1、1第三節(jié)第三節(jié)圓的方程圓的方程最新考綱1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a，b)，半徑 r一般方程x2y2dxeyf0， (d2e24f0)圓心d2，e2 ，半徑12d2e24f2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn) m(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若 m(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2(2)若 m(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2(3)若 m(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a

2、)2(y0b)2r2常用結(jié)論圓的三個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程 x2y2a2表示半徑為 a 的圓()(3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圓()(4)方程 ax2bxycy2dxeyf0 表示圓的充要條件是 ac0，b20，d2e24af0.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1圓 x2y24x6y0 的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()a(2，3)，3b(2，3)， 3c(2，3)，13d(2，3)， 13d圓的方程

3、可化為(x2)2(y3)213，所以圓心坐標(biāo)是(2，3)，半徑r 13.2已知點(diǎn) a(1，1)，b(1，1)，則以線段 ab 為直徑的圓的方程是()ax2y22bx2y2 2cx2y21dx2y24aab 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，|ab| 1（1）2（11）22 2，所以圓的方程為 x2y22.3過(guò)點(diǎn) a(1，1)，b(1，1)，且圓心在直線 xy20 上的圓的方程是()a(x3)2(y1)24b(x3)2(y1)24c(x1)2(y1)24d(x1)2(y1)24c設(shè)圓心 c 的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為 r.因?yàn)閳A心 c 在直線 xy20 上，所以 b2a.又|ca|2|cb|2，所以(a1

4、)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以 a1，b1.所以 r2.所以方程為(x1)2(y1)24.4 在平面直角坐標(biāo)系中， 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0， 0)， (1， 1)， (2， 0)的圓的方程為_(kāi)x2y22x0設(shè)圓的方程為 x2y2dxeyf0.圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)，f0，2def0，42df0，解得d2，e0，f0.圓的方程為 x2y22x0.考點(diǎn) 1圓的方程3求圓的方程的 2 種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑 r 有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出 a，b，r 的值；選擇圓的一般方程

5、，依據(jù)已知條件列出關(guān)于 d，e，f 的方程組，進(jìn)而求出 d，e，f 的值(1)一題多解已知圓 e 經(jīng)過(guò)三點(diǎn) a(0，1)，b(2，0)，c(0，1)，且圓心在 x 軸的正半軸上，則圓 e 的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x322y2254b.x342y22516c.x342y22516d.x342y2254(2)一題多解已知圓 c 的圓心在直線 xy0 上， 圓c 與直線 xy0 相切，且在直線 xy30 上截得的弦長(zhǎng)為 6，則圓 c 的方程為_(kāi)(1)c(2) (x1)2(y1)22(1)法一： (待定系數(shù)法)設(shè)圓 e 的一般方程為x2y2dxeyf0(d2e24f0)，則由題意得1ef0，42df0，1

6、ef0，解得d32，e0，f1，所以圓 e 的一般方程為 x2y232x10，即x342y22516.法二：(幾何法)因?yàn)閳A e 經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(0，1)，b(2，0)，所以圓 e 的圓心在線段 ab 的垂直平分線 y122(x1)上又圓 e 的圓心在 x 軸的正半軸上，所以圓 e 的圓心坐標(biāo)為34，0.則圓 e 的半徑為|eb|2342（00）254，4所以圓 e 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x342y22516.(2)法一：由圓 c 的圓心在直線 xy0 上，設(shè)圓 c 的圓心為(a，a)又圓 c 與直線 xy0 相切，半徑 r2|a|2 2|a|.又圓 c 在直線 xy30 上截得的弦長(zhǎng)為 6，圓心(a，a)

7、到直線 xy30 的距離 d|2a3|2，d2622r2，即（2a3）22322a2，解得 a1，圓 c 的方程為(x1)2(y1)22.法二：設(shè)所求圓的方程為 x2y2dxeyf0，則圓心為d2，e2 ，半徑 r12d2e24f，圓心在直線 xy0 上，d2e20，即 de0，又圓 c 與直線 xy0 相切，|d2e2|212d2e24f，即(de)22(d2e24f)，d2e22de8f0.又知圓心d2，e2 到直線 xy30 的距離d|d2e23|2，由已知得 d2622r2，(de6)2122(d2e24f)，5聯(lián)立，解得d2，e2，f0，故所求圓的方程為 x2y22x2y0，即(x1

