1、8.4 主應(yīng)力法主應(yīng)力法作為求塑性加工問題近似解的一種方法，在工程上得到了廣泛的應(yīng)用。該方法是以均勻變形假設(shè)為前提，將偏微分應(yīng)力平衡方程簡(jiǎn)化為常微分應(yīng)力平衡方程，將米塞斯屈服準(zhǔn)則的二次方程簡(jiǎn)化為線性方程，最后歸結(jié)為求解一階常微分應(yīng)力平衡方程問題，從而獲得工程上所需要的解。主應(yīng)力法的數(shù)學(xué)運(yùn)算是比較簡(jiǎn)單的，由此可以確定材料特性、變形體幾何尺寸、摩擦系數(shù)等工藝參數(shù)對(duì)變形力、變形功的影響；可確定可能的最大變形量、最小可軋厚度、鐓粗或軋制時(shí)的中性面位置等。但是，由于上述基本假設(shè)的限制，采用主應(yīng)力法無法分析變形體內(nèi)的應(yīng)力分布。主應(yīng)力法又稱切塊法、初等解析法、力平衡法等。 8.4.1主應(yīng)力法的基本原理（1）

2、將問題簡(jiǎn)化成平面問題或軸對(duì)稱問題，假設(shè)變形是均勻的。在平面應(yīng)變條件下，變形前的平截面在變形后仍為平截面，且與原截面平行；在軸對(duì)稱變形條件下，變形前的圓柱面在變形后仍為圓柱面，且與原圓柱面同軸。對(duì)于形狀復(fù)雜的變形體，可以根據(jù)變形體流動(dòng)規(guī)律，將其劃分成若干部分，對(duì)每一部分分別按平面問題或軸對(duì)稱問題進(jìn)行處理，最后“拼合”在一起，即可得到整個(gè)問題的解。（2）根據(jù)變形體的塑性流動(dòng)規(guī)律切取單元體，單元體包含接觸表面在內(nèi)，因此，通常所切取的單元體高度等于變形區(qū)的高度，將剖切面上的正應(yīng)力假設(shè)為均勻分布的主應(yīng)力，因此，正應(yīng)力的分布只隨單一坐標(biāo)變化，由此將偏微分應(yīng)力平衡方程簡(jiǎn)化為常微分應(yīng)力平衡方程。（3）在應(yīng)用米

3、塞斯屈服準(zhǔn)則時(shí)，忽略切應(yīng)力和摩擦切應(yīng)力的影響，將米塞斯屈服準(zhǔn)則二次方程簡(jiǎn)化為線性方程。即在主應(yīng)力法中所采用的屈服準(zhǔn)則為:對(duì)于平面應(yīng)變問題，習(xí)慣用剪切屈服強(qiáng)度k表示，即對(duì)于軸對(duì)稱問題，習(xí)慣用屈服應(yīng)力s表示，即（4）接觸表面上的摩擦切應(yīng)力分布采用簡(jiǎn)單的模型，例如庫侖摩擦模型和常摩擦力模型式等。8.4.2 長(zhǎng)矩形板鐓粗問題p假設(shè)矩形板長(zhǎng)度l遠(yuǎn)大于高度h和寬度b，則可近似地認(rèn)為矩形板沿長(zhǎng)度方向的變形為零，由此可將長(zhǎng)矩形板鐓粗視為平面應(yīng)變問題。pl（1）切取單元體（2）列出單元體的靜力平衡方程沿x方向列出單元體的靜力平衡方程，即（3）代入摩擦條件假設(shè)接觸表面上的摩擦切應(yīng)力服從庫侖摩擦定律，即（4）引用屈

4、服準(zhǔn)則工程上習(xí)慣將工具作用在變形體上的單位壓力p取為正值。沿y方向列平衡方程： pldx+yldx=0 p= -y根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律xy，所以，xy，因此，屈服準(zhǔn)則式變?yōu)槿缦滦问剑磳⑸鲜轿⒎?，可得dx= -dp， （5） 積分并確定積分常數(shù)根據(jù)應(yīng)力邊界條件定積分常數(shù)。當(dāng)x=b/2時(shí)，x=0，由屈服準(zhǔn)則式可知： （6）求變形力P變形力可由下式求出，即（7）求平均壓力（8）變形功W設(shè)矩形板變形前的高度為h0、變形后的高度為h1，在變形的某一瞬時(shí)，矩形板高度為h，在變形力P作用下，高度發(fā)生變化dh，則變形功為根據(jù)體積不變條件，可得b=V/lh，可得8.4.2 長(zhǎng)矩形板鐓粗問題p假設(shè)矩形板長(zhǎng)度

