1、 #拓撲優(yōu)化的 # #99行程序?qū)W習報告4月19日2011 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計課程學(xué)習報告任課教師：李書在最近的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計課程上學(xué)習了O.Sigmund的A99linetopologyoptimizationcodewritteninMatlab一文，對拓撲優(yōu)化的理論原理與實際的計算機程序?qū)崿F(xiàn)都有了一定的理解，文章主要是通過拓撲優(yōu)化的原理來實現(xiàn)對簡單結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)問題的優(yōu)化求解，而編寫的代碼僅有99行，包括36行的主程序，12行的OC優(yōu)化準則代碼，16行的網(wǎng)格過濾代碼和35行的有限元分析代碼。自1988年丹麥學(xué)者Bendsoe與美國學(xué)者Kikuchi提出基于均勻化方法的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計基本理論以來,

2、均勻化方法應(yīng)用到具有周期性結(jié)構(gòu)的材料分析中,近幾年該方法已經(jīng)成為分析夾雜、纖維增強復(fù)合材料、混凝土材料等效模量,以及材料的細觀結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化常用的手段之一。其基本思想是在組成拓撲結(jié)構(gòu)的材料中引入微結(jié)構(gòu)，優(yōu)化過程中以微結(jié)構(gòu)的幾何尺寸作為設(shè)計變量，以微結(jié)構(gòu)的消長實現(xiàn)其增刪，并產(chǎn)生介于由中間尺寸微結(jié)構(gòu)組成的復(fù)合材料，從而實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型與尺寸優(yōu)化模型的統(tǒng)一。文章就是通過均勻化的基礎(chǔ)，結(jié)合拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化的工程實際，以計算機模擬的方法將拓撲優(yōu)化的一般過程呈現(xiàn)出來，有助于初涉拓撲優(yōu)化的讀者對拓撲優(yōu)化有個基礎(chǔ)的認識。拓撲優(yōu)化問題描述為了簡化問題的描述，文中假設(shè)設(shè)計域是簡單的矩形形式，且在進行有限元離散的時

3、候采用正方形單元對其進行離散。這樣不僅便于進行單元離散和單元編號，也利于對結(jié)構(gòu)進行幾何外形的描述。一般說來，基于指數(shù)逼近法的拓撲優(yōu)化最小化的問題可作如下描述：min:c(X)=UtKU=迓X(x)puTkuee0ee1subjectto:V(X)0KUF0Xminx1文中采用的對結(jié)構(gòu)材料屬性的描述是所謂的“指數(shù)逼近法”或者稱為SIMP逼近法，即（SolidIsotropicMaterialwithPenalization帶懲罰因子的各項同性材料模型法），該方法是拓撲優(yōu)化中常用的變密度材料插值模型中最具代表性的一種?；赟IMP格式的材料插值模型為E(P)=pEmax其中P表示材料的相對密度(0

4、Wp1),p代表懲罰因子，共同描述材料的力學(xué)屬性。SIMP材料插值模型中，隨著懲罰因子p取值的增大，對中間密度的懲罰程度越大，單元等效彈性模量逼近0或者Emax的趨勢也更明顯。三、Matlab代碼實現(xiàn)99行程序代碼主要包括：主程序，0C優(yōu)化準則代碼，網(wǎng)格過濾代碼，有限元分析代碼等5個部分，而主函數(shù)的調(diào)用方式為top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin)，共有5個輸入?yún)?shù)，分別是：nelx，x方向(水平方向)單元劃分數(shù)；nely,y方向(垂直方向)上的單元劃分數(shù)；volfrac，結(jié)構(gòu)體積保留分數(shù)；penal,是懲罰因子，即指數(shù)逼近模型中的指數(shù)因子，用于對材料屬性按照指數(shù)模型

5、進行逼近描述；rmin是網(wǎng)格過濾半徑。通過在調(diào)用主函數(shù)時改變上述5個輸入?yún)?shù)，以及修改程序中的外載荷矩陣F和邊界約束條件fixeddofs矩陣等代碼段語句可以建立不同的輸入模型，求解不同約束條件，不同外載荷下的拓撲優(yōu)化解。程序流程：設(shè)計域的離散化主循環(huán)，通過調(diào)用有限元分析子程序(FineteElementsubroutine)，返回位移列陣U循環(huán)遍歷所有單元，對離散的單元逐一進行單元節(jié)點編號；定義出目標函數(shù)c和目標函數(shù)的變化率dc。上一步計算得到的目標函數(shù)變化率dc作為輸入?yún)?shù)之一，調(diào)用網(wǎng)格過濾子程序check，得到輸出dc(new)；上一步計算得到的dc(new)作為輸入?yún)?shù)之一，調(diào)用OC優(yōu)

