

4、邊稱為底，不平行的一組對邊稱為腰；兩腰相等的梯形叫做 等腰梯形 ；2、等腰梯形是軸對稱圖形，過兩底中點(diǎn)的直線是它的對稱軸；等腰梯形在同一底上的兩個(gè)2 / 10角相等；3、等腰梯形的對角線相等；對角線相等的梯形是等腰梯形；4、在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；第一章小結(jié)軸對稱軸對稱性質(zhì)軸對稱圖形線段線段的垂直平分線角線到角角段線平的的段分內(nèi)垂兩線部直端上到平距的角分離點(diǎn)的線相到兩上等角邊的的的距點(diǎn)點(diǎn)兩離到，邊相線在距等段這離的兩條相點(diǎn)端的線段等，距上這離的個(gè)相等垂直角平分平分線上線上角平分線在等腰三角形等邊三角形等腰梯形等等在腰腰同梯梯一形形底的在上對同的角一兩線底個(gè)相上角等的兩相等個(gè)角的

5、梯相等形是等腰梯形等等等直腰邊角角三對對三角等等角形的角邊形斜頂邊角上平的分中線線、等底于邊斜上邊的的中一線半、底邊上的高互相重合的3 / 10其次章勾股定理與平方根一、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；我國古代把直角三角形中，較短的直角邊叫做“勾”，較長的直角邊叫做“股” ，斜邊叫做“弦”；結(jié)論為： “勾三股四弦五” ； 2+2=2 b2221、 假如三角形的三邊長a、b、c 滿意 + =，那么這個(gè)三角形是直角三角形；2222、 滿意 + = 的 3 個(gè)正整數(shù) a、b、c 稱為勾股數(shù)；（例如， 3、4、5 是一組勾股數(shù)）；利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形；二、平方根1、

6、定義一般地，假如一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根 ，也稱為二次方根；也就是說，假如2= a，那么就叫做a的平方根；2、一個(gè)正數(shù)有2 個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0 只有一個(gè)平方根，它是0 本身；負(fù)數(shù)沒有平方根；3、 求一個(gè)數(shù) a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方 ；4、 正數(shù) a有兩個(gè)平方根，其中正的平方根，也叫做a的算術(shù)平方根；例如：4 的平方根是 ±2，其中 2 叫做 4 的算術(shù)平方根， 記作 4 = 2 ；2 的平方根是 ±2，其中 2 叫做 2 的算術(shù)平方根；0 只有一個(gè)平方根，0 的平方根也叫做0 的算術(shù)平方根，即0 =0三、立方根1、定義一般地，假如一個(gè)數(shù)的立

7、方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a 的立方根 ，也稱為三次方根；也就是說，假如3=a，那么就叫做a 的立方根，數(shù)a 的立方根記作“3 a”，讀作“三次根號(hào)a”；2、求一個(gè)數(shù)a 的立方根的運(yùn)算，叫做開立方 ；3、正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0 的立方根是0；四、實(shí)數(shù)1、無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù) ；2、有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù) ；3、每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的；五、近似數(shù)與有效數(shù)字1、例如，本冊數(shù)學(xué)課本約有100 千字，這里100 是一個(gè) 近似數(shù) ；2、對一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0 的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，全部

8、的數(shù)字都稱為這個(gè)近似數(shù)的 有效數(shù)字 ；4 / 10第三章中心對稱圖形（一）一、圖形的旋轉(zhuǎn)1、定義在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)肯定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的 旋轉(zhuǎn) ；這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角；圖形的旋轉(zhuǎn)不轉(zhuǎn)變圖形的外形、大小；2、結(jié)論旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，每一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等；二、 中心對稱與中心對稱圖形1、定義把一個(gè)圖形圍著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，假如它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱 這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對稱，也稱這兩個(gè)圖形成中心對稱 ；這個(gè)點(diǎn)叫做 對稱中心 ；兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做對稱點(diǎn)；2、一個(gè)圖形圍著某一

9、點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°是一種特殊的旋轉(zhuǎn)，因此，成中心對稱的兩個(gè)圖形具有圖形旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)；3、成中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分；4、把一個(gè)平面圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原先的圖形相互重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形；這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心；三、平行四邊形1、定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 ；平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)是它的對稱中心；2、性質(zhì)平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線相互平分；3、判定依據(jù)一組對邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形；兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形

10、；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形； 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；四、矩形、菱形、正方形（一）矩形1、定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形 ；矩形通常也叫做長方形；矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2、性質(zhì)矩形的對角線相等且相互平分，四個(gè)角都是直角；3、判定依據(jù)有3 個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形； 一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（二）菱形1、定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 ；菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2、 性質(zhì)菱形的四條邊都相等；5 / 10菱形的對角線相互垂

