1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄第六章第六章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理1 大數(shù)定律大數(shù)定律2 中心極限定理中心極限定理第六章習(xí)題課第六章習(xí)題課概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄第六章第六章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄1大數(shù)定律大數(shù)定律 在實(shí)際應(yīng)用中，往往可以用實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，往往可以用實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)的頻率來估計(jì)概率的大小，且隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，的頻率來估計(jì)概率的大小，且隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，估計(jì)的精度會(huì)越來越高估計(jì)的精度會(huì)越來越高 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概

2、率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄1.1切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式證明證明222(),(),.XE XD XP X設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望方方差差則則對(duì)對(duì)于于任任意意正正數(shù)數(shù)不不等等式式理理成成立立定定取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄.22XP 221()( )dxp xx.122 22( )dx pxxx22XP .122XP 得得P X( )dx p xx概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄解解 時(shí)當(dāng)2412222XP時(shí)當(dāng)3913322

3、XP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄1.2 大數(shù)定律大數(shù)定律11lim|111()nkknnkkXnPEXn 11(1()1nknkkkEnnXEX【注】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄1.3契比雪夫大數(shù)定律契比雪夫大數(shù)定律1)(11lim11niiniinXEnXnP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄11nnkkYXn證明證明21111()()()nnnkkkkCD YDXD Xnnn22()lim(1)lim(1)1nnnD YCn1111()()()nnnkkkkE YEXE Xnnlim |()|nnnP YE Y1111lim()nnii

4、niiPXE Xnn記記概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄11|1limnknkPXn 【注注】1111()nnkkkkEXE Xnn概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄), 2 , 1( ni 解解 所以,滿足切比雪夫大數(shù)定理的條件,可使用大數(shù)定理. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄1.4伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律1limpnnPAn概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄證明證明則則)1()(,)(ppXDpXEii 由切由切比雪夫大數(shù)定律有比雪夫大數(shù)定律有11nAiinXnn11nAiinEEXpnn1limpnnPAn1,0,iiAX

5、iA在第 次試驗(yàn)中 出現(xiàn)在第 次試驗(yàn)中 不出現(xiàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄伯努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)伯努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與事件發(fā)生的頻率與事件A的概的概率率p有較大偏差的概率很小有較大偏差的概率很小. 伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法事件概率的方法.（理論保障）（理論保障）1limpnnPAn概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄1.5辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律11lim1niniPXn概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率

6、論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄2中心極限定理中心極限定理 在一定條件下在一定條件下,許多隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)許多隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)分布分布:“若一個(gè)隨機(jī)變量若一個(gè)隨機(jī)變量X可以看著許多微小而獨(dú)立的可以看著許多微小而獨(dú)立的隨機(jī)因素作用的總后果隨機(jī)因素作用的總后果,每一種因素的影響都很小每一種因素的影響都很小,都都有不起壓倒一切的主導(dǎo)作用有不起壓倒一切的主導(dǎo)作用,則則X一般都可以認(rèn)為近似一般都可以認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布地服從正態(tài)分布.”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄 例如對(duì)某物的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量例如對(duì)某物的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量,在測(cè)量時(shí)有許多隨在測(cè)量時(shí)有許多隨機(jī)因素影響測(cè)量的結(jié)果機(jī)因

7、素影響測(cè)量的結(jié)果.如溫度和濕度等因素對(duì)測(cè)量如溫度和濕度等因素對(duì)測(cè)量?jī)x器的影響儀器的影響,使測(cè)量產(chǎn)生誤差使測(cè)量產(chǎn)生誤差X1;測(cè)量者觀察時(shí)視線所測(cè)量者觀察時(shí)視線所產(chǎn)生的誤差產(chǎn)生的誤差X2;測(cè)量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測(cè)測(cè)量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測(cè)量誤差量誤差X3;顯然這些誤差是微小的、隨機(jī)的顯然這些誤差是微小的、隨機(jī)的,而且相而且相互沒有影響互沒有影響.測(cè)量的總誤差是上述各個(gè)因素產(chǎn)生的誤測(cè)量的總誤差是上述各個(gè)因素產(chǎn)生的誤差之和差之和,即即Xi.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄1,1,2,.nniiYXn2.1中心極限定理中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回

8、目錄*111()()()()nniinniinnniiXE XYE YYD YDX概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄11*1()()nnkknnkkkkXXXEDY2*2(12)limxntneP Yxdtx 若對(duì)于一切實(shí)數(shù)若對(duì)于一切實(shí)數(shù) x ,有有則稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列Xk服從服從中心極限定理中心極限定理.*(0,1)nYAN概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄*11111()()nnnkkknkkkknnkkkXEXXnXYnnDX2*21( )2limtxnnP Yxedtx 2.2獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論

