1、X.J. Feng Try not to become a man of success but rather try to become a man of value. - A. Einstein X.J. Feng knP32kTk32兩個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值兩個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值: 分子熱運(yùn)動(dòng)分子熱運(yùn)動(dòng)平均平動(dòng)動(dòng)能平均平動(dòng)動(dòng)能:221vkX.J. Feng 質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)： M ( x,y,z )剛性桿子：剛性桿子：約束條件：約束條件：1.質(zhì)點(diǎn)及剛性桿子的自由度質(zhì)點(diǎn)及剛性桿子的自由度一、自由度一、自由度:6.4 能量均分定理能量均分定理 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能 5 個(gè)個(gè)),(1111zyxM),(222

2、2zyxM確定一物體在空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。確定一物體在空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。2MM1l212212212)()()(zzyyxxl3 個(gè)個(gè)xyzoG ：x, y, z約束條件：約束條件：剛體自由度數(shù)剛體自由度數(shù)= 62. 剛體的自由度剛體的自由度aGP : a ,平動(dòng)自由度平動(dòng)自由度 3個(gè)個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 3個(gè)個(gè)33繞繞GP 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：1P+)7G.1coscoscos222其中其中:X.J. Feng 火車(chē)火車(chē)：被限制在一曲線上運(yùn)動(dòng)，：被限制在一曲線上運(yùn)動(dòng)，飛機(jī)飛機(jī)：自由度為：自由度為3（經(jīng)度、緯度）（經(jīng)度、緯度）輪船輪船：被限制在一曲面上運(yùn)動(dòng)，：被限制在一曲面上運(yùn)動(dòng)，自由度

3、為自由度為2，（經(jīng)度、緯度、高度）（經(jīng)度、緯度、高度）自由度為自由度為1；X.J. Feng 自由度自由度轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng)單原子分子單原子分子303雙原子分子雙原子分子523三原子三原子(多原子多原子)非線性分子非線性分子6333. 剛性分子的自由度剛性分子的自由度 i單原子分子單原子分子雙原子分子雙原子分子多原子分子多原子分子X(jué).J. Feng 能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理：二、能量按自由度均分定理二、能量按自由度均分定理v2+zxyvv22=v2v2=zxyvv2222123vkTk222212121zyxkTkTkT212121222212121zyxkT21處于平衡態(tài)的氣

4、體分子每一自由度的平均動(dòng)能都相等處于平衡態(tài)的氣體分子每一自由度的平均動(dòng)能都相等:kT21X.J. Feng 分子熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能分子熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能:1mol 理想氣體的內(nèi)能：理想氣體的內(nèi)能：m kg理想氣體的內(nèi)能：理想氣體的內(nèi)能：三、理想氣體的內(nèi)能三、理想氣體的內(nèi)能理想氣體內(nèi)能：理想氣體內(nèi)能：系統(tǒng)中所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的總和。系統(tǒng)中所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的總和。kTi2kTiNE20RTi2RTiMmEmol2理想氣體：理想氣體：E = E ( T )2. 實(shí)際中實(shí)際中;T = 0時(shí)時(shí):1. 內(nèi)能是氣體狀態(tài)的單值函數(shù)內(nèi)能是氣體狀態(tài)的單值函數(shù)0E可以證明，當(dāng)可以證明，當(dāng)量子力學(xué)量子力學(xué):仍有零點(diǎn)能存

5、在仍有零點(diǎn)能存在T = 0時(shí)時(shí):X.J. Feng 1. 說(shuō)明下列表示式的意義說(shuō)明下列表示式的意義kT21RTiMm2kT23kTi2RTi2RTMm23分子中每個(gè)自由度占有的能量分子中每個(gè)自由度占有的能量分子的平動(dòng)能量分子的平動(dòng)能量分子的能量分子的能量1mol 分子的內(nèi)能分子的內(nèi)能質(zhì)量為質(zhì)量為m的分子平動(dòng)能量的分子平動(dòng)能量質(zhì)量為質(zhì)量為m的分子內(nèi)能的分子內(nèi)能X.J. Feng 2. H2和和He（理想氣體）（理想氣體）T相同，相同，mol數(shù)相同。數(shù)相同。 它們的內(nèi)能它們的內(nèi)能E 是否相同？是否相同？、k 不同內(nèi)能相同E、，kkTk23kTik2RTinEmol23Hei52Hi3. A、B兩種

6、氣體分別為兩種氣體分別為O2和和He , 若：若：BABABAmmVVTT 問(wèn)：?jiǎn)枺築APP :BAEE:內(nèi)能內(nèi)能VRTMmP RTiMmE2 8:132:424543:325:BBAABAMiMiEEABBAMMPP:X.J. Feng 一、速率分布律一、速率分布律6.5 麥克斯韋速率分布定律麥克斯韋速率分布定律voNN分布律分布律:一一定定時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)有有關(guān)關(guān)與與一一定定時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)vvvvNN定義速率分布函數(shù)：定義速率分布函數(shù)：對(duì)對(duì)N個(gè)分子的速率從個(gè)分子的速率從 分成許多區(qū)間分成許多區(qū)間0的的分分子子數(shù)數(shù)dvvvN:百分比百分比的分子數(shù)占總分子數(shù)的的分子數(shù)占總分子數(shù)的dvvvNN:NdvdNvN

