1、2.3 平面 2.3.1 平面的表示法平面的表示法 2.3.2 各種位置平面的投影各種位置平面的投影 2.3.3 平面上的直線和點(diǎn)平面上的直線和點(diǎn)2.3.1 平面的表示法用幾何元素表示平面有五種形式：用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；一直線和直線外一點(diǎn)；一直線和直線外一點(diǎn)；相交兩直線；相交兩直線；平行兩直線；平行兩直線；任意平面圖形。任意平面圖形。cba ab c b a ac bcb a ac bca ab c bc幾何元素表示法a b c abcd d跡線表示法VWHZYOXPPWPHPXPYPZXZYWYHOPWPYPYPHPVPXPZPV跡線：跡

2、線：平面和投影面的交線。平面和投影面的交線。HHH類似形類似形積聚為線積聚為線反映實(shí)形反映實(shí)形2.3.2 各種位置平面的投影VWHZYOX一般位置平面一般位置平面一般位置平面 對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面b a aca c b bc ABCXZYWYHObb b aca c a c 一般位置平面實(shí)形實(shí)形: : 平面圖形的平面圖形的空間實(shí)際形狀及大小空間實(shí)際形狀及大小傾角傾角: : 平面和投影面的夾角平面和投影面的夾角 、VWHZYOXb a aca c b bc ABCXZYWYHObb b aca c a c 一般位置面的投影特性：一般位置面的投影特性：三個(gè)投影均為原圖形

3、的三個(gè)投影均為原圖形的類似形類似形均不反映平面的傾角均不反映平面的傾角一般位置平面VWHZYOXb a aca c b bc ABCXZYWYHObb b aca c a c 投影面垂直面u 鉛垂面鉛垂面（H）u 正垂面正垂面（V）u 側(cè)垂面?zhèn)却姑妫╓） 投影面垂直面投影面垂直面 垂直于某一投影面，傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面。垂直于某一投影面，傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面。投影面垂直面鉛垂面鉛垂面VWHZYOX XZYWYHObb b aca c a c PABCabc 投影面垂直面VWHZYOXPPWPHPVXZYWYHO PWPVPH鉛垂面鉛垂面 VWHZYOXP投影面垂直面 ABCb c

4、a XZYWYHObb aca a c b c 正垂面正垂面 投影面垂直面VWHZYOXPWPHPVXZYWYHOPPVPWPH正垂面正垂面VWHZYOXP投影面垂直面ABCb a c XZYWYHObb aca a c b c 側(cè)垂面?zhèn)却姑鎂WHZYOXP投影面垂直面XZYWYHO PWPHPVPVPHPW側(cè)垂面?zhèn)却姑嫱队懊娲怪泵?投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚為傾斜于在所垂直的投影面上的投影積聚為傾斜于投影軸的投影軸的直線直線，并反映平面對(duì)另外兩個(gè)投影，并反映平面對(duì)另外兩個(gè)投影面的傾角；另兩個(gè)投影為原圖形的面的傾角；另兩個(gè)投影為原圖形的類似形類似形。投影面平行面u 水

5、平面水平面（H）u 正平面正平面（V）u 側(cè)平面?zhèn)绕矫妫╓） 投影面平行面投影面平行面 平行于某一投影面，同時(shí)垂直于另外兩個(gè)投影平行于某一投影面，同時(shí)垂直于另外兩個(gè)投影面的平面。面的平面。VWHZYOXP投影面平行面ABCb c a b a c abcXZYWYHOabca b c b a c 水平面水平面投影面平行面VWHZYOXPWXZYWYHOPVPPVPW水平面水平面VWHZYOX投影面平行面c abcPb a b XZYWYHOabca b c b a c ABCa 正平面正平面VWHZYOX投影面平行面XZYWYHOPPWPHPHPW正平面正平面VWHZYOX投影面平行面c abc

6、b a b a PACBc XZYWYHOabca b c b a c 側(cè)平面?zhèn)绕矫鎂WHZYOX投影面平行面PXZYWYHOPHPVPVPH側(cè)平面?zhèn)绕矫嫱队懊嫫叫忻?投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映平面圖形的在所平行的投影面上的投影反映平面圖形的實(shí)實(shí)形形；另兩個(gè)投影積聚為平行于投影軸的；另兩個(gè)投影積聚為平行于投影軸的直線直線。一般位置面 三線框 三個(gè)投影均為類似形，均不反映實(shí)形及傾角。 投影面垂直面 一線兩框 一個(gè)投影積聚成傾斜線，反映兩傾角；兩個(gè)投影為類似形。投影面平行面 一框兩線 一個(gè)投影反映實(shí)形；兩個(gè)投影積聚成平行線。三類平面投影特性比較： 例例 判斷下列平面的位置

7、，可能時(shí)注出傾角及實(shí)形。判斷下列平面的位置，可能時(shí)注出傾角及實(shí)形。a b bc acc cbba a實(shí)形實(shí)形例例 分析圖示正三棱錐各表面的投影。分析圖示正三棱錐各表面的投影。a (c )abcb s b a sc s a (c )abcb b a c 實(shí)形實(shí)形 例例 分析圖示正三棱錐各表面的投影。分析圖示正三棱錐各表面的投影。a (c )abcb s b a sc s a (c )acs a sc s 例例 分析圖示正三棱錐各表面的投影。分析圖示正三棱錐各表面的投影。a (c )abcb s b a sc s b a abs b a ss 思考題：如何求三角形思考題：如何求三角形SAB實(shí)形？實(shí)

