1、高斯濾波器是一類根據(jù)高斯函數(shù)的形狀來選擇權(quán)值的線性平滑濾波器。高斯平滑濾波器對于抑制服從正態(tài)分布 的噪聲非常有效。一維零均值高斯函數(shù)為： g(x)=exp( -x2/(2 sigma2) 其中，高斯分布參數(shù)Sigma決定了高斯函數(shù)的寬度。 對于圖像處理來說，常用二維零均值離散高斯函數(shù)作平滑濾波器。 高斯函數(shù)具有五個重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)使得它在早期圖像處理中特別有用這些性質(zhì)表明，高斯平滑濾波器無論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實際圖像處理中得到了工程人員的有效使用高斯函數(shù)具有五個十分重要的性質(zhì)，它們是： （1）二維高斯函數(shù)具有旋轉(zhuǎn)對稱性，即濾波器在各個方向上的平滑程度是相同的

2、一般來說，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無法確定一個方向上比另一方向上需要更多的平滑旋轉(zhuǎn)對稱性意味著高斯平滑濾波器在后續(xù)邊緣檢測中不會偏向任一方向 （2）高斯函數(shù)是單值函數(shù)這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權(quán)均值來代替該點的像素值，而每一鄰域像素點權(quán)值是隨該點與中心點的距離單調(diào)增減的這一性質(zhì)是很重要的，因為邊緣是一種圖像局部特征，如果平滑運算對離算子中心很遠的像素點仍然有很大作用，則平滑運算會使圖像失真 （3）高斯函數(shù)的付立葉變換頻譜是單瓣的正如下面所示，這一性質(zhì)是高斯函數(shù)付立葉變換等于高斯函數(shù)本身這一事實的直接推論圖像常被不希望的高頻信號所污染(噪聲和細紋理)而所希望的圖像

3、特征（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量高斯函數(shù)付立葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會被不需要的高頻信號所污染，同時保留了大部分所需信號 （4）高斯濾波器寬度(決定著平滑程度)是由參數(shù)表征的，而且和平滑程度的關(guān)系是非常簡單的越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好通過調(diào)節(jié)平滑程度參數(shù)，可在圖像特征過分模糊(過平滑)與平滑圖像中由于噪聲和細紋理所引起的過多的不希望突變量(欠平滑)之間取得折衷 （5）由于高斯函數(shù)的可分離性，較大尺寸的高斯濾波器可以得以有效地實現(xiàn)二維高斯函數(shù)卷積可以分兩步來進行，首先將圖像與一維高斯函數(shù)進行卷積，然后將卷積結(jié)果與方向垂直的相同一維高斯函數(shù)卷積因此，二維高斯濾波

4、的計算量隨濾波模板寬度成線性增長而不是成平方增長 附1：圖像濾波概念 1 圖像濾波的基本概念 圖像常常被強度隨機信號（也稱為噪聲）所污染一些常見的噪聲有椒鹽（Salt & Pepper）噪聲、脈沖噪聲、 高斯噪聲等椒鹽噪聲含有隨機出現(xiàn)的黑白強度值而脈沖噪聲則只含有隨機的白強度值（正脈沖噪聲）或黑強度值（負脈沖噪聲）與前兩者不同，高斯噪聲含有強度服從高斯或正態(tài)分布的噪聲研究濾波就是為了消除噪聲干擾。 圖像濾波總體上講包括空域濾波和頻域濾波。頻率濾波需要先進行傅立葉變換至頻域處理然后再反變換回空間域還原圖像，空域濾波是直接對圖像的數(shù)據(jù)做空間變換達到濾波的目的。它是一種鄰域運算，即輸出圖像中