7、Nvfvlim0)(X.J. Feng 二、麥克斯韋速率分布函數(shù)二、麥克斯韋速率分布函數(shù)函數(shù)數(shù)學(xué)形式函數(shù)數(shù)學(xué)形式: kTvevkTvf2223224分布函數(shù)意義：分布函數(shù)意義：處在速率處在速率 附近附近單位速率區(qū)間單位速率區(qū)間的的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比（幾分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比（幾率）。率）。vov)(vfNdvdNvf)(vNdNdvvf)(1)(0NdNdvvf曲線下的面積曲線下的面積X.J. Feng 得得： vp=2RTM最可幾速率：最可幾速率：由由MRT41. 1vp意義意義：分子速率處在：分子速率處在 附近的單位速率區(qū)間內(nèi)的幾率最大。附近的單位速率區(qū)間內(nèi)的幾率最大。pv要求知道

8、分布函數(shù)大致形狀和圖中各面積的意義要求知道分布函數(shù)大致形狀和圖中各面積的意義0)(vvfov)(vfX.J. Feng ：下列表示式的意義？：下列表示式的意義？ 21)(vvdvvfdvvf)( 0)(dvvf 21)(vvdvvNfdvvNf)( 0)(vdvvNf(v)vfov速率大于速率大于v0的分子數(shù)的分子數(shù)的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比百分比dvvv的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)dvvv的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比百分比21vv 的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)21vv 歸一化條件：歸

9、一化條件：1)(0dvvfX.J. Feng vf (v)0M大大M小小vf (v)0T 低低T 高高分布函數(shù)和溫度的關(guān)系分布函數(shù)和溫度的關(guān)系分布函數(shù)和分子質(zhì)量的關(guān)系分布函數(shù)和分子質(zhì)量的關(guān)系MRTvp41. 1X.J. Feng 1273K273K73Kf (v)50010001500vO2氧氣分子分布函數(shù)和溫度的關(guān)系氧氣分子分布函數(shù)和溫度的關(guān)系X.J. Feng vf (v)0T1T2vf (v)0HeH2vf (v)0H2Hevf (v)0T 1T 2T1=T2T1=T2T2T1T1T2同種同種氣體氣體同種同種氣體氣體（1）（2）（3）（4）關(guān)于分布函數(shù)曲線，指出下列的曲線中，哪個(gè)是正確的

10、關(guān)于分布函數(shù)曲線，指出下列的曲線中，哪個(gè)是正確的圖（圖（3）是正確的）是正確的X.J. Feng 若在這溫度下，若在這溫度下，He的最可幾速率的最可幾速率vpHe=800m/s, 則則H2在這溫度下的在這溫度下的最可幾速率？最可幾速率？222HHepHepHMMvvsmvvpHepH/280022X.J. Feng 三、三、3種速率種速率1. 平均速率平均速率1NN1vv22=+vv.NNNNvN=Nii當(dāng)當(dāng)Ni0時(shí)時(shí)MRT60. 1 NvdNv0dvNdvdNv)(0dvvfv)(0MRT8X.J. Feng 2. 方均根速率方均根速率. 最可幾速率最可幾速率MRTvp41. 1 MRTv6

11、0. 1vpvv2vvv2pvf (v)oMRTkTv332MRT73. 1X.J. Feng 討論討論寫(xiě)出速率處在寫(xiě)出速率處在v1v2之間的分子的平均速率。之間的分子的平均速率。21)(vvdvvvfv?v在在v1v2區(qū)間內(nèi)所有分子速率之和區(qū)間內(nèi)所有分子速率之和在在v1v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)2121)()(vvvvdvvNfdvvvNf2121)()(vvvvdvvfdvvvfdvvfvv)(0X.J. Feng Lvj金屬金屬蒸汽蒸汽速率選擇器速率選擇器屏屏Lv1 t =,1tt =令令2通過(guò)改變通過(guò)改變可獲得不同速率區(qū)間的分子?？色@得不同速率區(qū)間的分子。只有滿足此條件的分子才能

12、同時(shí)通過(guò)兩縫。只有滿足此條件的分子才能同時(shí)通過(guò)兩縫。 四、分子速率分布的測(cè)定四、分子速率分布的測(cè)定斯特恩實(shí)驗(yàn)斯特恩實(shí)驗(yàn)t =2jLv=得：得：jX.J. Feng 分分子子 速速 率率 分分 布布的的100200速率區(qū)間速率區(qū)間200300300400400500500600600700700800800900900100(m/s) 1859年麥克年麥克斯韋從理論上斯韋從理論上得到速率分布得到速率分布定律。定律。 20.6 %1.4 %8.1 %16.5 %21.4 %15.1 %9.2 %4.8 %2.0 %0.9 %百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù) 實(shí)實(shí) 驗(yàn)驗(yàn) 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù)1920年斯特恩從實(shí)年斯特恩從實(shí)驗(yàn)上證

