1、對小學(xué)計算教學(xué)中引用直觀模型促進(jìn)算理理解的思考 泰順縣實驗小學(xué) 鄭建鋒內(nèi)容摘要：在以往的計算教學(xué)中，我們在課堂上常常將重點放在學(xué)生對算法的掌握上，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本技能；而對于算理的教學(xué)則相對弱化。而現(xiàn)在我們老師已經(jīng)認(rèn)識到算理的重要作用，也重視算理的教學(xué)，但又面臨這樣的困惑：算理對學(xué)生而言，常常很抽象、深奧、費解，這給學(xué)生理解和教師的教學(xué)帶來諸多挑戰(zhàn)，教學(xué)中怎樣有效落實？有沒有辦法讓算理更形象化，直觀化，具體化？筆者認(rèn)為直觀模型能有效實現(xiàn)算理直觀，是幫助學(xué)生理解算理的一種重要方式，在日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引起足夠的重視。關(guān)鍵詞：直觀模型，算理理解。計算教學(xué)在小學(xué)階段占有十分重要的地位，也是數(shù)學(xué)教

2、學(xué)的一個重要領(lǐng)域。但在教學(xué)中常常存在這樣的現(xiàn)象：1、老師在課堂上常常將重點放在學(xué)生對算法的掌握上，力求學(xué)生熟練掌握計算方法，達(dá)到一定的計算速度和準(zhǔn)確度，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本技能；而對于算理的教學(xué)則相對弱化。2、我們老師已經(jīng)認(rèn)識到算理的重要作用，也重視算理的教學(xué)，但又面臨這樣的困惑：算理對學(xué)生而言，常常很抽象、深奧、費解，課堂教學(xué)中怎樣才能有效落實？那么，計算教學(xué)現(xiàn)狀是怎樣的？教學(xué)中能否找到一個比較直觀的依托，使老師對算理的教學(xué)和學(xué)生對其理解不僅僅只單純借助語言的描述？有沒有辦法讓算理更形象化，直觀化，具體化？怎樣為學(xué)生理解抽象的、深奧的算理提供一個堅實的支點，有力促進(jìn)了學(xué)生對算理的有效建構(gòu)

3、？一、學(xué)生常?！爸v法”不“講理”。算理是計算的依據(jù)，解決的是為什么這樣算的問題，算法是計算的方法，解決的是怎樣算的問題。算理為計算提供了正確可靠的思維過程，而算法則為計算提供了方便快捷的操作方法。因此，在計算教學(xué)中，算理和算法是內(nèi)在地聯(lián)系在一起的。我們既要重視算法的教學(xué)，還要使學(xué)生理解算法背后的道理。不僅要讓學(xué)生知道該怎么計算，而且還要讓學(xué)生明白為什么這樣計算；使學(xué)生不僅知其然，還要知其所以然，要在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計算方法，形成計算技能。但在實際的教學(xué)中，算理的教學(xué)常常被“弱化”、“邊緣化”、“抽象化”。筆者所在的學(xué)校經(jīng)常會有上級教育主管部門進(jìn)行教學(xué)質(zhì)量的抽測，檢測學(xué)1 4× 1

4、 2 2 8 1 41 6 8生計算素質(zhì)的試題中經(jīng)常會有類似下面的題目（圖1）：表示（ ）表示（ ）圖1在一次對三年級學(xué)生抽測后，筆者隨后對其中53名學(xué)生的情況進(jìn)行了統(tǒng)計，結(jié)果如下：層次情況人數(shù)所占百分比不能解釋算理計算錯誤2人3.77%不能解釋算理但會計算35人66.04%能夠解釋算理并會計算16 人30.19%通過談話，上表中2名學(xué)生的計算錯誤是由于不知道數(shù)位對齊造成的，計算正確的35名學(xué)生能比較快的說出數(shù)位對齊的方法，即哪位上的數(shù)去乘，就寫在哪位數(shù)下面。但繼續(xù)追問為什么要這樣？寫成下面的形式（圖2）可以嗎？這部分學(xué)生卻不能進(jìn)行合理的解釋與說明。這不禁引起筆者的思考：在我們的課堂教學(xué)過后，

