1、微分幾何補(bǔ)充題23線(xiàn)與直線(xiàn)1.求曲線(xiàn)r = 3t,3t ,2t 的切y = z- x二0所成的夾角.20的方向向量解 r 二3,6t,6t ，直線(xiàn) y= z- 為 g1f,1，設(shè)r與a的夾角為，則有cos =a r4n4ra r3 6t272(3 6t2)45°2.求曲面S :2Z二xy上的臍點(diǎn).x, y, xy2,rx 二1,0, y2,=0,1,2 xy,二 1 y4,F 二 2xy3,G 二r2廠- y , 2xy,1, rxxxy=0,0,2 y, ryy二0,0,2 x,“1 4x2y2 y4y2,2xy,1n lx = 0,M 二 n %2y4x2y2 y42xp1 4x

2、2y2 y4 ，L:2xF:得G2y1 4x2y2 y41 4x2y2 y41 y42xy31 4x2y2(0,0,0)0）上點(diǎn)Tru二 cosv,sinv,0 , rv二- usinv,ucosv,b解得x = 0, y = 0，從而z = 0 ,所以原點(diǎn) 是曲面唯一的臍點(diǎn).3.求正螺面 r = ucosv,usin v,bv ( bP(O,O)沿方向du解:G = u2b2v u2b2bs i n bc ovsu2f*TG 二 0,0,0 ,ru 丄 sin v,cosv,Orvv = ' - ucosv,-usin v,0?l = o Mn = 0y/u+ b2所以在p（u,v）

3、點(diǎn)沿方向du:dv的法曲率是kn- 2bdudvu2 b2du2 (u2 b2)dv2，v = O,du1,dv二1代入上式，kn2b2 1(b 0)4.求正螺面 r 二ucosv,usin v,bv上的雙曲點(diǎn)、橢圓點(diǎn)和拋物點(diǎn).解由第3題，知E T F-bu2 b2u2 b2，b2u2 b2所以正螺面上全是雙曲點(diǎn)，無(wú)橢圓點(diǎn)和拋物點(diǎn).5. 若一曲面與平面相切于一條曲線(xiàn)，證明：此曲線(xiàn)是 曲面的漸近曲線(xiàn)又是曲率線(xiàn)，并 證明沿此曲線(xiàn)上的點(diǎn)都是拋物點(diǎn).證明1）曲面與平面相切于一條曲線(xiàn) （C）此曲線(xiàn)在這個(gè)平面上，且這個(gè)平面是曲面在此曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的切平面.n - 心二k cos = 0(C)是漸近曲線(xiàn). =

4、2) dr - n dr -dr (n) =NN又 n= 0 nn=0n =0( n (- k ) = 0)dn ' =0即dn - ： 又n是單位向量 dn - n二dn/(n漢卩)所以dr /dn , dr是主方向(C)就是曲率線(xiàn)3) kn(d)= 0 漸近方向又是主方向K = k2k2 = 0，(C)上的點(diǎn)都是拋物點(diǎn).6. 假定曲面S被一族漸近曲線(xiàn)所覆蓋，證明：這族漸 近曲線(xiàn)的正交軌線(xiàn)的法曲率等于曲面S的平均曲率的兩倍.證明：如圖，設(shè)漸近方向與主方向的夾角為，則漸近曲線(xiàn)的正交軌線(xiàn)的切方向與主方向的夾角為一 + W2 ，所以 kn( ) = ki cos2因此，TT271kn(；廠 k1cos2(-2 2=kisin2k2 cos2=k1(V cos2 ) k2(