8、形？2.3.3 平面上的直線和點(diǎn)一般位置平面上取直線和點(diǎn)a b c abc平面上取直線平面上取直線d de eABCEFff Du通過平面內(nèi)兩已知點(diǎn)通過平面內(nèi)兩已知點(diǎn)u通過平面內(nèi)一已知點(diǎn)，且平行于平面內(nèi)一已知直線通過平面內(nèi)一已知點(diǎn)，且平行于平面內(nèi)一已知直線a b c abc平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn)d de eABCEDp點(diǎn)在平面內(nèi)一已知線上，則點(diǎn)在平面上。點(diǎn)在平面內(nèi)一已知線上，則點(diǎn)在平面上。Kkk 例例 已知平面上點(diǎn)已知平面上點(diǎn)M M的正面投影，求其水平及側(cè)面投影。的正面投影，求其水平及側(cè)面投影。a abb s b a ss m m 11 m輔助線法輔助線法m 1 例例 已知平面上點(diǎn)已知平面上點(diǎn)M

9、 M的正面投影，求其水平及側(cè)面投影。的正面投影，求其水平及側(cè)面投影。a abb s b a ss m 1輔助線法輔助線法2 2ma (c )abcb b a c m m m 由于特殊位置平面至少有一個(gè)投影有積聚性，由于特殊位置平面至少有一個(gè)投影有積聚性，因此可直接因此可直接利用積聚性利用積聚性求解。求解。特殊位置平面上取直線和點(diǎn)例例 已知平面上點(diǎn)已知平面上點(diǎn)M M的正面投影，求其水平及側(cè)面投影。的正面投影，求其水平及側(cè)面投影。a (c )acs a sc s m m m例例 直線直線EFEF在平面在平面P P內(nèi)，已知其正面投影，求水平投影。內(nèi)，已知其正面投影，求水平投影。 ee f PHPVf

10、例例 直線直線EFEF在平面內(nèi)，已知其水平投影，求正面投影。在平面內(nèi)，已知其水平投影，求正面投影。efabcka b c e f k 例例 已知已知ADAD為正平線，補(bǔ)全平面圖形為正平線，補(bǔ)全平面圖形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。abca b c dd m m例例 判斷圖示四點(diǎn)是否共面。判斷圖示四點(diǎn)是否共面。abma cb c dd m 例例 判斷圖示四點(diǎn)是否共面。判斷圖示四點(diǎn)是否共面。aba cb c dd u平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線u平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線平面上的特殊位置直線VHPPVPH平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線平面上的水平線平面上的

11、水平線平面上的正平線平面上的正平線平面上的投影面平行線：平面上的投影面平行線：平面上平行于投影面的直線。平面上平行于投影面的直線。VHPPVPH平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線平面上的水平線平面上的水平線（ H ）平面上的正平線平面上的正平線（ V ）平面上的側(cè)平線平面上的側(cè)平線（ W）平面上的水平線平面上的水平線平面上的正平線平面上的正平線平面的跡線是平面上的投平面的跡線是平面上的投影面平行線的特殊情況。影面平行線的特殊情況。aba cb c ee f fm n d mnd例例 作平面上的投影面平行線。作平面上的投影面平行線。平面上的投影面平平面上的投影面平行線有無數(shù)條行線有無數(shù)條它

12、們是互相平行的它們是互相平行的例：過點(diǎn)例：過點(diǎn)A A作平面上的水平線，過點(diǎn)作平面上的水平線，過點(diǎn)C C作平面上的正平線。作平面上的正平線。a b c bace d de平面上的投影面平行平面上的投影面平行線常用來作輔助線。線常用來作輔助線。e a b c bacf fe例：例：在在 ABCABC平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn)K K，使其距離，使其距離H H面面1515，距離，距離V V面面1010。nmm n 1510k k平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線: :平面上垂直于投影面平行線的直線。平面上垂直于投影面平行線的直線。 平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線VWHZYOXPPWPHPV對(duì)對(duì)V面的

13、最大斜度線面的最大斜度線對(duì)對(duì)H面的最大斜度線面的最大斜度線對(duì)對(duì)W面的最大斜度線面的最大斜度線平面上的投影面平行線有無數(shù)條；平面上的投影面平行線有無數(shù)條；平面上的最大斜度線也有無數(shù)條。平面上的最大斜度線也有無數(shù)條。VWHZYOXPPWPHPV 平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線HamABCD最大斜度線的投影特性最大斜度線的投影特性 平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線bnNMu平面上平面上對(duì)對(duì)H H面面的的最大斜度線的最大斜度線的水平投影水平投影垂直于平面垂直于平面上上水平線水平線的的水平投影水平投影。aba cb c d dm n mnu平面上平面上對(duì)對(duì)H H面面的最的最大斜度線的大斜度線的

14、水平投影水平投影垂直于平面上垂直于平面上水平線水平線的的水平投影水平投影。VWHZYOXPPWPHPV 平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線u平面上平面上對(duì)對(duì)V V面面的最大斜的最大斜度線的度線的正面投影正面投影垂直于平垂直于平面上面上正平線正平線的的正面投影正面投影。u平面上平面上對(duì)對(duì)W W面面的最大斜的最大斜度線的度線的側(cè)面投影側(cè)面投影垂直于平垂直于平面上面上側(cè)平線側(cè)平線的的側(cè)面投影側(cè)面投影。最大斜度線的投影特性最大斜度線的投影特性H最大斜度線是平面上對(duì)投影面傾角最大的直線。最大斜度線是平面上對(duì)投影面傾角最大的直線。最大斜度線的傾角代表了平面的傾角。最大斜度線的傾角代表了平面的傾角。 平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線amABCDbnNM 1 J j最大斜度線的幾何意義最大斜度線的幾何意義a b c bac例：例：求求 ABCABC平面對(duì)平面對(duì)H H面的傾角面的傾角 。d e de 例：例：求求 ABCABC平面對(duì)平面對(duì)V V面的傾角面的傾角 。a b c bacd e de 例：等腰三角