5、l遠(yuǎn)大于高度h和寬度b，則可近似地認(rèn)為矩形板沿長(zhǎng)度方向的變形為零，由此可將長(zhǎng)矩形板鐓粗視為平面應(yīng)變問題。pl（1）切取單元體（2）列出單元體的靜力平衡方程沿x方向列出單元體的靜力平衡方程，即（3）代入摩擦條件假設(shè)接觸表面上的摩擦切應(yīng)力服從庫侖摩擦定律，即（4）引用屈服準(zhǔn)則工程上習(xí)慣將工具作用在變形體上的單位壓力p取為正值。沿y方向列平衡方程： pldx+yldx=0 p= -y根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律xy，所以，xy，因此，屈服準(zhǔn)則式變?yōu)槿缦滦问?，即將上式微分，可得dx= -dp， （5） 積分并確定積分常數(shù)根據(jù)應(yīng)力邊界條件定積分常數(shù)。當(dāng)x=b/2時(shí)，x=0，由屈服準(zhǔn)則式可知： （6）求變形力

6、P變形力可由下式求出，即（7）求平均壓力8.4.2 長(zhǎng)矩形板鐓粗問題pq假設(shè)矩形板長(zhǎng)度l遠(yuǎn)大于高度h和寬度b，則可近似地認(rèn)為矩形板沿長(zhǎng)度方向的變形為零，由此可將長(zhǎng)矩形板鐓粗視為平面應(yīng)變問題。pl（1）切取單元體（2）列出單元體的靜力平衡方程沿x方向列出單元體的靜力平衡方程，即（3）代入摩擦條件假設(shè)接觸表面上的摩擦切應(yīng)力服從庫侖摩擦定律，即（4）引用屈服準(zhǔn)則工程上習(xí)慣將工具作用在變形體上的單位壓力p取為正值。沿y方向列平衡方程： pldx+yldx=0 p= -y根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律xy，所以，xy，因此，屈服準(zhǔn)則式變?yōu)槿缦滦问剑磳⑸鲜轿⒎?，可得dx= -dp， （5） 積分并確定積分常數(shù)

7、根據(jù)應(yīng)力邊界條件定積分常數(shù)。當(dāng)x=b/2時(shí)，x=-q，由屈服準(zhǔn)則式可知： 8.4.2 長(zhǎng)矩形板鐓粗問題pq8.4.3 圓柱體鐓粗問題在均勻變形假設(shè)條件下，圓柱體在壓縮過程中，不會(huì)出現(xiàn)鼓形，因此，圓柱體鐓粗屬于軸對(duì)稱問題，宜采用圓柱坐標(biāo)（r,z）。設(shè)h為圓柱體的高度R為半徑r為徑向正應(yīng)力為子午面上的正應(yīng)力f為接觸表面上的摩擦切應(yīng)力。沿徑向列出單元體的靜力平衡方程，即 rdr假設(shè)接觸表面上的摩擦切應(yīng)力服從庫侖摩擦定律，即 根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律rz，所以，rz，因此，屈服準(zhǔn)則式變?yōu)槿缦滦问?，即沿y方向列平衡方程： p2rdr+z2rdr=0 p= -z 應(yīng)力邊界條件為，當(dāng)r=R時(shí)，r=0，由屈服

8、準(zhǔn)則式可知: 變形力為:平均壓力為:8.4.4 拉拔8.4.4.1平面應(yīng)變拉拔（1）拉拔應(yīng)力沿坐標(biāo)方向列出單元體的靜力平衡方程，即假設(shè)接觸表面上的摩擦切應(yīng)力服從庫侖摩擦定律，即 由圖中幾何關(guān)系可得 為了確定pn與x之間的關(guān)系，首先需要找pn與h之間的關(guān)系，為此沿h坐標(biāo)軸方向列出靜力平衡方程，即對(duì)于大多數(shù)拉拔過程，模具的半錐角是比較小的，并且潤滑條件也較好，因此，摩擦系數(shù)很小，上式中的tan遠(yuǎn)小于1，可略去。則有 根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律可知， xh， 則xh，可得應(yīng)力邊界條件為：當(dāng)h=h0時(shí)，x=x0，代入上式，可得積分常數(shù)，即模具上的壓力分布，即當(dāng)h=h1時(shí)，x=x1，x1稱為拉拔應(yīng)力，即