8、)2(y1)22.幾何法與待定系數(shù)法是解答圓的有關(guān)問(wèn)題的兩種常用方法，求解圓的方程時(shí)， 可采用數(shù)形結(jié)合的思想充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)， 達(dá)到事半功倍的效果1.若不同的四點(diǎn) a(5，0)，b(1，0)，c(3，3)，d(a，3)共圓，則a 的值為_(kāi)7設(shè)圓的方程為 x2y2dxeyf0(d2e24f0)， 分別代入 a， b，c 三點(diǎn)坐標(biāo)，得255df0，1df0，993d3ef0，解得d4，e253，f5.所以 a，b，c 三點(diǎn)確定的圓的方程為x2y24x253y50.因?yàn)?d(a，3)也在此圓上，所以 a294a2550.所以 a7 或 a3(舍去)即 a 的值為 7.2已知 ar，方程 a2x2

9、(a2)y24x8y5a0 表示圓，則圓心坐標(biāo)是_，半徑是_(2，4)5由已知方程表示圓，則 a2a2，解得 a2 或 a1.當(dāng) a2 時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去當(dāng) a1 時(shí)，原方程為 x2y24x8y50，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y4)225，表示以(2，4)為圓心，半徑為 5 的圓考點(diǎn) 2與圓有關(guān)的最值問(wèn)題斜率型、截距型、距離型最值問(wèn)題與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的 3 種幾何轉(zhuǎn)化法6(1)形如ybxa形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題(2)形如 taxby 形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題(3)形如 m(xa)2(yb)2形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最

10、值問(wèn)題已知實(shí)數(shù) x，y 滿足方程 x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2的最大值和最小值解原方程可化為(x2)2y23，表示以(2，0)為圓心， 3為半徑的圓(1)yx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)yxk，即 ykx.當(dāng)直線 ykx 與圓相切時(shí)，斜率 k 取最大值或最小值，此時(shí)|2k0|k21 3，解得 k 3(如圖 1)所以yx的最大值為 3，最小值為 3.圖 1圖 2圖 3(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距， 當(dāng)直線yxb與圓相切時(shí)，縱截距 b 取得最大值或最小值，此時(shí)|20b|2 3，解得 b2 6(如圖

11、 2)所以 yx 的最大值為2 6，最小值為2 6.(3)x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，x2y2在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖 3)又圓心到原點(diǎn)的距離為 （20）2（00）22，所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)2774 3.與圓有關(guān)的 斜率型、截距型、距離型最值問(wèn)題一般根據(jù)相應(yīng)幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解已知點(diǎn) a(1，0)，b(0，2)，點(diǎn) p 是圓 c：(x1)2y21 上任意一點(diǎn)，則pab 面積的最大值與最小值分別是()a2，252b252，252c. 5，4 5d.521，521b

12、由題意知|ab| （1）2（2）2 5，lab：2xy20，由題意知圓 c 的圓心坐標(biāo)為(1，0)，圓心到直線 lab的距離 d|202|414 55.spab的最大值為12 54 551252，spab的最小值為12 54 551252.利用對(duì)稱性求最值求解形如|pm|pn|(其中 m，n 均為動(dòng)點(diǎn))且與圓 c 有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路：(1)“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱性解決已知圓 c1：(x2)2(y3)21，圓 c2：(x3)2(y4)29，m，n分別是圓 c1，c2上的動(dòng)點(diǎn)，p 為

13、 x 軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|pm|pn|的最小值為()a5 24b. 171c62 2d. 17a(圖略)p 是 x 軸上任意一點(diǎn)，則|pm|的最小值為|pc1|1，同理|pn|的最小值為|pc2|3，則|pm|pn|的最小值為|pc1|pc2|4.作 c1關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) c1(2，3)所以|pc1|pc2|pc1|pc2|c1c2|5 2，即|pm|pn|8|pc1|pc2|45 24.本題在求解中要立足了兩點(diǎn)：(1)減少動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，借助圓的幾何性質(zhì)化圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(a，b)的距離的最大(小)值為圓心到點(diǎn)(a，b)的距離加(減)半徑問(wèn)題；(2)“曲化直”，即借助對(duì)稱性把折線段轉(zhuǎn)化為同一直線