6、化準則子程序0C，得到輸出xnew；輸出結(jié)果；對結(jié)果進行可視化； H.當xnew和xold之間達到要求的精度后，停止循環(huán)，結(jié)束迭代；否則轉(zhuǎn)到B繼續(xù)循環(huán)。 程序流程示意圖四、算例及結(jié)果分析這一部分主要通過若干簡單的算例來研究各個輸入?yún)?shù)、載荷施加方式以及邊界約束條件對拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響，進而對拓撲優(yōu)化問題加深理解和認識。受力模型如上圖所示，帶雙孔的懸臂梁，在右下端點處受垂直向下的單位載荷。長寬比為6:2,兩孔圓心的位置分別為(L/4,W/2)，(3L/4,W/2)處。A.nelx和nely對結(jié)果的影響:nelx*nely=60*20nelx*nely=72*24nelx*nely=120*40單

7、元劃分數(shù)對結(jié)果的影響由以上結(jié)果可以大致看出，隨著單元數(shù)的增加，用于分割材料的最小單元尺寸減小，拓撲優(yōu)化后的圖形顯示上鋸齒現(xiàn)象有所緩解，局部細節(jié)更加清晰；拓撲結(jié)構(gòu)也有一定程度的改變，但總的說來還是有一致的趨勢。從理論上說，拓撲優(yōu)化過程中，在進行有限元離散時，進行離散的單元數(shù)越多，越接近于材料真實的無窮自由度情況，得到的有限元解（單元位移）越接近于真實水平，設(shè)計變量的增加可以對結(jié)構(gòu)邊界進行更精細尺度的描述，使拓撲結(jié)果中出現(xiàn)更多的細小分支結(jié)構(gòu)，因此進行描述材料屬性的參數(shù)也就越真實，在其他輸入?yún)?shù)不變的情況下，優(yōu)化結(jié)果越優(yōu)。但另一方面，過于密集的網(wǎng)格劃分容易造成拓撲優(yōu)化結(jié)果中過多的分支結(jié)構(gòu)，現(xiàn)過多的孔

8、洞，使得結(jié)構(gòu)的幾何復(fù)雜性增加，結(jié)構(gòu)制造成本提高，降低了結(jié)構(gòu)局部剛度和強度。而拓撲結(jié)果形式上的變化我認為是在單元數(shù)較少時，描述整體材料屬性時的精度不足（一個單元所描述的區(qū)域較大，不夠真實的反應(yīng)該區(qū)域的力學(xué)特性變化）引起的誤差，不得不在某些位置將剛度改變，從而改變了整體結(jié)構(gòu)的剛度，使的整體的傳力路線呈現(xiàn)一定程度上的差異，但是傳力路線的趨勢仍大致相同。以上結(jié)果也是拓撲優(yōu)化的網(wǎng)格依賴性的一種體現(xiàn)。B.材料體積保留分數(shù)volfrac的影響:volfrac=0.4volfracvolfrac=0.5=0.6volfrac=0.7volfrac=0.8由以上的優(yōu)化結(jié)果可以看出，隨著體積保留分數(shù)volfrac

9、的增大，優(yōu)化結(jié)果中保留的材料也逐漸增多。這很容易理解，體積保留分數(shù)的增大，意味著保留的材料也增多，在基本的傳力路線的基礎(chǔ)上增加了一些額外的材料。另一方面，過小的volfrac取值，可能造成改變結(jié)構(gòu)傳力的路線，或者迭代多次而收斂速度卻較慢。volfrac對優(yōu)化結(jié)果的影響從程序中也可以體現(xiàn)：volfrac在程序中主要作為OC優(yōu)化準則中利用二分算法搜索拉格朗日乘子入的判定準則。C.懲罰因子P對結(jié)果的影響:p=2.5P=3.0由優(yōu)化結(jié)果可以看到：隨著懲罰因子取值的增大，呈現(xiàn)出的拓撲結(jié)果呈現(xiàn)日趨清晰的趨勢，這是因為在SIMP材料插值模型中，參數(shù)p較小時，對中間密度的懲罰程度較小，或者說懲罰效果不夠明顯，