11、直且平分，并且每一條對角線平分一組對角；3、 判定依據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形；對角線相互垂直的平行四邊形是菱形；一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（三）正方形1、定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形 ；正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是有一組鄰邊相等的特殊的矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊的菱形；2、關(guān)系：有一組矩形鄰邊相等正方形菱形有一個(gè)角是直角平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系：平行四邊形矩形正菱形方形正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)；五、三角形、梯形的中位線1、連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半；2、

12、連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線；梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半；6 / 10圖形的性質(zhì)平行四邊形矩形菱形正方形對邊平行且相等.四邊都相等.四個(gè)角都是直角.對角線相互平分.對角線相互垂直.對角線相等.第四章數(shù)量、位置的變化一、數(shù)量的變化（略）二、位置的變化（略）三、平面直角坐標(biāo)系1、平面上相互垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系；2、水平方向的數(shù)軸稱為x 軸或橫軸， 豎直方向的數(shù)軸稱為y 軸或縱軸， 它們統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸；公共原點(diǎn)o稱為坐標(biāo)原點(diǎn)；3、兩條坐標(biāo)軸將平面分成四個(gè)象限，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限；平面內(nèi)的點(diǎn)就與一對有序?qū)崝?shù) 點(diǎn)的坐標(biāo) 建立了一一對應(yīng)關(guān)系；逆時(shí)針

13、次序分別記為第一、二、三、四象限；4、點(diǎn) p（ a，b）關(guān)于 x 軸對稱的點(diǎn)為（a， -b ），關(guān)于 y 軸對稱的點(diǎn)為（-a ， b），關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)位（ -a ， -b ）； x 軸上的點(diǎn)為（ x ， 0），y 軸上的點(diǎn)為（0， y）；例圖：在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對（a， b）所描述的點(diǎn)p 的位置： ybp（ a， b）過 x 軸上表示實(shí)數(shù) a 的點(diǎn)畫 x 軸的垂線，過 y 軸上表示實(shí)數(shù) b 的點(diǎn)畫這兩條垂線的交點(diǎn)，即為點(diǎn)p；xoa在圖中，點(diǎn)p 的坐標(biāo)為（ a， b），其中 a 稱為點(diǎn) p 的橫坐標(biāo)， b 稱為點(diǎn) p 的縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)寫在縱坐標(biāo)的前面；5、在平面直角坐標(biāo)系中，一對有序

14、實(shí)數(shù)可以確定一個(gè)點(diǎn)的位置；反之，任意一點(diǎn)的位置都可以用一對有序?qū)崝?shù)來表示；這樣的有序?qū)崝?shù)對叫做點(diǎn)的坐標(biāo) ；6、點(diǎn)的坐標(biāo)通常與表示該點(diǎn)的大寫字母寫在一起，如 p（ a，b）， q（m， n）；第五章一次函數(shù)一、函數(shù)1、定義一般地，假如在一個(gè)變化的過程中有兩個(gè)變量 x 和 y ，并且對于變量 x 的每一個(gè)值，變量 y 都有唯獨(dú)的值與它對應(yīng)，那么 y 就稱為是 x 的函數(shù) ；其中， x 是自變量， y 是因變量；7 / 10（補(bǔ)充： 在一變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫變量；始終不變的量叫常量；常量與變量均不帶單位；）2例如：水庫蓄水量是水位的函數(shù)（蓄水量隨著水位的上升或下降而增大或減?。粓A面積是半

15、徑的函數(shù)（s=r）等；2、表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用3 種方法：表格、圖形和數(shù)學(xué)式子；表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的式子通常稱為函數(shù)關(guān)系式 ；例如：汽車油箱內(nèi)存油40l，每行駛 100km 耗油 10l, 求行駛過程中油箱內(nèi)剩余油量q升與行駛路程s 公里的函數(shù)關(guān)系式；解： q= 40 -10×s100, 即 q= 40 -s10在一個(gè)變化過程中，自變量的取值通常有肯定的范疇；本例題中的自變量取值范疇是0 s400（存油 40l，每 10l 油可以行駛100km, 即行駛的最大路程s= 40 ×100= 400 公里）103、在直角坐標(biāo)系中，假如描出以自變量的值為橫坐標(biāo)、相應(yīng)的函數(shù)

16、值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，那么全部這樣的點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像；二、一次函數(shù)定義一般地，假如兩個(gè)變量x 和 y 之間的函數(shù)關(guān)系，可以表示為y=kx+b （ k、 b 為常數(shù)，且k 0）的形式，那么稱y 是 x 的一次函數(shù) ；特殊地，當(dāng)b=0 時(shí)， y 叫做 x 的正比例函數(shù)；例 1： 一盤蚊香長105cm，點(diǎn)燃時(shí)每小時(shí)縮短10cm；（ 1）寫出蚊香點(diǎn)燃后的長度y（ cm）與蚊香燃燒時(shí)間t （ h）之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）該盤蚊香可以使用多長時(shí)間？解：（ 1） y=105-10t（ 2）蚊香燃盡時(shí)，即y=0，由 1 得， 105-10t=0 ，即 t= 10510=10.5答：該盤蚊香可使用10