5、到底有多少學(xué)生真正理解了“簡化”的豎式形式？在他們熟練用豎式算出結(jié)果的時候是否真正理解了算法背后所蘊含的算理？ 1 4× 1 22 81 4 01 6 8 這樣寫可以嗎？ 圖2而隨后筆者與任教參加檢測學(xué)生班級的4名教師對結(jié)果的分析對話中，有一個觀點被重復(fù)提起,即算理比較抽象、深奧，難以落實。那么，在計算教學(xué)中，我們該如何站在學(xué)生的視角，根據(jù)學(xué)生的思維特點，為學(xué)生理解抽象的算理提供一個形象的載體？怎樣在算理和算法之間架起一座直通的、有效的橋梁？二、教學(xué)可以“一圖抵百語”。在縣里的一次備課會上，安排了一節(jié)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的計算課?！叭绾瓮ㄟ^合適的方式促進(jìn)學(xué)生對算理的理解，讓學(xué)生既理解算

6、理又掌握算法？”這引起了筆者和許多與會教師的思索與關(guān)注；而課堂上執(zhí)教教師引用的一張小圖更是引起了大家的興趣。教師創(chuàng)設(shè)了一個“學(xué)校舉行體操比賽”的情境，然后出示方陣圖（圖3），讓學(xué)生了解信息，提問交流后解決“一共多少人？”的問題。為了便于研究，教師把圖片抽象成“圓點”，并給學(xué)生提供“點子圖”探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理與算法。在解決上述問題的過程中，學(xué)生展示出不同的想法，以下是部分學(xué)生的結(jié)果：圖5圖4圖3圖8圖7圖6面對新的問題，學(xué)生至（圖4至圖6）都是借助點子圖，結(jié)合自己對乘法意義的理解，將不會解決的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算轉(zhuǎn)化成了兩位數(shù)與一位數(shù)相乘。學(xué)生（圖7）雖然也在轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化的方法和前面的算法

7、不同，自然地運用乘法分配律將12拆分成了10和2。學(xué)生（圖8）寫出了正確的乘法豎式，通過教師進(jìn)一步引導(dǎo)：“48是怎么得到的？在圖中表示什么？把120在圖中圈出來?！笔箤W(xué)生將豎式和點子圖一一聯(lián)系對應(yīng)起來，從而“輕松”地理解了為什么這樣計算背后所蘊含的道理。這節(jié)課引發(fā)了大家的思考：為什么學(xué)生自然地想到了“拆數(shù)”的方法？大家覺得課中這張小小的“點子圖”功不可沒。聯(lián)系到自己平時計算的教學(xué)，學(xué)生沒有借助類似這樣的“點子圖”而進(jìn)行探索算法、研究算理時會有不少的困難。由于找不到一個比較直觀的依托，老師對算法、算理的講解和學(xué)生對其理解都只能借助語言進(jìn)行描述，顯然這種單純靠語言講道理的描述由于缺少圖式的呈現(xiàn)，學(xué)

8、生接受起來困難重重也就不足為奇了。上述的課例正是由于“點子圖”這個具有一定結(jié)構(gòu)的、具體的、直觀的“形”為學(xué)生理解抽象的、深奧的“理”架起了一座直通的橋梁，為師生探究算理、算法提供了一個可操作的“直觀模型”，從而有力促進(jìn)了學(xué)生對算理的有效建構(gòu)。三、重視直觀模型的應(yīng)用。1、直觀模型是什么？直觀模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料，如小棒、計數(shù)器、格子圖、數(shù)直線等。在實際的教學(xué)中，我們還會經(jīng)常引用類似元、角、分等人民幣，千米、米、分米等測量單位這些具有一定結(jié)構(gòu)的實物材料，有人將其稱之為“實物模型”。但如果站在更廣義的角度來看，我們不妨實物模型也看做是直觀模型的一種類型。2、直觀模型的作用。在計

9、算教學(xué)時，學(xué)生在探索方法和理解算理過程中所出現(xiàn)的困難能通過直觀模型來克服嗎？在這一過程中有無直觀模型，會造成學(xué)生的學(xué)習(xí)有多大的差異？北京教育學(xué)院教師教育數(shù)理學(xué)院張丹教授專門做了一次深入的調(diào)研，這里不妨贅述。對某小學(xué)40名的三年級學(xué)生進(jìn)行調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生基礎(chǔ)沒學(xué)過兩位數(shù)乘兩位數(shù)，但已學(xué)過兩位數(shù)乘一位數(shù)給定任務(wù)想辦法計算14×12提供素材沒有給出任何直觀模型調(diào)查結(jié)果40人全部用豎式計算22人基本正確（包括方法正確，但計算時出現(xiàn)錯誤）18人出現(xiàn)較大困難 隨后，對遇到困難的18名學(xué)生全部進(jìn)行了訪談，并提供直觀模型（點子圖）請他們借助點子圖完成以下任務(wù)：（1）借助點子圖思考如何計算出14