9、與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄210190100YP21020019021020021052. 01707. 02概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄111(1),;(2)()()()()()()()(3)(0,1)()()()()(4)()()()()()()()()niiiniiiniiiXXXE XE XE XD XD XD XXE XAND XaE XXE XbE XP aXbPD XD XD XbE XaE XD XD X 構(gòu)構(gòu)建建使使得得計(jì)計(jì)算算計(jì)計(jì)算算從從而而有有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄例例 將一顆骰子連擲將一顆骰子連擲100100次，則點(diǎn)數(shù)之和不

10、少于次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500500的概率是多少？的概率是多少？解解 設(shè)設(shè)Xk為第為第k 次擲出的點(diǎn)數(shù)次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,100,則則X1,X100獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布.123544961)(,27)(61211ikXDXE由中心極限定理由中心極限定理100150035050018753iiPX 0)78. 8(110010011735875()100350,()1002123iiiiEXDX概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄2121(1)(1)2limlimntiinnnXnpZnpPPxedtnppnpp證明證明 設(shè)X1,X2,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的服從(0-1)分布(P

11、Xi=0=1-p,PXi=1=p)的隨機(jī)變量,則Yn= X1+X2+Xn由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p) (i=1,2,n),由此得2 2 1lim( )(1)2txnnZnpPxedtxnpp 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄解法解法1 設(shè)X為10000個(gè)新生兒中男孩個(gè)數(shù) 則X服從B(n,p)，其中n=10000，p=0.515 由德莫弗-拉普拉斯中心極限定理，所求概率為 5000XP)1 (5000)1 (pnpnppnpnpXP)1 (5000pnpnp00135. 03)515. 01 (515. 010000515. 0100005000概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概

12、率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄個(gè)是女孩第個(gè)是男孩第i0i1iX），（1000021i)(iXE0.5152()iD X249775. 0設(shè)X為10000個(gè)新生兒中男孩個(gè)數(shù) 則女孩不少于男孩的概率為 5000XP249775. 010000515. 0100005000249775. 010000515. 010000XP00135. 03249775. 010000515. 0100005000解法解法2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄 例例 在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得

13、1000元，問： (1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？ (2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)有90%把握不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄解解 設(shè)設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n, p), 其中其中n= 10000，p=0.6%，設(shè)設(shè)Y表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)，表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)， Y=10000 12-1000X于是于是由中心極限定理由中心極限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X60000=P1000012-aX60000=PX 60000/a 0.9;9 . 0)994. 0006. 01

14、0000006. 01000060000(a（2）設(shè)賠償金為）設(shè)賠償金為a元，則令元，則令3017 a由中心極限定理由中心極限定理,上式等價(jià)于上式等價(jià)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄第六章習(xí)題課第六章習(xí)題課大大數(shù)數(shù)定定律律中心極限定理中心極限定理契比雪夫大數(shù)定律契比雪夫大數(shù)定律獨(dú)立同分布的獨(dú)立同分布的中心極限定理中心極限定理依分布收斂依分布收斂辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律馬爾可夫大數(shù)定律馬爾可夫大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄大數(shù)定律大數(shù)定律111(im11l)nkknkknEPXnXn 1111()nknkkkEXEnXn【注

15、】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄1)(11lim11niiniinXEnXnP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄1limpnnPAn概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄11lim1niniPXn辛欽辛欽概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄1)(11lim11niiniinXEnXnP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄中心極限定理中心極限定理11*1()()nnkknnkkkkXXXEDY若若則稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列Xk服從服從中心極限定理中心極限定理.*(0,1)nYAN概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目

16、錄111(1),;(2)()()()()()()()(3)(0,1)()()()()(4)()()()()()()()()niiiniiiniiiXXXE XE XE XD XD XD XXE XAND XaE XXE XbE XP aXbPD XD XD XbE XaE XD XD X 構(gòu)構(gòu)建建使使得得計(jì)計(jì)算算計(jì)計(jì)算算從從而而有有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄解解 2()20,()15 ,1,.,100iiE XD Xi10012000iiEX10021150iiDX概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)返回目錄返回目錄設(shè)設(shè)X表示表示100個(gè)麥穗的麥粒總數(shù)，則個(gè)麥穗的麥粒總數(shù)，則由中心極限定理知由中心極限定理知10021(2000,150 )ii