17、.5h ；例 2： 在彈性限度內(nèi)，彈簧伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比；（ 1） 已知一根彈簧自身的長度為cm，且所掛物體的質(zhì)量每增加1g，彈簧長度增加 kcm，試寫出彈簧長度y （ cm）與所掛物體質(zhì)量x（ g）之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）已知這根彈簧掛10g 物體時(shí)的長度為11cm，掛 30g 物體時(shí)的長度為15cm，試確 定彈簧長度y （ cm）與所掛物體質(zhì)量x（g）之間的函數(shù)關(guān)系式；解：（ 1）依據(jù)題意，得函數(shù)關(guān)系式為:y=kx+b（ 2）由 x=10 時(shí)， y=11 ，得11=10k+b由 x=30 時(shí)， y=15，得15=30k+b解方程組 10k + b = 1130k = b =

18、 15得， k = 0.2 b =9所求函數(shù)關(guān)系式為: y=0.2x+98 / 10三、 一次函數(shù)的圖象1、特點(diǎn)一次函數(shù)y=kx+b （k 、b 為常數(shù)，且k 0）的圖象是一條直線；當(dāng) k 0，那么 y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) k 0，那么 y 隨 x 的增大而減?。?、一次函數(shù)y=kx+b （k 、b 為常數(shù)，且k 0）的圖象與k 、b 的關(guān)系：k 0， b0 時(shí)，直線經(jīng)過一、二、三象限；k 0， b0 時(shí)，直線經(jīng)過一、三、四象限；k 0， b0 時(shí)，直線經(jīng)過一、二、四象限；k 0， b0 時(shí)，直線經(jīng)過二、三、四象限；3、一般地，正比例函數(shù)y=kx 的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線，一次函數(shù)y=

19、kx+b （ k、b 為常數(shù)，且 k 0）的圖象是由正比例函數(shù)y=kx （ k0）的圖象沿y 軸向上（ b0）或向下（ b0）平移 | b| 個(gè)單位長度得到的一條直線；4、畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要確定兩個(gè)點(diǎn)的位置，過這兩點(diǎn)畫直線就可以了；例題：在平面直角坐標(biāo)系中，畫一次函數(shù)y=-3x+3 的圖象；解：把 x=0 代入 y=-3x+3 ，得3 y y=3把 y=0 代入 y=-3x+3 ，得x=1過點(diǎn)（ 0， 3）、（1， 0）畫一條直線，-2 -1o12x-1這條直線就是函數(shù)y=-3x+3 的圖象；y=-3x+3-25、由函數(shù)解析式畫函數(shù)圖象，一般按以下步驟進(jìn)行：列表、描點(diǎn)、連線；描的點(diǎn)越多，

20、圖象越精確；有時(shí)不能把全部的點(diǎn)都描出，就用光滑的曲線連結(jié)所畫的點(diǎn)，從而得到函數(shù)的近似的圖象；6、兩個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系：當(dāng) k 相等， b 不相等時(shí)，這兩條直線平行； 當(dāng) k 不相等的時(shí)，這兩條直線相交；7、在求一個(gè)算式時(shí)，如已知所求結(jié)果具有某種形式，就可引入一些待確定的系數(shù)來表示結(jié)果，建立起給定算式和結(jié)果之間的恒等式，再依據(jù)條件對恒等式變形，確定待定的系數(shù)；這種方法稱為 待定系數(shù)法 ；8、一次函數(shù)的一般形式為y=kx+b（k 0），依據(jù)題中所給的條件，通過待定系數(shù)法，確定 k 和 b 值，即可求出一次函數(shù)的關(guān)系式；9、在解決一些實(shí)際問題時(shí)，確定一次函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵是找到兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，

21、運(yùn)用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；運(yùn)用一次函數(shù)解決問題時(shí)，留意函數(shù)的自變量的取值范疇要符合實(shí)際情形；例題：洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí)，經(jīng)受了進(jìn)水、 清洗、排水、 脫水四個(gè)連續(xù)的過程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（ l）與時(shí)間x（ min）之間的關(guān)系如折線圖所示：y/l40ox/min4159 / 10依據(jù)圖象解答以下問題：洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少升？已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19l；求排水時(shí)y 與 x 之間的關(guān)系式；假如排水時(shí)間為 2 分鐘，求排水終止時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量；分析：此類問題是常見的生活問題，解決此題的關(guān)鍵是通過閱讀和信息的處理進(jìn)行分析，看清、讀懂題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；解：由圖象可知：洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是4min ，清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是40l；由于圖象經(jīng)過 （ 15，4