1、中考二次函數(shù)壓軸題專題分類訓(xùn)練題型一：面積問題【例1】(2009湖南益陽)如圖2,拋物線頂點坐標(biāo)為點C(l,4),交x軸于點A(3,0),交y軸于點B.求拋物線和直線AB的解析式;求ACAB的鉛垂高CD及Sacar；CAB(1)2)【變式練習(xí)】1. (2009廣東省深圳市)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(一2,0),連結(jié)0A,將線段0A繞原點0順時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段0B.(1) 求點B的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過A、0、B三點的拋物線的解析式；(3) 在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使AB0C的周長最小？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由(4) 如果點P是(2)

2、中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.2. (2010綿陽)如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A(4,0)、B(2,0),與y軸交于點C,頂點為D.E(1,2)為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.(1) 求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標(biāo);(2) 在直線EF上求一點H,使ACDH的周長最小，并求出最小周長；(3) 若點K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動，當(dāng)K運(yùn)動到什么位置時，EFK的面積最大？并求出最大面積.A3. (2012銅仁)如圖，已知：直線y=一x+3交x

3、軸于點A,交y軸于點B,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C(1,0)三點.(1) 求拋物線的解析式；(2) 若點D的坐標(biāo)為(-1,0),在直線y，-x+3上有一點P,使AAB0與AADP相似,求出點P的坐標(biāo)；(3) 在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E,使AADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.題型二：構(gòu)造直角三角形【例2】(2010山東聊城)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(aMO)的對稱軸為x=l,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,3)兩點，與x軸交于另一點B.(1) 求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2) 在

4、拋物線的對稱軸x=1上求一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求此時點M的坐標(biāo)；(3) 設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=1上的一動點，求使ZPCB=90°的點P的坐標(biāo).【變式練習(xí)】1. (2012廣州)如圖，拋物線丫=與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左o4側(cè))，與y軸交于點C.(1) 求點A、B的坐標(biāo)；(2) 設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當(dāng)厶ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標(biāo)；(3) 若直線l過點E(4，0)，M為直線l上的動點，當(dāng)以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式.32. (2009成都)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋

5、物線y=a(x1)2c(a>0)與x軸交于3叮1010A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,其頂點為M,若直線MC的函數(shù)表達(dá)式為y，kx3，與x軸的交點為N,且COSZBCO=(1) 求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2) 在此拋物線上是否存在異于點C的點P,使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；(3) 過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單3. (2012杭州)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次

6、函數(shù)y=k(x2+x-1)的圖象交于點A(1，k)和點B(-1，-k).(1) 當(dāng)k=-2時，求反比例函數(shù)的解析式；(2) 要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；(3) 設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為0，當(dāng)4ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值4如圖（1）,拋物線yX2+x4與y軸交于點A,E（0,b）為y軸上一動點，過點E的直線y=x+b與拋物線交于點B、C.（1）求點A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)b=0時（如圖（2）,ABE與ACE的面積大小關(guān)系如何？當(dāng)b>-4時，上述關(guān)系還成立嗎，為什么？（3）是否存在這樣的b,使得BOC是以BC為斜邊的直角三角

7、形，若存在，求出b；若不存在，說明理由.圖（1）第26題5題型三：構(gòu)造等腰三角形【例3】如圖，已知拋物線y=ax2bx3(aMO)與x軸交于點A(1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C.(1) 求拋物線的解析式；(2) 在x軸上是否存在一點Q使得ACQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3) 設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P,使ACMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【變式練習(xí)】1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(m,m)，點B的坐標(biāo)為(n,-n)，拋物線經(jīng)過A、0

8、、B三點，連接OA、OB、AB,線段AB交y軸于點C.已知實數(shù)m、n(mVn)分別是方程x2-2x-3=0的兩根.(1) 求拋物線的解析式；(2) 若點P為線段0B上的一個動點(不與點0、B重合)，直線PC與拋物線交于D、E兩點(點D在y軸右側(cè)),連接OD、BD. 當(dāng)OPC為等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)； 求BOD面積的最大值，并寫出此時點D的坐標(biāo).72.如圖，拋物線yax2-5ax,4經(jīng)過AABC的三個頂點，已知BCx軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=BC.(1) 寫出A,B,C三點的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；(2) 探究：若點P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在APAB是等腰三