10、15;12的結(jié)果；（2）如果能夠計算出正確結(jié)果，再將計算過程寫成豎式。通過訪談，對于任務(wù)（1），這18名學(xué)生都能根據(jù)點子圖通過“拆數(shù)”得到計算結(jié)果；在完成任務(wù)（2）時，有8人能獨立完成，10人雖然遭遇困難，但通過引導(dǎo)可以解決。當(dāng)問及學(xué)生點子圖有用嗎？學(xué)生這樣回答，“有用，可以把12拆成10行和2行?！边@句話道出了點子圖對學(xué)生的幫助。因此，對比開始沒有直觀模型時學(xué)生得出結(jié)果的困難，直觀模型無疑是有用的。四、應(yīng)用直觀模型的策略。1、適時呈現(xiàn)，解釋疑惑。借助直觀模型幫助學(xué)生理解計算的意義和算理，效果明顯。但這并不意味著當(dāng)學(xué)生面對計算時我們都要馬上“捆綁式”地提供直觀模型，有時“給”得太早卻不一定能換

11、來好的效果，“給”得早不如給得“巧”。如筆者在教學(xué)三年級“口算乘法”一課時也是讓直觀模型“姍姍來遲”的：先創(chuàng)設(shè)“小明和同學(xué)3人去游樂園玩”的情境，接著讓學(xué)生提出并解決玩不同項目需要多少錢的問題。學(xué)生列出2×3、8×3、20×3等算式后，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)表內(nèi)的乘法的計算方法并對比20×3的算式特點揭題引入。讓學(xué)生嘗試計算20×3，學(xué)生想出了“吃0”、“還0”的計算方法（算式）并用加法驗證是可靠的。筆者隨后書寫了幾個算式（算式和）讓學(xué)生用他們所謂的“吃0還0”法快速計算，鞏固算法。20×3 = 60200×3 = 600400

12、15;6 = 2400吃 0 還 0 2× 3 = 6 2× 3 = 6 4 × 6 = 24就在學(xué)生洋洋得意的時候，老師拋出了問題：“數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，是講道理的，你們能說說這樣計算的道理是什么嗎？”在學(xué)生想用語言表達(dá)又表達(dá)不清楚之后，老師出示了小棒圖、計數(shù)器，“看看老師帶來的圖能不能幫助表達(dá)你們的意思？”課件演示捆綁過程（圖10）并在計數(shù)器上表示（圖11）。20個一20個一20個一百十個2個十2個十2個十6個十 就是606個十 就是60圖10圖11學(xué)生從而聯(lián)系小棒圖和計數(shù)器理解了“吃0還0”法計算背后所蘊藏的算理。20 × 3 = 60 200 

13、15; 3 = 600 400 × 6 = 2400吃 0 還 0 2個十× 3 =6個十2個百× 3 = 6個百 4個百× 6 = 24個百可見，有時先不提供支撐算理理解的直觀模型，讓學(xué)生直接面對一個算式，看看他們能否聯(lián)系自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗嘗試解決問題，當(dāng)他們“欲言不能”的時候再提供也不遲。因為把現(xiàn)成的東西給他們，和他們意識到這個問題的重要性后主動地去借助和聯(lián)系，這兩者顯然是有區(qū)別的。2、變化對比，凸顯結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多老師很注意“變式”的應(yīng)用，這對于學(xué)生建立正確的認(rèn)識有很重要的意義。我們向?qū)W生呈現(xiàn)直觀模型時，及時進(jìn)行變式對比，能加深算理理解，促進(jìn)學(xué)

