1、等比數(shù)列學案第4課時等比數(shù)列的綜合應用知能目標解讀進一步鞏固等比數(shù)列的通項公式、性質及前n項和公式.掌握數(shù)列求和的常用方法錯位相減法重點難點點撥重點：錯位相減法求和的理解及等比數(shù)列性質的應用.難點：錯位相減法求和的應用.學習方法指導如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d;數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q,求數(shù)列anbn的前n項和，可以運用錯位相減法.方法如下：設Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn,當q=1時，bn是常數(shù)列，Sn=b1=;當q工1時，則qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+qanbn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1,所以Sn-qSn=Sn=a1b1+b2+b

2、3+bn?-anbn+仁a1b1+d?-anbn+1,所以Sn=.知能自主梳理在等比數(shù)列的前n項和公式Sn=中,如果令A=那么Sn=.若Sn表示數(shù)列an的前n項和，且Sn=Aqn-A,則數(shù)列an是在等比數(shù)列an中，Sn為其前n項和.當q=-1且為偶數(shù)時，S,S2-S,S3-S2;當qz-1或為奇數(shù)時，數(shù)列S,S2-S,S3-S2.答案1.Aqn-A等比數(shù)列不是等比數(shù)列是等比數(shù)列思路方法技巧命題方向等比數(shù)列性質的應用例1等比數(shù)列an,已知a仁5,a9a10=100,求a18;在等比數(shù)列bn中，b4=3,求該數(shù)列前七項之積；在等比數(shù)列an中，a2=-2,a5=54,求a8.分析由等比數(shù)列的性質可知

3、：與首末兩項等距離的兩項積等于首末兩項的積，與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方.解析Ta1a18=a9a10,a18=20.b1b2b3b4b5b6b7=b4.b24=b1b7=b2b6=b3b5,前七項之積為3X3=37=2187.解法一：a8=a5q3=a5?=54X=-1458.解法二：a5是a2與a8的等比中項，542=a8X.a8二1458.說明本題的求解，主要應用了等比數(shù)列的性質，若,n,lN+且+n=+l,則a?an=a?al.由此可見，在等比數(shù)列問題中，合理應用性質，可使解法簡捷.變式應用1已知an是等比數(shù)列，且a1a10=243,a4+a7=84,求all.解析Ta4

4、?a7=a1?a10,a4a7=243,a4=81a4=3又a4+a7=84,或a7=3a7=814=或q=3.a11=3q4=3X4=或al仁81X34=6561.命題方向與前n項和有關的等比數(shù)列的性質問題例2各項都是正實數(shù)的等比數(shù)列an，前n項的和記為Sn,若S10=10,S30=70,貝US40等于A.150B.-200C.150或-200D.400或-50答案A分析本題思路較為廣泛，可以運用等比數(shù)列前n項和公式列方程，確定基本量a1,q后求解，也可以應用等比數(shù)列前n項和的性質求解.解析解法一：設首項為a1,公比為q,由題意知q工土1.=10由，=70由以上兩式相除得q20+q10-6=

5、0,解得q10=2或q10=-3,代入有=-10,S40=-10X=150.解法二：易知q工土1,由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比為q10的等比數(shù)列，則S30=S10+=S10+q10S10+q20S10即q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3,S40=S10+=10=150.解法三：運用性質S+n=S+qSn求解，S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10從而有q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3.S40=S30+q30S10=70+8X10=150.解法四：易知q工土1,=,q20+q10-6=0,解得q10

6、=2或q10=-3.又=，所以S40=150.說明在與等比數(shù)列的和有關的問題中，合理應用和的性質，可以簡化運算，本題的解法二運用了當qz-1時，數(shù)列S,S2-S,S3-S2,仍成等比數(shù)列，公比為q,解法三運用了等比數(shù)列的性質：S+n=S+qSn解法四運用了等比數(shù)列的性質：當qz1時，=.變式應用2等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S5=10,S10=20,則S15等于.答案30解析Tan為等比數(shù)列，S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列，=S5,即100=10,解得S15=30.探索延拓創(chuàng)新命題方向錯位相減法求數(shù)列的和例3求數(shù)列1,3a,5a2,7a3,an-1的前n項和.分析由題設可知數(shù)

