1、第九章第五節(jié)一、選擇題1(2014長(zhǎng)春模擬)橢圓x24y21的離心率為()Aeq f(r(3),2)Beq f(3,4)Ceq f(r(2),2)Deq f(2,3)答案A解析先將x24y21化為標(biāo)準(zhǔn)方程eq f(x2,1)eq f(y2,f(1,4)1，則a1，beq f(1,2)，ceq r(a2b2)eq f(r(3),2).離心率eeq f(c,a)eq f(r(3),2).2已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,1)，離心率eeq f(1,2)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Aeq f(x2,2)y21Bx2eq f(y2,2)1Ceq f(x2,4)eq f(y2,3)1Deq f(y2,4)eq

2、f(x2,3)1答案D解析由已知，c1，eeq f(c,a)eq f(1,2)，a2，beq r(a2c2)eq r(3).橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(y2,4)eq f(x2,3)1，故選D3(文)(教材改編題)如果方程x2ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A(0,1)B(1,2)C(0,2)D(0,1答案A解析方程可化為eq f(x2,2)eq f(y2,f(2,k)1，焦點(diǎn)在y軸上，則有eq f(2,k)2，即k0，0k1.(理)設(shè)0eq f(1,sin)0，故選C4中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是()Aeq f

3、(x2,81)eq f(y2,72)1Beq f(x2,81)eq f(y2,9)1Ceq f(x2,81)eq f(y2,45)1Deq f(x2,81)eq f(y2,36)1答案A解析依題意知：2a18，a9,2ceq f(1,3)2a，c3，b2a2c281972，橢圓方程為eq f(x2,81)eq f(y2,72)1.5設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線(xiàn)xeq f(3a,2)上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()Aeq f(1,2)Beq f(2,3)Ceq f(3,4)Deq f(4,5)答

4、案C解析設(shè)直線(xiàn)xeq f(3a,2)與x軸交于點(diǎn)M，則PF2M60，在RtPF2M中，PF2F1F22c，F(xiàn)2Meq f(3a,2)c，故cos60eq f(F2M,PF2)eq f(f(3,2)ac,2c)eq f(1,2)，解得eq f(c,a)eq f(3,4)，故離心率eeq f(3,4).6(2014全國(guó)大綱高考)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為eq f(r(3),3)，過(guò)F2的直線(xiàn)l交C于A、B兩點(diǎn)，若AF1B的周長(zhǎng)為4eq r(3)，則C的方程為()Aeq f(x2,3)eq f(y2,2)1Beq f(x2,

5、3)y21Ceq f(x2,12)eq f(y2,8)1Deq f(x2,12)eq f(y2,4)1答案A解析本題考查了橢圓的定義，離心率的計(jì)算，根據(jù)條件可知eq f(c,a)eq f(r(3),3)，且4a4eq r(3)，得aeq r(3)，所以c1，b22，故C的方程為eq f(x2,3)eq f(y2,2)1.二、填空題7若橢圓eq f(x2,2)eq f(y2,m)1的離心率為eq f(1,2)，則實(shí)數(shù)m_.答案eq f(3,2)或eq f(8,3)解析e2eq f(c2,a2)1eq f(b2,a2)，則1eq f(m,2)eq f(1,4)或1eq f(2,m)eq f(1,4

6、)，解得meq f(3,2)或meq f(8,3).8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq f(r(2),2).過(guò)F1的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_(kāi)答案eq f(x2,16)eq f(y2,8)1解析本題主要考查橢圓的定義及幾何性質(zhì)依題意：4a16，即a4，又eeq f(c,a)eq f(r(2),2)，c2eq r(2)，b28.橢圓C的方程為eq f(x2,16)eq f(y2,8)1.9已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,16)1上，若A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，|eq o(AM,su

7、p6()|1，且eq o(PM,sup6()eq o(AM,sup6()0，則|eq o(PM,sup6()|的最小值是_答案eq r(3)解析eq o(PM,sup6()eq o(AM,sup6()0，eq o(AM,sup6()eq o(PM,sup6().|eq o(PM,sup6()|2|eq o(AP,sup6()|2|eq o(AM,sup6()|2|eq o(AP,sup6()|21.橢圓右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)A的距離最小，故|eq o(AP,sup6()|min2，|eq o(PM,sup6()|mineq r(3).三、解答題10已知橢圓C1：eq f(x2,4)y21，橢圓C2以C

8、1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，eq o(OB,sup6()2eq o(OA,sup6()，求直線(xiàn)AB的方程解析由已知可設(shè)橢圓C2的方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,4)1(a2)，其離心率為eq f(r(3),2)，故eq f(r(a24),a)eq f(r(3),2)，則a4，故橢圓C2的方程為eq f(y2,16)eq f(x2,4)1.(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xA，yA)，(xB，yB)，由eq o(OB,sup6()2eq o(OA,sup6()及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)A，

9、B不在y軸上，因此可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為ykx.將ykx代入eq f(x2,4)y21中，得(14k2)x24，所以xeq oal(2,A)eq f(4,14k2)，由eq o(OB,sup6()2eq o(OA,sup6()，得xeq oal(2,B)eq f(16,14k2)，yeq oal(2,B)eq f(16k2,14k2)，將xeq oal(2,B)，yeq oal(2,B)代入eq f(y2,16)eq f(x2,4)1中，得eq f(4k2,14k2)1，即4k214k2，解得k1.故直線(xiàn)AB的方程為yx或yx.一、選擇題1已知以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線(xiàn)x