10、因此呈現(xiàn)的結(jié)果會有模糊的灰色區(qū)域；隨著參數(shù)p取值增大，對中間密度的懲罰程度也越大，單元等效彈性模量逼近0或者Emax的趨勢也更明顯，因此，優(yōu)化結(jié)果也愈加清晰。另一方面，取值越大,迭代次數(shù)也越多，計算量增大，甚至無解（例如，在該算例中，取p=4.5時,主循環(huán)的循環(huán)中止條件change值=0.200長時間無變化，目標函數(shù)的變化也很小,也呈現(xiàn)震蕩趨勢，可能是解收斂太慢的原因）?？偟恼f來，各個取值情況下的優(yōu)化結(jié)構(gòu)大致相似。因此，在實際的拓撲優(yōu)化中，要注意選擇適宜的懲罰因子，達到平衡迭代時拓撲優(yōu)化的99行程序?qū)W寫報告余艷輝SY1005525r=3.0 拓撲優(yōu)化的99行程序?qū)W寫報告余艷輝SY1005525

11、r=3.0 #間和較優(yōu)的優(yōu)化效果。D.過濾半徑rmin對拓撲結(jié)果的影響r=1.0r=1.5r=2.0拓撲優(yōu)化的99行程序?qū)W寫報告余艷輝SY1005525 文章中提到過：網(wǎng)格過濾半徑rmin的選取如果小于1的話，被過濾的目標函數(shù)變化率將會和原始的變化率相等，使得過濾無效。在結(jié)果上表現(xiàn)出來的是棋盤格現(xiàn)象，這在工程上不可能實現(xiàn)的，對工程實踐沒有意義。從上面的優(yōu)化結(jié)果分析，隨著rmin取值的增大，過濾效果隨著其增大而增強，在局部出現(xiàn)模糊的灰色區(qū)域。在實際的操作中，要綜合考慮結(jié)果的精度要求以及計算時間等各方面因素，綜合考量，選取適宜的網(wǎng)格過濾半徑，這樣才能夠得到既滿足設(shè)計優(yōu)化要求，計算量又不會太大的優(yōu)化

12、結(jié)果。邊界約束條件和加載方式對拓撲結(jié)果的影響1）懸臂梁上端受均布載荷拓撲優(yōu)化的99行程序?qū)W寫報告余艷輝SY1005525 2）雙工況情況:F2-13）左右兩側(cè)懸臂，上端受均布載荷的情況:從上面的結(jié)果可以看出，隨著邊界約束條件和加載方式的變化，拓撲優(yōu)化結(jié)果發(fā)生明顯變化,這是因為外部約束方式和加載方式的變化引起結(jié)構(gòu)內(nèi)部傳力路線的變化。工程實際應(yīng)用電動機軸承支承座的優(yōu)化處理問題問題簡要描述：電動機軸承支座部分受力問題，孔的圓心在矩形上水平邊的中點處，承載方式簡化為對其有點接觸的集中力，垂直向下，約束方式為簡支。試求在該帶孔的矩形板上的拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)。利用程序?qū)⒘W(xué)模型修改完畢后，運行程序得到優(yōu)化結(jié)果如

13、上右圖所示，得到的大致輪廓與實際中的電動機軸承支座形狀基本一致。五、結(jié)論及心得研究分析了程序輸入?yún)?shù)nelx,nely,volfrac,p,rmin對優(yōu)化結(jié)果的影響，通過改變加載矩陣F和邊界約束條件,實現(xiàn)了對不同加載方式和不同邊界約束下的簡單結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的優(yōu)化。結(jié)果看到，輸入?yún)?shù)的變化對優(yōu)化結(jié)果影響顯著，但是不同的輸入?yún)?shù)變化對結(jié)果影響也不同。在實際的應(yīng)用中應(yīng)綜合考慮，選取適宜的優(yōu)化參數(shù)。通過對A99linetopologyoptimizationcodewritteninMatlab一文的學(xué)習，對拓撲優(yōu)化的理論原理以及實際的計算機方法實現(xiàn)都有了一定的認識，了解了拓撲優(yōu)化的一般步驟，拓撲優(yōu)化問題中的理論基礎(chǔ)等。通過對99行程序的學(xué)習，結(jié)合實際的上機操作，得到了一些簡單的結(jié)構(gòu)問題的拓撲優(yōu)化求解結(jié)果，并且分析對比了該程序主要輸入?yún)?shù)的變化對拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響；另一方面，由于文章僅是用于教學(xué)目的，為了處理問題的簡便，在計