7、列的通項公式為an=?an-1,數(shù)列的每一項可分成兩個因式，前一個因式可構成等差數(shù)列，后一個因式可構成等比數(shù)列，故可選用錯位相減法求和.解析當a=1時，Sn=1+3+5+=n2.當az1時，有Sn=1+3a+5a2+7a3+?an-1，aSn=a+3a2+5a2+7a4+an，-得，Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-an=1+-an,Sn=+.說明一般來說，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d;數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q,則求數(shù)列anbn的前n項和就可以運用錯位相減法.變式應用3求數(shù)列n?2n的前n項和Sn.解析TSn=1?21+2?22+3?23+n?2nSn=1?22+2?

8、23+?2n+n?2n+1-得-Sn=2+22+23+2n-n?2n+1=-n?2n+1=2n+1-2-n?2n+1,-Sn=2n+1+2.名師辨誤做答例4若數(shù)列an的前n項和為Sn=an-1，貝擻列an是A.等比數(shù)列B.等差數(shù)列c.可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列D.可能是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列誤解A由Sn=an-1，得an=an-1，則有=a-1，故選A.辨析錯誤的原因在于：當a=1時，an=0,an是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列，這是沒有理解等比數(shù)列中an工0而造成的.正解c由Sn=an-1,得an=an-1.當a=1時，an=0,數(shù)列an為等差數(shù)列；當az1時，=a-1,則數(shù)列an為

9、等比數(shù)列，故選c.課堂鞏固訓練一、選擇題若等比數(shù)列an滿足anan+1=16n，則公比為A.2B.4C.8D.16答案B解析本題考查了靈活利用數(shù)列的特點來解題的能力./an?an+1=16n,an-1?an=16n-1=q2=16q=4.在各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5-a4=576,a2-a仁9,則a1+a2+a3+a4+a5的值是A.1061B.1023C.1024D.268答案B解析由題意得a4=576,a1=9,=q3=64,q=4,a1=3,a1+a2+a3+a4+a5=1023.在等比數(shù)列an中，a1=1,公比|q|工1,若a=a1a2a3a4a5，則=A.9B.10C.11D.1

10、2答案c解析Ta1=1,a=a1a2a3a4a5=a51q10=q10,又a=a1q-1=q-1,q-仁q10,-1=10,=11.二、填空題若等比數(shù)列an的前n項和Sn=2n+1+r,則r的值為.答案-2解析解法一：a1=S1=4+r,a2=S2-S1=8+r-4-r=4,a3=S3-S2=16+r-8-r=8,又an為等比數(shù)列，-a22=a1a3,16=8,r=-2.解法二：Sn=2n+1+r=2?2n+r,數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn=A?qn-A=2?2n+r,r=-2.設等比數(shù)列an的公比為q,前n項和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為.答案-2解析Sn+1,Sn,

11、Sn+2成等差數(shù)列，-2Sn=Sn+1+Sn+2+=0,an+1+an+1+an+2=0,2an+1=-an+2,=-2,q=-2.三、解答題設an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2,a3=a2+4.求an的通項公式；設bn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列an+bn的前n項和Sn.分析問設出公比q,由已知建立有關q的方程，求出公比q,寫出通項公式.甲分組求和，先求an的和，再求bn的和，然后相加得A.3B.4C.5D. Sn.解析設等比數(shù)列an的公比為q,由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1q=2an=a1?qn-1=2?2n-1=2n數(shù)列b

12、n=1+2=2n-1Sn=+nX1+x2=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.點評此題考查等差、等比數(shù)列的通項公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比數(shù)列的公比為正數(shù)，此題屬基礎保分題.課后強化作業(yè)一、選擇題已知等比數(shù)列an中，an=2x3n-1,則由此數(shù)列的偶數(shù)項所組成的新數(shù)列的前n項和為A.3n-1B.3c.D.答案D解析a2=6,q=9,Sn=.設Sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,則公比q=答案BA. B.8C.9D.10解析T3S3=a4-2,3S2=a3-2,-3S3-3S2=a4-a3,-3a3=a4-a3,4a3=a4,=4,q=