5、任何像素的值都是通過采用一定的算法，根據(jù)輸入圖像中對用像素周圍一定鄰域內(nèi)像素的值得來的。如果輸出像素是輸入像素鄰域像素的線性組合則稱為線性濾波（例如最常見的均值濾波和高斯濾波），否則為非線性濾波（中值濾波、邊緣保持濾波等）。 線性平滑濾波器去除高斯噪聲的效果很好，且在大多數(shù)情況下，對其它類型的噪聲也有很好的效果。線性濾波器使用連續(xù)窗函數(shù)內(nèi)像素加權(quán)和來實現(xiàn)濾波。特別典型的是，同一模式的權(quán)重因子可以作用在每一個窗口內(nèi)，也就意味著線性濾波器是空間不變的，這樣就可以使用卷積模板來實現(xiàn)濾波。如果圖像的不同部分使用不同的濾波權(quán)重因子，且仍然可以用濾波器完成加權(quán)運算，那么線性濾波器就是空間可變的。任何不是像

6、素加權(quán)運算的濾波器都屬于非線性濾波器非線性濾波器也可以是空間不變的，也就是說，在圖像的任何位置上可以進行相同的運算而不考慮圖像位置或空間的變化。 2 圖像濾波的計算過程分析 濾波通常是用卷積或者相關(guān)來描述，而線性濾波一般是通過卷積來描述的。他們非常類似，但是還是會有不同。下面我們來根據(jù)相關(guān)和卷積計算過程來體會一下他們的具體區(qū)別： 卷積的計算步驟： （1） 卷積核繞自己的核心元素順時針旋轉(zhuǎn)180度 （2） 移動卷積核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方 （3） 在旋轉(zhuǎn)后的卷積核中，將輸入圖像的像素值作為權(quán)重相乘 （4） 第三步各結(jié)果的和做為該輸入像素對應的輸出像素 相關(guān)的計算步驟： （

7、1）移動相關(guān)核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方 （2）將輸入圖像的像素值作為權(quán)重，乘以相關(guān)核 （3）將上面各步得到的結(jié)果相加做為輸出 可以看出他們的主要區(qū)別在于計算卷積的時候，卷積核要先做旋轉(zhuǎn)。而計算相關(guān)過程中不需要旋轉(zhuǎn)相關(guān)核。 例如： magic(3) =8 1 6;3 5 7;4 9 2，旋轉(zhuǎn)180度后就成了2 9 4;7 5 3;6 1 8 三 高斯平滑濾波器的設(shè)計 高斯函數(shù)的最佳逼近由二項式展開的系數(shù)決定，換句話說，用楊輝三 角形（也稱Pascal三角形）的第n行作為高斯濾波器的一個具有n個點的一維逼近，例如，五點逼近為: 1 4 6 4 1 它們對應于Pascal三角形

8、的第5行這一模板被用來在水平方向上平滑圖像在高斯函數(shù)可分離性性質(zhì)中曾指出，二維高斯濾波器能用兩個一維高斯濾波器逐次卷積來實現(xiàn)，一個沿水平方向，一個沿垂直方向?qū)嶋H中，這種運算可以通過使用單個一維高斯模板，對兩次卷積之間的圖像和最后卷積的結(jié)果圖像進行轉(zhuǎn)置來完成 這一技術(shù)在模板尺寸N約為10時的濾波效果極好對較大的濾波器，二項式展開系數(shù)對大多數(shù)計算機來說都太多但是，任意大的高斯濾波器都能通過重復使用小高斯濾波器來實現(xiàn)高斯濾波器的二項式逼近的可用高斯函數(shù)擬合二項式系數(shù)的最小方差來計算 設(shè)計高斯濾波器的另一途徑是直接從離散高斯分布中計算模板權(quán)值。為了計算方便，一般希望濾波器權(quán)值是整數(shù)。在模板的一個角點處

9、取一個值，并選擇一個K使該角點處值為1。通過這個系數(shù)可以使濾波器整數(shù)化，由于整數(shù)化后的模板權(quán)值之和不等于1，為了保證圖像的均勻灰度區(qū)域不受影響，必須對濾波模板進行權(quán)值規(guī)范化。 高斯濾波器的采樣值或者高斯濾波器的二項式展開系數(shù)可以形成離散高斯濾波器當用離散高斯濾波器進行卷積時，其結(jié)果是一個更大的高斯離散濾波器若一幅圖像用N*N離散高斯濾波器進行平滑，接著再用M*M離散高斯濾波器平滑的話，那么平滑結(jié)果就和用（N+M-1）*（N+M-1）離散高斯濾波器平滑的結(jié)果一樣換言之，在楊輝三角形中用第N行和第M行卷積形成了第N+M-1行 四 使用高斯濾波器進行圖像的平滑 如果適應卷積運算對圖像進行濾波，在ma