14、上的兩線段之和的最值問(wèn)題解決教師備選例題(1)設(shè)點(diǎn) p 是函數(shù) y 4（x1）2圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn) q 坐標(biāo)為(2a，a3)(ar)，則|pq|的最小值為_(kāi)(2)已知 a(0，2)，點(diǎn) p 在直線 xy20 上，點(diǎn) q 在圓 c：x2y24x2y0 上，則|pa|pq|的最小值是_(1) 52(2)2 5(1)函數(shù) y 4（x1）2的圖象表示圓(x1)2y24 在 x 軸及下方的部分，令點(diǎn) q 的坐標(biāo)為(x，y)，則x2a，ya3得 yx23，即x2y60，作出圖象如圖所示，由于圓心(1，0)到直線 x2y60 的距離 d|1206|12（2）2 52，所以直線 x2y60 與圓(x1)2y

15、24 相離，因此|pq|的最小值是 52.(2)因?yàn)閳A c： x2y24x2y0， 故圓 c 是以 c(2， 1)為圓心， 半徑 r 5的圓設(shè)點(diǎn) a(0，2)關(guān)于直線 xy20 的對(duì)稱點(diǎn)為 a(m，n)，故m02n2220，n2m01，解得m4，n2，故 a(4，2)連接 ac 交圓 c 于 q(圖略)，由對(duì)稱性可知|pa|pq|ap|pq|aq|ac|r2 5.(2019上饒模擬)一束光線從點(diǎn) a(3，2)出發(fā)，經(jīng) x 軸反射到圓 c：9(x2)2(y3)21 上的最短路徑的長(zhǎng)度是()a4b5c5 21d2 61c根據(jù)題意，設(shè) a與 a 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，且 a(3，2)，則 a的坐標(biāo)為(3

16、，2)，又由 ac 25255 2，則 a到圓 c 上的點(diǎn)的最短距離為 5 21.故這束光線從點(diǎn) a(3，2)出發(fā)，經(jīng) x 軸反射到圓 c：(x2)2(y3)21 上的最短路徑的長(zhǎng)度是 5 21，故選 c.考點(diǎn) 3與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的 4 種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解(2019衡水調(diào)研)已知直角三角形 abc 的斜邊為 ab，且 a(1，0)，b(3，0)求：(1)直角頂點(diǎn) c 的軌跡方程；(

17、2)直角邊 bc 的中點(diǎn) m 的軌跡方程解(1)法一：設(shè) c(x，y)，因?yàn)?a，b，c 三點(diǎn)不共線，所以 y0.因?yàn)?acbc，所以 kackbc1，又 kacyx1，kbcyx3，所以yx1yx31，化簡(jiǎn)得 x2y22x30.因此，直角頂點(diǎn) c 的軌跡方程為 x2y22x30(y0)法二：設(shè) ab 的中點(diǎn)為 d，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 d(1，0)，由直角三角形的性質(zhì)知|cd|12|ab|2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn) c 的軌跡是以 d(1，0)為圓心，2 為半徑的圓(由于 a，b，c 三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與 x 軸的交點(diǎn))所以直角頂點(diǎn) c 的軌跡方程為(x1)2y24(y0)(2)設(shè) m(x，y)

18、，c(x0，y0)，因?yàn)?b(3，0)，m 是線段 bc 的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)10公式得 xx032，yy002，所以 x02x3，y02y.由(1)知，點(diǎn) c 的軌跡方程為(x1)2y24(y0)，將 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此動(dòng)點(diǎn) m 的軌跡方程為(x2)2y21(y0)此類問(wèn)題在解題過(guò)程中， 常因忽視對(duì)特殊點(diǎn)的驗(yàn)證而造成解題失誤教師備選例題已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線 l 與圓 c1：x2y26x50 相交于不同的兩點(diǎn) a，b.(1)求圓 c1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段 ab 的中點(diǎn) m 的軌跡 c 的方程解(1)由 x2y26x50 得(x3)2y24，所以圓 c1的圓心坐標(biāo)為(3，0)(2)設(shè) m(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn) m 為線段 ab 的中點(diǎn)，所以 c1mab，所以 kc1m kab1，當(dāng) x3 時(shí)可得yx3yx1，整理得x322y294，又當(dāng)直線 l 與 x 軸重合時(shí)，m 點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，代入上式成立設(shè)直線 l 的方程為 ykx，與 x2y26x50 聯(lián)立，消去 y 得：(1k2)x26x50.令其判別式(6)24(1k2)50，得 k245，此時(shí)方程為95x26x50， 解上式得 x53， 因此53x3.所以線段 ab 的中點(diǎn) m 的軌跡方程為x322y29453x3.設(shè)定點(diǎn) m(3，4)，動(dòng)點(diǎn) n 在圓 x2