13、4.等比數(shù)列an的前n項和Sn=?2n-1+a，則a的值為A.-B.-C.D.答案B解析TSn=?2n-1+a=?2n+a,又ISn=Aqn-A,-a=-.等比數(shù)列an的公比為，且S3=1,則S6等于A.B.c.D.答案B解析Iq=,S3=2a仁a1=1,a1=.S6=.數(shù)列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,，1+2+22+2n-1的前n項和Sn1020,那么n的最小值是答案D解析因為1+2+22+2n-仁=2n-1,所以Sn=21-1+22-1+2n-仁2n+1-n-21020,所以n的最小值為10.已知等比數(shù)列an中，公比q=,且a1+a3+a5+a99=60,則a1+a2+a

14、3+a100=A.100B.90C.120D.30答案B解析Ia2+a4+a6+a100=a1q+a3q+a5q+a99q=q=X60=30a1+a2+a3+a100=+=60+30=90.已知2a=3,2b=6,2c=12,則a,b,cA.成等差數(shù)列不成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列不成等差數(shù)列c.既成等并數(shù)列又.成等比數(shù)列D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列答案A解析解法一：由已知得a=log23,b=log26=log23+log22,c=log212=log23+2log22.b-a=c-b.解法二：2a?2c=36=2,a+c=2b,故選A.數(shù)列an的前n項和為Sn,若a仁1,an+1=3Sn,

15、貝Ua6=A.3X44B.3X44+1C.45D.45+1答案A解析該題考查已知一個數(shù)列的前n項和Sn與an+1的關系，求通項公式an.注意的問題是用an=Sn-Sn-1時的條件.an+1=3Snan=3Sn-1-得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an即an+1=4an=4.當n=2時，a2=3a仁3,=3工=4an為從第2項起的等比數(shù)列，且公比q=4,a6=a2?q4=3?44.二、填空題等比數(shù)列an的前n項和為Sn=3n+1+,則a1=.答案6解析a1=S1=9+,a2=S2-S1=27+-9-=18,a3=S3-S2=81+-27-=54,又an為等比數(shù)列，a22=a1a3,182

16、=54,解得=-3.a1=9+=6.0.實數(shù)，1,成等差數(shù)列，實數(shù)a2,1,c2成等比數(shù)列，則=.答案1或-+=2ac=1ac=-1解析由條件，得或，a2c2=1a+c=2a+c=-2=1或-.1.已知an是公比為q的等比數(shù)列，an0,=a5+a6,=a4+a7,則與的大小關系是.答案解析-=-=a4-a6=?a4?=-a420.設數(shù)列an的前n項和為Sn,關于數(shù)列an有下列三個命題：若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an=an+1;若Sn=an2+bn,則an是等差數(shù)列；若Sn=1-n，則an是等比數(shù)列.這些命題中，正確命題的序號是.答案解析對于命題，易知它是各項不為零的常數(shù)數(shù)列，有an=a

17、n+1.對于命題，由Sn=an2+bn得an=b+a+?2a,當n=1時，也適合上式.an為等差數(shù)列對于命題，由Sn=1-n得an=2?n-1，當n=1時也適合上式.故an為等比數(shù)列.三、解答題3.已知等比數(shù)列an中，a1=,公比q=.Sn為an的前n項和，證明：Sn=；設bn=log3a1+log3a2+Iog3an,求數(shù)列bn的通項公式.分析問先利用等比數(shù)列定義及前n項和公式求出an,Sn,再證明Sn=,第二問將問題轉化為等差數(shù)列求和解析因為an=xn-1=,Sn=,所以Sn=.bn=log3a1+log3a2+Iog3an所以bn的通項公式為bn=-.點評本題考查了數(shù)列的通項，前n項和等基礎知識，體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想.已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1求證bn是等比數(shù)列；求an的通項公式.解析Tan+1=2an+1an+1+1=2，即bn+1=2bnb仁a1+1=2工0.bnz0,.=2,.bn是等比數(shù)列.由知bn是首項b1=2公比為2的等比數(shù)列，.bn=2x2n-1=2n，即an+1=2n.an=2n-1.一個等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù).解析設