10、tlab中可以通過2個不同的函數(shù)來實現(xiàn)conv2和imfliter。他們的調(diào)用方式如下： Img_n = conv2(Img,g,'same'); 和 Img_n = imfilter(Img,g,'conv'); 這兩種函數(shù)處理的結(jié)果是完全一樣的。 imfiler函數(shù)在默認的情況下，對圖像的濾波計算用的是相關(guān) Img_n = imfilter(Img,g);%使用相關(guān)運算濾波 下面是一個簡單的例子展示了使用相同的高斯濾波核函數(shù)，相關(guān)運算和卷積運算對圖像平滑的效果可以直接后邊附的程序查看。 由結(jié)果可以看出相關(guān)運算和卷積運算的在用于圖像平滑濾波時效果差別不大。當模

11、板大小N>50的時候。邊界的系數(shù)已經(jīng)非常小，對運算起到的作用和微乎其微，所以平滑的結(jié)果差別已經(jīng)非常細微，肉眼幾乎難以察覺。 example.m clear all I = imread('lena.bmp'); Img = double(I); alf=3; n=10;%定義模板大小 n1=floor(n+1)/2);%計算中心 for i=1:n for j=1:n b(i,j) =exp(-(i-n1)2+(j-n1 )2)/(4*alf)/(4*pi*alf); end end Img_n = uint8(conv2(Img,b,'same'); K

12、=uint8(imfilter(Img,b); Img_n2=uint8(imfilter(Img,b,'conv'); J=(Img_n2)-Img_n; flag=mean(J(:) subplot(131),imshow(I);title('原圖') subplot(132),imshow(Img_n);title('卷積運算圖') subplot(133),imshow(K);title('相關(guān)運算圖') figure(2),surf(b); 附2：平滑濾波演變過程 去噪，在圖像分析中，很常見。值得注意的是，去噪不一定是使

13、用平滑，但平滑在去噪的路上頻頻被采用。前段時間隨意瀏覽，看了些新算法，從原理上作點總結(jié)，解構(gòu)別人的設(shè)計思路，也是一件樂事。 遠親不如近鄰，在圖像濾波器中，體現(xiàn)得淋漓盡致。鄰域操作在圖像處理中比比皆是。從微積分的角度上看，對任意給定區(qū)域，定制一個劃分規(guī)則，在足夠小的子域內(nèi)，完全可以認定為相同或相似。圖像處理中的很多模板操作其實都是基于此點展開。 對圖像而言，最小劃分就是每個象素。而在 X=X 的恒等式內(nèi)，無法進行其他運算，很自然的，會擴大他，比如取3X3或其他，于是就有了很多模板。然而問題是，在劃分的子域（一個模板大?。﹥?nèi)，并非完全滿足相同或相似這個原則。所以，有了缺陷，于是有了改進空間，結(jié)果幻

14、化了很多有意思的算法。 平滑操作，本質(zhì)來說無法去噪；但他本身繞開去噪問題，更注重于模糊噪聲，進而達到降噪目的。有點考不到第一，先及格再說的味道。當然，代價也很明顯，就是會把有效細節(jié)也一起消弱。這就是平滑了。 均值濾波（mean） 很顯然，就是在給定子域內(nèi)取平均的操作。 在追求平等的年代，很理想主義?，F(xiàn)實告訴我們，平等很多時候只是口號！在圖像的均值中就是這樣，模板越大，滿足子域相似的條件就越脆弱，于是就越模糊，如果化妝中，去痘要與淡化五官輪廓為代價（很有鬼片的感覺），很顯然，很多人不接受。所以，在一些特殊的場合，特別是工業(yè)上，他比較流行，在其他圖像的修復上，他往往只能是輔助的一個操作。很難獨立來

