1、重難點講解函數(shù)的單調性和奇偶性本節(jié)重難點 本節(jié)的重點和難點都是對函數(shù)單調性和奇偶性的理解和應用重難點講解1基礎知識圖表2函數(shù)的單調性如果對于屬于定義域A內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2，都有f（x1）f（x2），那么就說f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù)如果對于屬于定義域A內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么就說f（x）在這個區(qū)間上是減函數(shù)如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，這一區(qū)間叫做f（x）的單調區(qū)間函數(shù)的單調性是針對定義域內的某個區(qū)間而言的例如函數(shù)y 在（-，0）上

2、是減函數(shù)，在（0，+）上也是減函數(shù)，但不能說它在整個定義域即（-，0）（0，+）因為當取x1-1，x21時，對應的函數(shù)值為f（x1）-1，f（x2）1，顯然有x1x2，但f（x1）f（x2），不滿足減函數(shù)的定義有些函數(shù)在整個定義域內具有單調性例如函數(shù)yx就是這樣有些函數(shù)在定義域內某個區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上是減函數(shù)例如函數(shù)y=x2在（-，0）是減函數(shù)，在，+）上是增函數(shù)中學階段我們所討論的函數(shù)，只要它們在區(qū)間的端點有定義，那么在考慮單調區(qū)間時，包括端點、不包括端點都可以函數(shù)的單調性所刻畫的是當自變量變化時其對應的函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質，函數(shù)圖像能直觀地顯示函數(shù)的這個

3、性質在單調區(qū)間上的增函數(shù)，它的圖像是沿x軸正方向逐漸上升的；在單調區(qū)間上的減函數(shù)，它的圖像是沿x軸正方向逐漸下降的求函數(shù)的單調區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域討論函數(shù)yf（x）的單調性時要注意兩點：（1）若u（x），yf（u）在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則yf（x）為增函數(shù)；（2）若u（x），yf（u）在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則yf（x）為減函數(shù)若函數(shù)f（x），g（x）在給定的區(qū)間上具有單調性，利用增（減）函數(shù)的定義容易證得，在這個區(qū)間上：（1）函數(shù)f（x）與f（x）+C（C為常數(shù)）具有相同的單調性（2）C0時，函數(shù)f（x）與C·f（x）具有相同的單調性；

4、C0時，函數(shù)f（x）與C·f（x）具有相反的單調性（3）若f（x）0，則函數(shù)f（x）與 具有相反的單調性（4）若函數(shù)f（x），g（x）都是增（減）函數(shù)，則f（x）+g（x）仍是增（減）函數(shù)（5）若f（x）0，g（x）0，且f（x）與g（x）都是增（減）函數(shù)，則f（x）·g（x）也是增（減）函數(shù)；若f（x）0，g（x）0，且f（x）與g（x）都是增（減）函數(shù)，則f（x）·g（x）是減（增）函數(shù)使用上述結論，可以簡便地求出一些函數(shù)的單調區(qū)間例如函數(shù)f（x） （x-1）可等價變形為f（x）1- （x-1）由于一次函數(shù)1+x是增函數(shù)，所以當x-1時，函數(shù) 在（-，-1）上

5、是減函數(shù)，在（-1，+）上也是減函數(shù)于是- 在（-，-1）和（-1，+）上均為增函數(shù)故f（x）1- 在（-，-1）和（-1，+）上都是增函數(shù)根據定義討論（或證明）函數(shù)增減性的一般步驟是：（1）設x1、x2是給定區(qū)間內的任意兩個值且x1x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并將此差化簡、變形；（3）判斷f（x1）-f（x2）的正負，從而證得函數(shù)的增減性利用函數(shù)的單調性可以把函數(shù)值的大小比較的問題轉化為自變量的大小比較的問題函數(shù)的單調性只能在函數(shù)的定義域內來討論這即是說，函數(shù)的單調區(qū)間是其定義域的子集3函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）-f（x），那么f（x）叫

6、做奇函數(shù)如果對于函數(shù)f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）f（x），那么f（x）叫做偶函數(shù)奇函數(shù)的圖像關于原點對稱；偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么就說函數(shù)f（x）具有奇偶性函數(shù)按是否具有奇偶性可分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇且偶函數(shù)（既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)），非奇非偶函數(shù)（既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)）函數(shù)的奇偶性是針對函數(shù)的整個定義域而言，因此奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質由于任意x和-x均要在定義域內，故奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域一定關于原點對稱所以，我們在判定函數(shù)的奇偶性時，首先要確定函數(shù)的定義域（函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件如果其定

7、義域關于原點不對稱，那么它沒有奇偶性）然后再判斷f（-x）與f（x）的關系，從而確定其奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性有時可用定義域的等價形式f（-x）±f（x）0或 ±1（f（x）0）來代替存在既奇且偶函數(shù)，例如f（x） + 當f（-x）與f（x）之間的關系較隱蔽時，容易產生“非奇非偶”的錯覺，萬萬不可草率下結論函數(shù)的圖像能夠直觀地反映函數(shù)的奇偶性f（x）為奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)f（x）的圖像關于原點對稱，f（x）為偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)f（x）的圖像關于y軸對稱奇函數(shù)和偶函數(shù)還具有以下性質：（1）兩個奇函數(shù)的和（差）仍是奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)的和（差）仍是偶函數(shù)（2）奇偶性相同的兩個函數(shù)的積（商、分母不為零）為偶函數(shù)，奇偶性相反的兩個函數(shù)的積（商、分母不為零）為奇函數(shù)（3）奇函數(shù)