13、實(shí)了速率分驗(yàn)上證實(shí)了速率分布定律。布定律。X.J. Feng 如在外力場(chǎng)中，氣體分子按空間位置的分布將如何？如在外力場(chǎng)中，氣體分子按空間位置的分布將如何？6.6 玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律麥?zhǔn)纤俾史植悸蔀辂準(zhǔn)纤俾史植悸蔀閦yxkTvvvdvdvdvekTNdNzyx2232222Kv221 相應(yīng)于分子不受外力場(chǎng)的影響，只考慮分子相應(yīng)于分子不受外力場(chǎng)的影響，只考慮分子在速度體積元在速度體積元dvxdvydvz 中的分布情況。中的分布情況。分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能問(wèn)題問(wèn)題:將麥?zhǔn)纤俾史植加脤Ⅺ準(zhǔn)纤俾史植加?代替代替 用用x、y、z、 vx、 vy、 vz 為軸構(gòu)成的六維空為軸構(gòu)成的六維空間中的體

14、積元間中的體積元 dxdydzdvxdvydvz 代替速度空間代替速度空間的體積元的體積元dvxdvydvz KPK玻爾茲曼分布律（分子按能量分布定律）玻爾茲曼分布律（分子按能量分布定律）X.J. Feng 考察：坐標(biāo)介于區(qū)間考察：坐標(biāo)介于區(qū)間xx+dx、yy+dy、zz+dz內(nèi)，同時(shí)內(nèi)，同時(shí)速度介于速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz內(nèi)的分子數(shù)：內(nèi)的分子數(shù)： dxdydzdvdvdvekTndNzyxkTPK 23020Pn0為在為在 處，單位體積內(nèi)的分子數(shù)處，單位體積內(nèi)的分子數(shù) kTPKedN 分子總是優(yōu)先占據(jù)低能量狀態(tài)分子總是優(yōu)先占據(jù)低能量狀態(tài)X.J. Feng

15、dxdydzendvdvdvekTdxdydzenNdkTzyxkTkTPKP 02302kTPendxdydzNddVNdn 0 將玻爾茲曼分布率積分：將玻爾茲曼分布率積分：重力場(chǎng)中粒子按高度的分布重力場(chǎng)中粒子按高度的分布1223 zyxkTdvdvdvekTK X.J. Feng 可得可得:RTMghePP 0重力場(chǎng)中氣體壓強(qiáng)隨高度的變化重力場(chǎng)中氣體壓強(qiáng)隨高度的變化將將 P = nkT 代入上式代入上式 重力場(chǎng)中粒子按高度的分布（重力場(chǎng)中粒子按高度的分布（ ）ghPRTMghkTghenenn 00 或或ppMgRTh0ln X.J. Feng 6.7 分子的平均碰撞次數(shù)和平均自由程分子的

16、平均碰撞次數(shù)和平均自由程發(fā)難：荷蘭化學(xué)家發(fā)難：荷蘭化學(xué)家 巴洛特巴洛特 : 擴(kuò)散與擴(kuò)散與矛盾矛盾m/s102分子運(yùn)動(dòng)論的佯謬分子運(yùn)動(dòng)論的佯謬B解釋?zhuān)航忉專(zhuān)毫Ｗ幼吡艘粭l艱難曲折的路粒子走了一條艱難曲折的路平均自由程平均自由程平均碰撞頻率平均碰撞頻率Z描述的物理量描述的物理量:自由程自由程: 分子在連續(xù)兩次碰撞之間所自由走過(guò)的路程分子在連續(xù)兩次碰撞之間所自由走過(guò)的路程:自由程的平均值。自由程的平均值。:一秒鐘內(nèi)一個(gè)分子與其它分子碰撞的平均次數(shù)一秒鐘內(nèi)一個(gè)分子與其它分子碰撞的平均次數(shù)X.J. Feng 必要的假設(shè)：必要的假設(shè)：1)同種分子同種分子 分子有效直徑分子有效直徑md10102)彈性碰撞彈性碰撞3)一個(gè)分子動(dòng)一個(gè)分子動(dòng) 其余不動(dòng)平均來(lái)看相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為其余不動(dòng)平均來(lái)看相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為u分子碰撞次數(shù)的計(jì)算dddA凡是分子中心位于管內(nèi)的分子凡是分子中心位于管內(nèi)的分子都將與都將與 A 分子進(jìn)行碰撞分子進(jìn)行碰撞以以A分子運(yùn)動(dòng)路徑分子運(yùn)動(dòng)路徑(折線折線)為軸線，作為軸線，作一半徑為一半徑為d ，總長(zhǎng)度為，總長(zhǎng)度為 的圓管的圓管u跟蹤跟蹤 A 分子分子一、平均碰撞頻率一、平均碰撞頻率(mean collision frequency)nudZ2ndZ22X.J