1、 數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.為虛數(shù)單位，則（ ）A.B.C. D.答案：C解析： 2. 若，則()A0BC D解析：選Cf(x)exxex，f(1)2e.3. 已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是,則雙曲線的漸近線方程是（ ）A. B. C. D. 答案：B解析：知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，又一個(gè)焦點(diǎn)是，雙曲線的漸近線方程為4下列敘述：若兩條直線平行，則它們的方向向量方向相同或相反；若兩個(gè)向量均為同一個(gè)平面的法向量，則以這兩個(gè)向量為方向向量的直線一定平行；若一條直線的方向向量與某一個(gè)平面的法向量垂直，則該直線與這個(gè)平面平行.

2、其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)答案：B解析：正確，錯(cuò)誤.5學(xué)校體育場(chǎng)南側(cè)有4個(gè)大門，北側(cè)有3個(gè)大門，西側(cè)有2個(gè)大門，某學(xué)生到該體育場(chǎng)訓(xùn)練，但必須是從南或北門進(jìn)入，從西門或北門出去，則他進(jìn)出門的方案有()A.7個(gè)B.12個(gè)C.24個(gè)D.35個(gè)答案：D6. 下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是()A.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.由，求出，推斷：B.由滿足對(duì)R都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由圓的面積，推斷：橢圓的面積D.由，推斷：對(duì)一切N*，答案：A解析：選項(xiàng)A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論，且注意到數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和等于Snn2，選項(xiàng)D中的推理屬于歸納推理，但結(jié)論不正確因此選A

3、.7. 已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為()A(24,8) B(24,1C1,8 D1,8)解析f(x)3x26x93(x1)·(x3)，令f(x)0，得x1或x3.當(dāng)x2，1)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1,3)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(3,5時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的極小值為f(3)24，極大值為f(1)8；而f(2)1，f(5)8，函數(shù)圖象大致如圖所示故要使方程g(x)f(x)m在x2,5上有3個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)f(x)在2,5內(nèi)的函數(shù)圖象與直線ym有3個(gè)交點(diǎn)故即m1,8)答案D8

4、. 拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.過(guò)弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為A. B. C. D. 答案：A解析：試題分析：設(shè)，則二、 填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分9. 答案：4解析：10.已知，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為1,則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍是 答案：解析：，11. 曲線C：在點(diǎn)(1，0)處的切線方程是 .答案：解析：設(shè)f(x)，則f(x).所以f(1)1.所以所求切線方程為yx1.12. 棱長(zhǎng)均為3的三棱錐，若空間一點(diǎn)滿足，則的最小值為 .答案：解析：，四點(diǎn)共面，的最小值即為點(diǎn)到底面的高.13. 我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起

5、降飛行訓(xùn)練中，有5架“殲15”飛機(jī)準(zhǔn)備著艦，如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法數(shù)是 .答案:24解析：分三步：把甲、乙捆綁為一個(gè)元素A，有A種方法；A與戊機(jī)形成三個(gè)“空”，把丙、丁兩機(jī)插入空中有A種方法；考慮A與戊機(jī)的排法有A種方法可知共有AAA24種不同的著艦方法14. 橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，記直線的斜率為，直線的斜率為，則 ·= .答案：解析：橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為(2，0)，(2，0)，設(shè)P(x0，y0)，則kPA1kPA2·，而1，即y(4x)，所以kPA1kPA215.函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的范圍是

6、答案：解析：定義域?yàn)?，令，則在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象知三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共75分，解答題寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.（本小題滿分12分）設(shè):實(shí)數(shù)滿足, 實(shí)數(shù)滿足.(1)若且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若其中且是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:（1）. 由得當(dāng)時(shí)，,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.2分由, 得, 得即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是,4分若為真，則真且真，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 6分(2) 由得 是的充分不必要條件，即,且, 8分設(shè)A=,B=,則,又A=, B=x|x4或x2，10分則,且所以實(shí)數(shù)的取值范圍是12分17. （本小題滿分12分）如圖,在三棱

7、柱中,側(cè)棱垂直底面,，.（1）求證:；（2）求二面角的大小.解：方法一：（1），又 （2）取的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過(guò)作于點(diǎn)，連接則，而是二面角的平面角，又二面角為60°.18. （本小題滿分12分）時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量（單位：千套）與銷售價(jià)格（單位：元/套）滿足的關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套.（1）求的值；（2）假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價(jià)格的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大.（保留1位小數(shù)）.解：（

8、1）因?yàn)闀r(shí)， 代入關(guān)系式，得，解得.4分（2）由（1）可知，套題每日的銷售量，5分 所以每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)8分從而. 令，得,且在上,，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，函數(shù)單調(diào)遞減， 10分所以是函數(shù)在內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值. 故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大. 12分19. （本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為(即)，且方程有一根為1，1,2,3.(1)求；(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出嚴(yán)格的證明解：(1)當(dāng)n1時(shí)，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.3分當(dāng)n2時(shí)，x2a2x

9、a20有一根為S21a2，于是2a2a20，解得a2.5分(2)由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，即S2Sn1anSn0.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1，S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3. 7分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論()n1時(shí)已知結(jié)論成立8分()假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)結(jié)論成立，即Sk，當(dāng)nk1時(shí)，由得Sk1，10分即Sk1，故nk1時(shí)結(jié)論也成立12分綜上，由()()可知Sn對(duì)所有正整數(shù)n都成立13分20. （本小題滿分13分）已知橢圓：離心率為，且橢圓的長(zhǎng)軸比焦距長(zhǎng). （1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)(，)的動(dòng)直線

10、交橢圓于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無(wú)論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則由題設(shè)可知，解此方程組得，. 所以橢圓C的方程是. 5分（2）解法一：假設(shè)存在點(diǎn)T（u, v）. 若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，將它代入橢圓方程，并整理，得設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，則 因?yàn)榧八?9分當(dāng)且僅當(dāng)恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T，所以解得此時(shí)以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T（0，1）. 11分當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為也過(guò)點(diǎn)T（0，1）.綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1），滿足條件. 13分解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是 若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是 7分由解得.由此可知所求點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）. 8分事實(shí)上點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn). 證明如下：當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時(shí)，以AB為直徑的圓為，過(guò)點(diǎn)T（0，1）； 當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為，則 10分因?yàn)?，所以，即以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T（0，1）. 綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件. 13分21. （本小題滿分13分）已知 （1）若，時(shí)，求證：對(duì)于恒成立；（2