...wd......wd......wd...第二章習題2-11.試利用本節(jié)定義5后面的注〔3〕證明：假設xn=a,那么對任何自然數(shù)k，有xn+k=a.證：由，知，，當時，有取，有，，設時〔此時〕有由數(shù)列極限的定義得.2.試利用不等式說明：假設xn=a,那么∣xn∣=|a|.考察數(shù)列xn=(-1)n，說明上述結論反之不成立.證：而于是，即由數(shù)列極限的定義得考察數(shù)列，知不存在，而，，所以前面所證結論反之不成立。3.利用夾逼定理證明：(1)=0；(2)=0.證：〔1〕因為而且，，所以由夾逼定理，得.〔2〕因為，而且，所以，由夾逼定理得4.利用單調(diào)有界數(shù)列收斂準那么證明以下數(shù)列的極限存在.(1)xn=，n=1,2,…；(2)x1=,xn+1＝,n=1,2,….證：〔1〕略?！?〕因為，不妨設，那么故有對于任意正整數(shù)n，有，即數(shù)列有上界，又，而,，所以即，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。綜上所述，數(shù)列是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故其極限存在。習題2-21※.證明：f(x)=a的充要條件是f(x)在x0處的左、右極限均存在且都等于a.證：先證充分性：即證假設，那么.由及知：,當時，有，當時，有。取，那么當或時，有，而或就是，于是，當時，有，所以.再證必要性：即假設，那么,由知，，當時，有，由就是或，于是，當或時，有.所以綜上所述，f(x)=a的充要條件是f(x)在x0處的左、右極限均存在且都等于a.2.(1)利用極限的幾何意義確定(x2+a),和；(2)設f(x)=，問常數(shù)a為何值時，f(x)存在.解：〔1〕因為x無限接近于0時，的值無限接近于a，故.當x從小于0的方向無限接近于0時，的值無限接近于0，故.〔2〕假設存在，那么，由〔1〕知，所以，當時，存在。3.利用極限的幾何意義說明sinx不存在.解：因為當時，的值在-1與1之間來回振擺動，即不無限接近某一定直線，亦即不以直線為漸近線，所以不存在。習題2-31.舉例說明：在某極限過程中，兩個無窮小量之商、兩個無窮大量之商、無窮小量與無窮大量之積都不一定是無窮小量，也不一定是無窮大量.解：例1：當時，都是無窮小量，但由〔當時，〕不是無窮大量，也不是無窮小量。例2：當時，與都是無窮大量，但不是無窮大量，也不是無窮小量。例3：當時，是無窮小量，而是無窮大量，但不是無窮大量，也不是無窮小量。2.判斷以下命題是否正確：(1)無窮小量與無窮小量的商一定是無窮小量；(2)有界函數(shù)與無窮小量之積為無窮小量；(3)有界函數(shù)與無窮大量之積為無窮大量；(4)有限個無窮小量之和為無窮小量；(5)有限個無窮大量之和為無窮大量；(6)y=xsinx在(-∞，+∞)內(nèi)無界，但xsinx≠∞；(7)無窮大量的倒數(shù)都是無窮小量；(8)無窮小量的倒數(shù)都是無窮大量.解：〔1〕錯誤，如第1題例1；〔2〕正確，見教材§2.3定理3；〔3〕錯誤，例當時，為無窮大量，是有界函數(shù)，不是無窮大量；〔4〕正確，見教材§2.3定理2；〔5〕錯誤，例如當時，與都是無窮大量，但它們之和不是無窮大量；〔6〕正確，因為，正整數(shù)k，使，從而，即在內(nèi)無界，又，無論多么大，總存在正整數(shù)k，使，使，即時，不無限增大，即；〔7〕正確，見教材§2.3定理5；〔8〕錯誤，只有非零的無窮小量的倒數(shù)才是無窮大量。零是無窮小量，但其倒數(shù)無意義。3.指出以下函數(shù)哪些是該極限過程中的無窮小量，哪些是該極限過程中的無窮大量.(1)f(x)=,x→2;(2)f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；(3)f(x)=,x→0+，x→0-；(4)f(x)=-arctanx,x→+∞;(5)f(x)=sinx,x→∞;(6)f(x)=，x→∞.解：〔1〕，即時，是無窮小量，所以是無窮小量，因而也是無窮大量。〔2〕從的圖像可以看出，，所以，當時，時，是無窮大量；當時，是無窮小量。〔3〕從的圖可以看出，，所以，當時，是無窮大量；當時，是無窮小量?！?〕，當時，是無窮小量。 〔5〕當時，是無窮小量，是有界函數(shù)，是無窮小量?！?〕當時，是無窮小量，是有界變量，是無窮小量。習題2-41.假設f(x)存在，g(x)不存在，問［f(x)±g(x)］,［f(x)·g(x)］是否存在，為什么?解：假設f(x)存在，g(x)不存在，那么〔1〕［f(x)±g(x)］不存在。因為假設［f(x)±g(x)］存在，那么由或以及極限的運算法那么可得g(x)，與題設矛盾?！?〕［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：，，那么，不存在，但［f(x)·g(x)］=存在。又如：，，那么，不存在，而［f(x)·g(x)］不存在。2.假設f(x)和g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，證明f(x)≥g(x).證：設f(x)=A，g(x)=B，那么，分別存在，，使得當時，有，當時，有令，那么當時，有從而，由的任意性推出即.3.利用夾逼定理證明：假設a1,a2，…，am為m個正常數(shù)，那么=A,其中A=max{a1,a2,…，am}.證：因為，即而，，由夾逼定理得.4※.利用單調(diào)有界數(shù)列必存在極限這一收斂準那么證明：假設x1＝,x2=,…，xn+1=〔n=1,2,…〕，那么xn存在，并求該極限.