9、角形.若存在，求出所有符合條件的點P坐標(biāo)；不存在，請說明理由.yCB1A01x3.(2010黃岡)已知拋物線yax2,bx,c(a豐0)頂點為C(1，1)且過原點0過拋物線5上一點P(x,y)向直線y4作垂線，垂足為M,連FM(如圖).(1) 求字母a,b，c的值；3(2) 在直線x=1上有一點F(1,)，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標(biāo)，并證4明此時PFM為正三角形；(3) 對拋物線上任意一點P,是否總存在一點N(1,t),使PM=PN恒成立，若存在請求出t值，若不存在請說明理由.題型四：構(gòu)造相似三角形【例4】(2011臨沂)如圖，已知拋物線經(jīng)過A(-2,0),B(-3,3)及原

10、點0,頂點為C.(1) 求拋物線的解析式；(2) 若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、0、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標(biāo)；(3) P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點，過點P作PM丄x軸，垂足為M,是否存在點P,使得以P、M、A為頂點的三角形厶B0C相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理【變式練習(xí)】1. (2012天水)如圖，已知拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點.(1) 求該拋物線的解析式；(2) 在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D,使得ADCA的面積最大？若存在，求出點D的坐標(biāo)及厶DCA面積的最大值；若不存在，請說明理由.(3)

11、P是直線x=1右側(cè)的該拋物線上一動點，過P作PM丄x軸，垂足為M,是否存在P點，使得以A、P、M為頂點的三角形與0AC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.92. 如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D（0,73），且頂點C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截9得的線段AB的長為6.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P,使PA+PD最小，求出點P的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在點Q,使AQAB與厶ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.【例5】（2012蘇州）如圖，已知拋物線y=錯誤!未找到引用源。X2-錯誤!未找到引用源。（b+l）x+

12、錯誤!未找到引用源。（b是實數(shù)且b>2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C.（1）點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得四邊形PCOB的面積等于2b，且APBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q,使得QC0,AQ0A和厶QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.#變式練習(xí)】1. (2012上海寶山)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知

13、點A(2,3),線段AB垂直于y軸,垂足為B，將線段AB繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B落在點C處，直線BC與x軸的交于點D(1) 試求出點D的坐標(biāo)；(2) 試求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的表達(dá)式，并寫出其頂點E的坐標(biāo)；(3) 在(2)中所求拋物線的對稱軸上找點F，使得以點A、E、F為頂點的三角形與ACD相似.2. (2012上海楊浦區(qū))已知直線y2x+1與x軸交于點A,與y軸交于點匕將厶AOB繞點0順時針旋轉(zhuǎn)90。，使點A落在點C，點B落在點D,拋物線y=ax2+bx+c過點A、D、C,其對稱軸與直線AB交于點P,(1) 求拋物線的表達(dá)式；(2) 求ZP0C的正切值；(3) 點M在

14、x軸上，且ABM與厶APD相似，求點M的坐標(biāo)。3.(2012寧波)如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A(-1,0),B(2,0),交y軸于C(0，-2)，過A，C畫直線.(1) 求二次函數(shù)的解析式；(2) 點P在x軸正半軸上，且PA=PC,求OP的長；(3) 點M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H. 若M在y軸右側(cè)，且CHM，AOC(點C與點A對應(yīng))，求點M的坐標(biāo)； 若OM的半徑為，求點M的坐標(biāo).511題型五：構(gòu)造梯形【例6】已知，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖1所示，點A的坐標(biāo)為(4,0),點C2的坐標(biāo)為(0，-2)，直線y=-3x與邊BC相交于點

15、D.(1) 求點D的坐標(biāo)；(2) 拋物線y二ax2,bx,c經(jīng)過點A、D、0,求此拋物線的表達(dá)式；(3) 在這個拋物線上是否存在點M,使0、D、A、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【變式練習(xí)】1.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2(a+1)x與直線y=kx的一個公共點為A(4,8).(1) 求此拋物線和直線的解析式；(2) 若點P在線段0A上，過點P作y軸的平行線交(1)中拋物線于點Q,求線段PQ長度的最大值；(3) 記(1)中拋物線的頂點為M,點N在此拋物線上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點N的坐標(biāo)及梯形AOMN的面積.132