10、eq r(3)y40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A3eq r(2)B2eq r(6)C2eq r(7)D4eq r(2)答案C解析設(shè)橢圓方程為mx2ny21(0mb0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線(xiàn)，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是()Aeq f(r(2),4)Beq f(1,2)Ceq f(r(2),2)Deq f(r(3),2)答案C解析本題考查了橢圓離心率的求法根據(jù)eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1可得F1(c,0)，P(c，eq f(b2,a)，故OP與AB的斜率分別是kOPeq f(

11、b2,ac)，kABeq f(b,a)，根據(jù)OPAB得eq f(b2,ac)eq f(b,a)，即bC由于a2b2c2，即a22c2，故eeq f(c,a)eq f(r(2),2).二、填空題3(2014安徽高考)若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2eq f(y2,b2)1(0bb0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作x軸的垂線(xiàn)與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_答案eq f(r(3),3)解析本題是橢圓綜合性質(zhì)的考查，ABx軸，不妨設(shè)A(c，eq f(b2,a)，B(c，eq f(b2,a)，又D是F1B與y軸的交點(diǎn)，可求得D(0，eq f(b2,2a)

12、且為BF1的中點(diǎn)ADF1B，F(xiàn)1AB為等腰三角形，|AF1|AB|2eq f(b2,a)，|AF1|AF2|2eq f(b2,a)eq f(b2,a)3eq f(b2,a)，由橢圓定義得3eq f(b2,a)2a，eq f(b2,a2)eq f(2,3)，eq f(c2,a2)eq f(1,3)，eeq f(r(3),3).(理)(2014江西高考)過(guò)點(diǎn)M(1,1)作斜率為eq f(1,2)的直線(xiàn)與橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_(kāi)答案eq f(r(2),2)解析由題意可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2

13、)，則可得eq blcrc (avs4alco1(f(xoal(2,1),a2)f(yoal(2,1),b2)1ab0，,f(xoal(2,2),a2)f(yoal(2,2),b2)1ab0. )，并整理得eq f(x1x2,a2y1y2)eq f(y1y2,b2x1x2).(*)M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線(xiàn)斜率為eq f(1,2)，x1x22，y1y22，keq f(y1y2,x1x2)eq f(1,2).(*)式可化為eq f(1,a2)eq f(1,2b2)，即a22b22(a2c2)，整理得a22c2，即eq f(c2,a2)eq f(1,2).eeq f(c,a)eq

14、 f(r(2),2).三、解答題5設(shè)橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)過(guò)點(diǎn)(0,4)，離心率為eq f(3,5).(1)求C的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為eq f(4,5)的直線(xiàn)被C所截線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)解析(1)將(0,4)代入C的方程得eq f(16,b2)1，b4，又eeq f(c,a)eq f(3,5)得eq f(a2b2,a2)eq f(9,25)，即1eq f(16,a2)eq f(9,25)，a5，C的方程為eq f(x2,25)eq f(y2,16)1.(2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為eq f(4,5)的直線(xiàn)方程為yeq f(4,5)(x3)設(shè)直線(xiàn)

15、與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線(xiàn)方程yeq f(4,5)(x3)代入C的方程，得eq f(x2,25)eq f(x32,25)1，即x23x80，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)eq xto(x)eq f(x1x2,2)eq f(3,2)，eq xto(y)eq f(y1y2,2)eq f(2,5)(x1x26)eq f(6,5)，即中點(diǎn)為(eq f(2,3)，eq f(6,5)6(文)(2014天津高考)設(shè)橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B已知|AB|eq f(r(3),2)|F1F2|.(1)求橢圓的離心率；

16、(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線(xiàn)段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)l與該圓相切與點(diǎn)M，|MF2|2eq r(2).求橢圓的方程解析(1)如圖所示，由橢圓的幾何性質(zhì)|AB|eq r(a2b2)，而|AB|eq f(r(3),2)|F1F2|，a2b2eq f(3,4)4c23c2.又b2a2c2，2a24c2，即e2eq f(1,2)，eeq f(r(2),2).(2)由(1)設(shè)橢圓方程eq f(x2,2c2)eq f(y2,c2)1.設(shè)P(x1，y1)，B(0，c)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P是異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，x10，y10.以PB為直徑的圓過(guò)F1，即PF1BF1，eq

17、 f(y1,x1c)eq f(c,c)1，y1(x1c)設(shè)PB中點(diǎn)D(eq f(x1,2)，eq f(y1c,2)，即D為(eq f(x1,2)，eq f(x1,2)由題意得|DF2|2|DM|2|MF2|2，|DM|DB|r，|DF2|2(eq f(x1,2)c)2eq f(xoal(2,1),4)，|MF2|28，|DM|2eq f(xoal(2,1),4)(ceq f(x1,2)2，即(eq f(x1,2)c)2eq f(xoal(2,1),4)8eq f(xoal(2,1),4)(ceq f(x1,2)2.整理得cx14又P(x1，(x1c)在橢圓上，xeq oal(2,1)2(x1c

18、)22c2整理得3xeq oal(2,1)4cx10 x10，eq blcrc (avs4alco1(3x14c0,cx14)，解之得c23，所求橢圓方程為eq f(x2,6)eq f(y2,3)1.(理)(2014天津高考)設(shè)橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B已知|AB|eq f(r(3),2)|F1F2|.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線(xiàn)段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與該圓相切，求直線(xiàn)l的斜率解析(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0)，由|AB|eq f(r(3),2)|F1F2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，則eq f(c2,a2)eq f(1,2).