15、實現(xiàn)一些功能。 高斯濾波（gauss） 平等已然只能理想，現(xiàn)實顯然還要繼續(xù)的情況下。參考子域的空間理論，很自然地會想重要性問題，自己親人到鄰居，分開對待，人不為己，天誅地滅的自我中心思想開始在這里展現(xiàn)。主次的概念，也叫權(quán)重引入，而各方向等同的Gauss函數(shù)備受關(guān)注并盛行起來，成了一個重要的濾波器。其最大的貢獻性在于提供一種權(quán)值的簡單計算方法。在圖像的子域里，Gauss通過空間距離給出權(quán)值，自身的權(quán)值最大，以此加權(quán)濾波。好處是比均值更保留的五官信息，雖然也有一定程度的模糊。但同時也看到在降噪上其實力度比均值 差一些。在Gauss操作中，設(shè)想當中心點恰巧是噪聲的時候，Gauss還是盡力地維持其為噪

16、聲的權(quán)利。 雙邊高斯（bilateral filter） 這個東西可能比較少見了，我也是前些月子才看到。 Gauss函數(shù)中通過Sigma值和半徑大小控制著平滑力度。雙邊高斯很顯然引入2次Gauss概念。更代碼點講就是給了2個Sigma值，一個叫spatial sigma，一個叫intersity sigma加上一個半徑來控制。第一個Sigma跟原來的Gauss一致，后一個就是一個亮度的變化信息的參考。 回到子域的模型上，拋開噪聲問題，當一個子域里面相近時，其實采用什么的平滑都無所謂。當子域出現(xiàn)不相近時，設(shè)想一張有黑白對半的圖，當子域包含一半白一半黑的時候，均值會把這點變成灰，Gauss沒均值力

17、度大單也作了改變。雙邊高斯這時引進intersity，意思就是把要參與運算的點跟當前點（模板中心點，前面叫的自身）作差，由這個差值產(chǎn)生另一套權(quán)值，原則是，差越大，計算的權(quán)值越小。把這個權(quán)值與原始Gauss定義的空間權(quán)值作乘來作為平滑的權(quán)值計算。這樣就解決了模糊問題。 雙邊Gauss適合降低弱噪聲（就是噪聲跟非噪聲點相差不大的噪聲）。通過雙重權(quán)值的引入，可以在平滑和保留上實現(xiàn)合適的雙贏。再解釋一下其適用性，皮膚上有個剛起不久的粉刺，此時粉刺上的膚色跟皮膚比較相近，在雙邊高斯作用下可以比較好的修復，當粉刺張得成熟，跟皮膚相差得大時，此時等同于毛發(fā)跟皮膚的差別，該濾波無法消除它，但也基本保留，不加傷

18、害。這就是雙邊高斯帶來的思想。 通過調(diào)整其中參數(shù)，可以控制平滑力度。Intersity Sigma可以理解為細節(jié)保留的一個參數(shù)。 非局部均值（non local means） 這個在我看雙邊高斯的時候看過，當時一個數(shù)據(jù)說它很慢讓我沒興趣了解。前些日子才對其作了原理性解析。因為GPU的興起讓它成為實用。 這個濾波基本可以理解為去噪聲設(shè)計的平滑濾波器。特別針對那種椒鹽/粉刺類的噪聲。 去噪濾波器的設(shè)計必須滿足最基本的2條件，一是好的地方（毛發(fā)細節(jié)，輪廓信息等）不能變模糊，二是噪點要消除。 于是，我們很希望有判斷是不是噪聲點的判據(jù)出現(xiàn)。很希望在細節(jié)上有雙邊高斯的優(yōu)點，在噪聲點上有均值或高斯濾波的力度。但怎么去判定是噪點還是細節(jié)，站在計算機的角度，很難（這也是我老喜歡叫人工愚蠢原因）。 在人口日益膨脹的時代，一家人會分家，分家之后很難保證住所相鄰。這個濾波器很現(xiàn)實的考慮了這個問題，對子域作了相應修正，所以取名（non-local）。 它給出了點的有效性判斷，原則模仿雙邊高