16、. (2011義烏)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(2,0)、C(0,12)兩點，且對稱軸為直線乂=4,設(shè)頂點為點P,與x軸的另一交點為點B.(1) 求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標(biāo)；(2) 如圖1,在直線y=2x上是否存在點D,使四邊形0PBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3) 如圖2,點M是線段0P上的一個動點(0、P兩點除外)，以每秒2個單位長度的速度由點P向點0運(yùn)動，過點M作直線MN/x軸，交PB于點N.將APMN沿直線MN對折，得到P1MN.在動點M的運(yùn)動過程中，設(shè)P1MN與梯形0MNB的重疊部分的面積為S,運(yùn)動時間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.八丫Ay3如

17、圖1,二次函數(shù)y，x2+px+q(p0)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C5(0,-1),ABC的面積為.4(1) 求該二次函數(shù)的關(guān)系式；(2) 過y軸上的一點M(0,m)作y軸的垂線，若該垂線與ABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；(3) 在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D,使以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.#題型六：構(gòu)造平行四邊形【例7】（2010陜西）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（1,0）,B（3,0）,C（0,1）三點。（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為頂點的四

18、邊形是平行四邊形,求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)。【變式練習(xí)】1. （2012成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)尸號工+ir（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（-3，0），與y軸交于點C.以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且aH0）經(jīng)過A，C兩點，并與x軸的正半軸交于點B.（1）求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；（3）若P是拋物線對稱軸上使ACP的周長

19、取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1（x1，y1），M2（x2,y2）兩點，試探究是否為定值，并寫出探究過程.152如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三點.(1) 求拋物線的解析式；(2) 若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為mMAB的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；(3) 若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、0為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo)./11O/、>/B3. (2011威海)如圖，拋物線y=ax2+bx+

20、c交x軸于點A(-3,0)，點B(1,0)，交y軸于點E(0，-3).點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行.直線y=-x+m過點C,交y軸于D點.(1) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2) 點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H,與拋物線交于點G,求線段HG長度的最大值；(3) 在直線l上取點M,在拋物線上取點N,使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標(biāo).#【例8】已知平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖1),一次函數(shù)y3x+3的圖像與y軸交于點A,4點M在正比例函數(shù)y3x的圖像上，且MO=MA.二次函數(shù)2y=X2+bx+c的圖像

21、經(jīng)過點A、M.(1) 求線段AM的長；(2) 求這個二次函數(shù)的解析式；(3) 如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖像上，點D在一次函數(shù)y3x+3的圖像上，且四邊形4ABCD是菱形，求點C的坐標(biāo).【變式練習(xí)】1將拋物線C：y，3x2+3沿X軸翻折，得到拋物線c,如圖1所示.1丿2(1) 請直接寫出拋物線C的表達(dá)式；2(2) 現(xiàn)將拋物線c向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M,與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N,與x軸的交點從左到右依次為D、E. 當(dāng)B、D是線段AE的三等分點時，求m的值； 在平移過程中

22、，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.1Iy17題型七：線段最值問題【例9】(2011荷澤)如圖，拋物線yx2+bx-2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點,2且A(-1,0).(1) 求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；(2) 判斷ABC的形狀，證明你的結(jié)論；(3) 點M(m,0)是x軸上的一個動點，當(dāng)MC+MD的值最小時，求m的值.【變式練習(xí)】1.(2009山東省荷澤市)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5,0)兩點.(1) 求此拋物線的解析式；(2) 若一個動點P自0

23、A的中點M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(設(shè)為點E),再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(設(shè)為點F),最后運(yùn)動到點A.求使點P運(yùn)動的總路徑最短的點E、點F的坐標(biāo)，并求出這個最短總路徑的長.#2. （2011廣東深圳）如圖13,拋物線y=ax2+bx+c（aZ0）的頂點為（1,4）,交x軸于A、B,交y軸于D,其中B點的坐標(biāo)為（3,0）（1）求拋物線的解析式（2）如圖14,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中E點的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點H,使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長最小若存在，求出這個最小值及G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）如圖15，拋物線上是否存在一點T,過點T作x的垂線，垂足為M,過點M作直線MNBD,交線段AD于點N,連接MD,使DNMsbmd,若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在,說明理由.19【能力提升】1.(2011福州)已知，如圖11,二次函數(shù)yax2+2ax-3a(a豐0)圖象的頂點為H，與x軸交于A、B兩點(B在A點右