證：因為有今設，那么，由數(shù)學歸納法知，對于任意正整數(shù)n有，即數(shù)列單調(diào)遞增。又因為，今設，那么，由數(shù)學歸納法知，對于任意的正整數(shù)n有，即數(shù)列有上界，由極限收斂準那么知存在。設，對等式兩邊取極限得，即，解得，〔由極限的保號性，舍去〕，所以.5.求以下極限：(1)；(2)；(3);(4)；(5).解：〔1〕原式=；〔2〕因為，即當時，是無窮小量，而是有界變量，由無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量得：；〔3〕而，；〔4〕；〔5〕.6.求以下極限：(1)；(2)；(3);(4);(5);(6);(7);(8)；(9)；(10)；(11).解：〔2〕〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕〔無窮小量與有界函數(shù)之積為無窮小量〕；〔9〕；〔10〕〔11〕當時，是無窮小量，是有界函數(shù)，它們之積是無窮小量，即。習題2-5求以下極限(其中a＞0,a≠1為常數(shù)〕：1.;2.;3.xcotx;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.;12.;13.;14.;.解：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.8.令，那么，當時，，.9.〔利用了第8題結論〕；10.；11.；12.；13.令，那么，當，，；14.令，那么，當，，.習題2-61.證明：假設當x→x0時，(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0，那么當x→x０時，(x)～β(x)的充要條件是＝０.證：先證充分性.假設＝０，那么＝0,即，即.也即，所以當時，.再證必要性：假設當時，，那么，所以＝＝.綜上所述，當x→x0時，(x)～β(x)的充要條件是＝０.2.假設β(x)≠0，β(x)=0且存在，證明(x)=0.證：即.3.證明：假設當x→0時，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，那么f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判斷當x→0時，tanx－sinx是x的幾階無窮小量.證:∵當x→0時,f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)∴于是:∴當x→0時,,∵而當x→0時,,由前面所證的結論知,,所以,當x→0時,是x的3階無窮小量.4.利用等價無窮小量求以下極限：(1)(b≠0)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(a≠b)；(7)；(8)設＝100,求f(x).解(8)由,及知必有,即,所以.習題2-7１.研究以下函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形：(1)f(x)=(2)f(x)＝解:(1)∴f(x)在x=0處右連續(xù),又∴f(x)在x=1處連續(xù).又∴f(x)在x=2處連續(xù).又f(x)在(0,1),(1,2)顯然連續(xù),綜上所述,f(x)在[0,2]上連續(xù).圖形如下:圖2-1(2)∴f(x)在x=1處連續(xù).又故∴f(x)在x=-1處連續(xù),x=-1是跳躍連續(xù)點.又f(x)在顯然連續(xù).綜上所述函數(shù)f(x)在x=-1處連續(xù),在上連續(xù).圖形如下:圖2-22.說明函數(shù)f(x)在點x0處有定義、有極限、連續(xù)這三個概念有什么不同?又有什么聯(lián)系?略.3.函數(shù)在其第二類連續(xù)點處的左、右極限是否一定均不存在?試舉例說明.解:函數(shù)在其第二類連續(xù)點處的左、右極限不一定均不存在.例如是其的一個第二類連續(xù)點,但即在處左極限存在,而,即在處右極限不存在.4.求以下函數(shù)的連續(xù)點，并說明連續(xù)點的類型：(1)f(x)=；(2)f(x)＝；(3)f(x)=；(4)f(x)=；(5)f(x)=.解:(1)由得x=-1,x=-2∴x=-1是可去連續(xù)點,x=-2是無窮連續(xù)點.(2)由sinx=0得,k為整數(shù).∴x=0是跳躍連續(xù)點.(4)由x2-4=0得x=2,x=-2.∴x=2是無窮連續(xù)點,x=-2是可去連續(xù)點.(5)在x=0無定義故x=0是f(x)的可去連續(xù)點.5.適中選擇a值，使函數(shù)f(x)=在點x=0處連續(xù).解:∵f(0)=a,要f(x)在x=0處連續(xù),必須.即a=1.6※.設f(x)=，討論f(x)的連續(xù)性.解:所以,f(x)在上連續(xù),x=0為跳躍連續(xù)點.7.求以下極限：(1)；(2)；(3)ln(x-1);(4)arcsin；(5)(lnx)x.解:習題2-81.證明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一個介于1和2之間的根.證:令,那么在[1,2]上連續(xù),且,由零點存在定理知至少存在一點使得.即,即方程至少有一個介于1和2之間的根.2.證明方程ln〔１＋ex〕-2x=0至少有一個小于1的正根.證:令,那么在上連續(xù),因而在[0,1]上連續(xù),且由零點存在定理知至少存在一點使得.即方程至少有一個小于1的正根.3※.設f(x)∈C〔-∞，+∞〕，且f(x)=A,f(x)=B,A·B＜0，試由極限及零點存在定理的幾何意義說明至少存在一點x