1、一、無(wú)窮小的比較一、無(wú)窮小的比較二、等價(jià)無(wú)窮小的交換二、等價(jià)無(wú)窮小的交換三、小三、小 結(jié)結(jié)2/14一、無(wú)窮小的比較一、無(wú)窮小的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不同快慢程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在察看各極限察看各極限型）型）（003/14；記作記作高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小是比是比，就說(shuō)，就說(shuō)如果如果)(,0l

2、im)1( o定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過(guò)過(guò)程程中中的的兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)設(shè)設(shè);, 0lim)3(是是同同階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小與與就就說(shuō)說(shuō)如如果果 C;, 1lim 記作記作是等價(jià)的無(wú)窮小是等價(jià)的無(wú)窮小與與則稱則稱如果如果特殊地，特殊地，低低階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是比比，就就說(shuō)說(shuō)如如果果 lim)(4/14., 0, 0lim)4(無(wú)窮小無(wú)窮小階的階的的的是是就說(shuō)就說(shuō)如果如果kkCk ，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小是比是比時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxx ).0()3(2 xxox即即是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxxsin0).

3、0(sinxxx即即例如例如5/14例例1 1.sintan,0:的三階無(wú)窮小的三階無(wú)窮小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三階無(wú)窮小的三階無(wú)窮小為為xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 6/14例例2.1110 xnxxn 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)證明：證明：證明：證明：xnxnx111lim0 1)1()1(11)1(lim210 nnnnnnxxxxnx1)1()1(lim210 nnnnxxxn1 xnxn111 )0(x7/14證證必要性必要性，設(shè)設(shè) 1

4、limlim ，0 ，即即)()( oo充分性充分性設(shè)設(shè))( o )(limlimo）（ )(limo，1 的的主主要要部部分分是是稱稱為為必必要要條條件件是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小的的的的充充分分與與 ).(o 定理定理18/14意義：用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式意義：用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式例如例如,),(sinxoxx ).(21cos122xoxx ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxycos1 221yx 常用等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小: :,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax.21cos1,s

5、in2xxxx 9/14二、等價(jià)無(wú)窮小代換二、等價(jià)無(wú)窮小代換定理定理( (等價(jià)無(wú)窮小代換定理等價(jià)無(wú)窮小代換定理) ).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè)證證 lim)lim( limlimlim.lim 10/14例例2 2.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 假設(shè)未定式的分子或分母為假設(shè)干個(gè)因子的乘積，假設(shè)未定式的分子或分母為假設(shè)干個(gè)因子的乘積，那么可對(duì)其中的恣意一個(gè)或幾個(gè)無(wú)窮小因子的乘那么可對(duì)其中的恣意一個(gè)或幾個(gè)無(wú)窮小因子的乘積作等價(jià)無(wú)窮小代換，而不會(huì)改動(dòng)原式的極限積作等價(jià)無(wú)

6、窮小代換，而不會(huì)改動(dòng)原式的極限11/14不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.切記，只可對(duì)函數(shù)中的乘積因子作等價(jià)無(wú)窮小切記，只可對(duì)函數(shù)中的乘積因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別代換代換，對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別代換. .留意留意例例3 3.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求解解.arcsin,sin,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxx)1(lim0 原式原式. 1 )1(lim0 xx12/14例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

7、x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯(cuò)錯(cuò) 13/14例例5 5.1cos1)1(lim3120 xxx求求解解2312311)1( ,0 xxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).211cos2xx 1cos1)1(lim3120 xxx2202131limxxx .32 14/14三、小結(jié)三、小結(jié)1、無(wú)窮小的比較、無(wú)窮小的比較反映了同一過(guò)程中反映了同一過(guò)程中, 兩無(wú)窮小趨于零的速度兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是一切的無(wú)窮小都可進(jìn)展比較但并不是一切的無(wú)窮小都可進(jìn)展比較.2、等價(jià)無(wú)窮小的代換、等價(jià)無(wú)窮小的代換:求極限的又一種方法求

8、極限的又一種方法, 留意適用條件留意適用條件.高高(低低)階無(wú)窮小階無(wú)窮小; 等價(jià)無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小; 無(wú)窮小的階無(wú)窮小的階.用時(shí)用時(shí)1課時(shí)課時(shí)業(yè)業(yè)作作);3()1(460、 P15/14思索題思索題任何兩個(gè)無(wú)窮小都可以比較嗎？任何兩個(gè)無(wú)窮小都可以比較嗎？16/14思索題解答思索題解答不能不能例當(dāng)例當(dāng) 時(shí)時(shí) x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無(wú)窮小量都是無(wú)窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不為無(wú)窮大不存在且不為無(wú)窮大故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)時(shí) x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.17/14一、一、 填空題：填空題：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2

9、2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題18/147 7、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，)0(3 aaxa 對(duì)于對(duì)于x是是_階無(wú)窮小階無(wú)窮小 . .8 8、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，無(wú)窮小時(shí)，無(wú)窮小xcos1 與與nmx等價(jià)，則等價(jià)，則 ._, nm 二、求下列各極限：二、求下列各極限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；19/14三、三、 證明：若證明：若 ,是無(wú)窮小，則是無(wú)窮小，則)(0 . .四、設(shè)四、設(shè) f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表達(dá)式的表達(dá)式 . . 2 2、確定、確定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .20/14一一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、na；