14、生建構(gòu)清晰的知識體系。如有位老師在教學(xué)“乘法分配律”一課時，為了幫助學(xué)生突破難點，理解規(guī)律的特定模型，是這樣進(jìn)行教學(xué)的：師：（出示圖12）誰會列綜合算式求出一共擺了多少塊？生回答，得到兩個算式“3×5+4×5”和“（3+4）×5”。師：分別說說這兩種方法先求什么，再求什么？生：第一種是白方塊和灰方塊分開算，然后再求一共多少塊。（根據(jù)回答演示圖13）3行白方塊的個數(shù)生：第二種是先求出一共有7行，再求一共多少塊。（根據(jù)回答演示圖14）7行方塊總個數(shù)總個數(shù)4行灰方塊的個數(shù) 圖12 圖13 圖14師：你覺得這兩個算式結(jié)果相同嗎？為什么？生：相等，因為都是在算方塊的總個數(shù)。

15、師總結(jié)：算式的形式不同但表示的意思相同，都是表示了7個5塊。左右相等，我們就可以用等號把兩個算式連起來，連接成一組等式。上述片段中直觀模型的呈現(xiàn)，喚醒了學(xué)生的生活經(jīng)驗，通過讓學(xué)生用兩種方法列式，得到了乘法分配律的研究雛形。在接下來的環(huán)節(jié)中，該老師及時呈現(xiàn)直觀模型進(jìn)行了變式對比，使學(xué)生加深理解規(guī)律的特定模型。師：（出示圖15）如果是這樣擺的，現(xiàn)在還求共有多少塊，綜合算式怎樣列？圖15師：還能像剛才一樣，合起來算嗎？為什么？通過直觀模型的變化對比，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)了不能合起來算的原因，進(jìn)一步理解了運用乘法分配律進(jìn)行算式轉(zhuǎn)換的本質(zhì)原因。3、溝通聯(lián)系，建立連結(jié)。數(shù)學(xué)知識就像是一張縱橫交錯的網(wǎng)，每個知識點都

16、是一個節(jié)點，一條條知識鏈連接起了一個個的節(jié)點，從而形成了一張密密的“知識網(wǎng)”。我們向?qū)W生提供直觀模型時不僅要“求全”，還要“求聯(lián)”。如特級教師丁杭纓“筆算乘法”一課很好地詮釋了怎樣在直觀模型、橫式、豎式之間的“求聯(lián)”：出示6個運動員訓(xùn)練后羽毛球的個數(shù)（圖16）：趙陽 孫虹（12） （12）王芳 陳圓（21） （21）錢凡 張晴（12） （21）圖16學(xué)生提出問題：“訓(xùn)練后一共剩下多少個？”師：你準(zhǔn)備怎么解答？生：先算趙、孫、錢共有幾個，算式是12×3；再算王、陳、張共有幾個，算式是21×3。師：對于21×3你是怎么算出來的？寫在草稿本上。2 1× 36

17、3生展示不同的算法：21+21+21=63；20×3=60,1×3=3,60+3=63；豎式計算，如下：（請學(xué)生介紹豎式）師：“3”是怎么來的？為什么寫在個位上？“6”是怎么來的？為什么寫在十位上？知道每個數(shù)表示的意義嗎?(生回答)師：“3”在橫式中、在圖中分別表示哪個部分？“6”在橫式中、在圖中分別表示哪個部分？(根據(jù)學(xué)生回答逐步出示圖17)王芳2 1× 36 320 × 3 = 60（21）陳 圓 1 × 3 = 3（21）張 晴 （21）圖17直觀模型、橫式、豎式之間的“求聯(lián)”，使學(xué)生的認(rèn)識和思維融會貫通，這樣重要且恰到好處的穿梭聯(lián)系，能

18、觸及知識各部分之間的聯(lián)系，對學(xué)生而言，不可或缺。4、組合應(yīng)用，多元理解。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)里有關(guān)應(yīng)用意識有這樣一句話：面對新的數(shù)學(xué)知識時，能主動地尋找其實際背景，并探索其應(yīng)用價值。可見，當(dāng)學(xué)生面對一個問題，主動聯(lián)系生活背景思考問題，也是一條直觀的途徑。清華大學(xué)附屬小學(xué)的張紅老師在教學(xué)“小數(shù)除以小數(shù)”時，向?qū)W生“打包”提供了生活原型和直觀模型：教師在課堂上讓學(xué)生探索“5.1÷”，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)困難時（圖18），教師為學(xué)生準(zhǔn)備了三道提示題：溫馨提示1：鉛筆每支0.3元，小紅有5.1元，她能買幾支鉛筆？溫馨提示2：一條彩帶長，如果每剪成一段，可以剪幾段？溫馨提示3：5.1里面有多少個0.3，你能圈圈看嗎？（圖