1、湖南省株洲市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題王林審題人：劉意云時量： 150分鐘分值： 120分一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個符合題目要求1. 已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限2. 曲線在處的切線的斜率為（）AB. C. D. 3. 若離散型隨機(jī)變量的分布列如下圖所示01則實(shí)數(shù)的值為（）A. 或B. C. D. 或4. 已知等比數(shù)列中，則（）A. 1B. 2C. ±1D. ±25. 在的展開式中，若項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為（

2、）A. B. C. D. 6. 若是一個三位正整數(shù)，且的個位數(shù)大于十位數(shù)，十位數(shù)大于百位數(shù)，則稱為“三位遞增數(shù)”（如、等），在所有的三位數(shù)中任取一個三位數(shù)，則該數(shù)是“三位遞增數(shù)”的概率為（）A. B. C. D. 7. 現(xiàn)有5名抗疫志愿者被分配到栗雨、南塘、泰山、云里四個不同社區(qū)進(jìn)行疫情防疫控制，每名志愿者只分配到一個社區(qū)，每個社區(qū)至少分配名志愿者，則不同的分配方案有（）A. 種B. 種C. 種D. 種8. 設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 二、選擇題，本題共 4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求（全部選對的

3、得5分，部分選對的得 2分，有選錯的得 0分）9. 我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的詳解九章算法就給出著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華名族自豪的.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的是（）A. 由 “與首末兩端等距離的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等” 猜想B. 由 “在相鄰兩行中，除以外的每個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字之和猜想 ；C. 第條斜線上各數(shù)字之和為；D. 在第條斜線上，各數(shù)從左往右先增大后減少10. 下列關(guān)于二項(xiàng)式展開式說法正確的是（）A. 若，則的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)：B. 若的展開式中

4、第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，則；C. 若，則D. 若，則11. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列選項(xiàng)中正確是（）A. B. C. 數(shù)列是等比數(shù)列D. 數(shù)列的前項(xiàng)和為12. 已知，為函數(shù)的零點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. 若，則D. a的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 有三臺車床加工同一型號的零件，第一臺加工的次品率為，第二、三臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起，已知第一、二三臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)，從中任取一件產(chǎn)品，則該產(chǎn)品是次品的概率是_14. 已知等比數(shù)列中，公比是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，則數(shù)列的前項(xiàng)之和_15. 已知點(diǎn)是橢圓上的兩點(diǎn)

5、，且線段恰好為圓的一條直徑，為橢圓上與不重合的一點(diǎn)，且直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為_16. 若，不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. 一個裝子里面有裝有大小相同的白球和黑球共個，若從袋子中任意摸出個球，至少有一個白球的概率為（1）求白球和黑球各有多少個：（2）現(xiàn)從中不放回的取球，每次取球，在第一次取出黑球的條件下，求第二次取出白球的概率19. 設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求角的大?。海?）若邊上的高為，求的值21. 如圖，為圓柱軸截面，是圓柱上異于的母線（1）證明：；（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求平面

6、與平面夾角的余弦值；23. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求的通項(xiàng)公式：（2）數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)使得？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由25. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距最小值為（1）求拋物線的方程（2）若點(diǎn)在圓上，、是拋物線兩條切線，、是切點(diǎn)，求面積的最大值27已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若對于任意的，恒成立，求整數(shù)的最小值（參考數(shù)據(jù)： )【1題答案】C【2題答案】A【3題答案】C【4題答案】B【5題答案】B【6題答案】A【7題答案】C【8題答案】D【9題答案】ABD【10題答案】ABD【11題答案】ACD【12題答案】ACD【13題答案】#【14題答案】

7、【15題答案】【16題答案】【17題答案】（1）袋子中白球的個數(shù)為，黑球的個數(shù)為（2）【小問1詳解】解：設(shè)黑球的的個數(shù)為，由已知可得，可得，因?yàn)榍?，因此，所以，袋子中白球的個數(shù)為，黑球的個數(shù)為.【小問2詳解】解：記事件第一次取出黑球，事件第二次取出白球，則，所以，.【19題答案】（1）（2）【小問1詳解】解：由題意得：根據(jù)余弦定理可知：整理可知：即可知，于是【小問2詳解】設(shè)邊上的高為，則，即由（1）可知，故解得：于是21【小問1詳解】連接CF，如圖，因?yàn)閳A柱的軸截面，則CD是圓的直徑，而是圓柱上異于的母線，于是得，即，又，則四邊形為平行四邊形，有，所以.【小問2詳解】由（1）知，平面，平面，則

8、，而，平面，因此，平面，即有平面，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，即當(dāng)時，三棱錐的體積最大，又，平面，因此，平面，而平面，則，于是得是平面與平面所成二面角的平面角，而是矩形，所以平面與平面夾角的余弦值.【23題答案】（1）;（2）存在滿足題意.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，；【小問2詳解】解：由（1）知，若，則，整理得，又，整理得，解得，又，存在滿足題意【25題答案】（1）（2）【小問1詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為，所以，且與圓上點(diǎn)的距最小值為，解得，因此，拋物線的方程為.【小問2詳解】解：對函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、，所以，直線的方程為，即，同理可知直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)為直線、的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足直線方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立可得，由可得，所以，由韋達(dá)定理可得，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，令，所以，面積的最大值為.27【小問1詳解】，若，則，是減函