9、拉拔時(shí)的變形量通常用面縮率r來表示，在平面應(yīng)變條件下，面縮率r可用下式來表示，即（2）拉拔時(shí)一道次的最大面縮率拉拔應(yīng)力隨道次面縮率的增加而增大，當(dāng)拉拔應(yīng)力達(dá)到拉拔模出口端外部產(chǎn)品的屈服應(yīng)力，也就是材料的瞬時(shí)屈服應(yīng)力時(shí)，拉拔產(chǎn)品將產(chǎn)生塑性變形，其應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)與單向拉伸實(shí)驗(yàn)完全相同，此時(shí)拉拔過程無法穩(wěn)定進(jìn)行。因此，拉拔時(shí)一道次最大面縮率的計(jì)算依據(jù)是拉拔應(yīng)力等于拉拔模出口端外部材料的瞬時(shí)屈服應(yīng)力。在無摩擦條件下，最大面縮率為在無摩擦條件下，當(dāng)后張力x0=0時(shí)，最大面縮率rmax為8.4.4.2軸對(duì)稱拉拔（1）拉拔應(yīng)力沿z坐標(biāo)方向列出單元體的靜力平衡方程，即由圖中的幾何關(guān)系可得沿r坐標(biāo)軸方向列出靜力

10、平衡方程，即同平面應(yīng)變拉拔的情況一樣，對(duì)于大多數(shù)拉拔過程，模具的半錐角是比較小的，并且潤滑條件也較好，因此，摩擦系數(shù)很小，上式中的tan遠(yuǎn)小于1，可略去，則有 與圓柱體鐓粗問題相同，對(duì)于實(shí)心材軸對(duì)稱拉拔問題：根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律可知， zr， 則zr，可得應(yīng)力邊界條件為：當(dāng)D=D0時(shí)，z=z0，代入上式，可得積分常數(shù)，即當(dāng)D=D1時(shí)，z=z1，z1稱為拉拔應(yīng)力，即模具上的壓力分布：拉拔時(shí)的變形量通常用面縮率r表示，在軸對(duì)稱條件下，面縮率r用下式來表示，即（2）拉拔時(shí)一道次的最大面縮率8.4.5 軋制軋制是金屬塑性加工領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛、最重要的加工方式，軋制壓力是軋鋼工藝和設(shè)備設(shè)計(jì)的基本參數(shù)

11、之一。目前對(duì)于板帶軋制時(shí)的軋制壓力計(jì)算大多是在平面應(yīng)變條件下進(jìn)行的。事實(shí)上，對(duì)于板帶軋制，由于板材寬而薄，忽略寬展，將軋制過程假設(shè)為平面應(yīng)變問題是比較準(zhǔn)確的。8.4.5.1 以平板間均勻鐓粗代替軋制過程將板帶軋制過程視為軋件在具有良好潤滑的兩平行平板間的均勻鐓粗，可以得到求解軋制力的最簡(jiǎn)單公式。忽略寬展，將軋制過程視為平面應(yīng)變問題，在寬度方向上取一個(gè)單位，設(shè)接觸弧長(zhǎng)的水平投影為l，軋件的平均屈服應(yīng)力為2k，則單位寬度上的軋制力為式中：R軋輥半徑；h=h0-h軋件的壓下量。在板帶軋制時(shí)，壓下量h遠(yuǎn)小于軋輥半徑R，因此，可以忽略h的平方項(xiàng)，即 式中沒有考慮摩擦的影響，由此式可給出軋制力的下限。根據(jù)

12、一些典型軋制過程的研究結(jié)果，奧洛萬認(rèn)為，摩擦對(duì)軋制力的影響大約為20%，因此，可將修正為顯然上式并不是計(jì)算軋制力的嚴(yán)密公式，但是，該式簡(jiǎn)單，便于記憶，當(dāng)需要快速確定一個(gè)近似的軋制力時(shí)，采用上式是非常方便的。8.4.5.2卡爾曼方程卡爾曼方程是求解軋制壓力的基本微分方程式。假設(shè)（a）軋件的寬度方向尺寸遠(yuǎn)大于厚度及變形區(qū)長(zhǎng)度，因此，寬展可忽略不計(jì)，將軋制過程視為為平面應(yīng)變問題。（b）軋件的變形是均勻的，變形前的垂直橫斷面，在變形后仍保持為平面。（c）在垂直橫斷面上沒有切應(yīng)力作用，水平正應(yīng)力沿軋件高度方向均勻分布。采用主應(yīng)力法求解板帶軋制壓力時(shí)，所切取單元體的受力情況與平面應(yīng)變拉拔時(shí)基本相同，但是，

13、軋制時(shí)的材料流動(dòng)規(guī)律與平面應(yīng)變拉拔的情況不同。在軋制過程中，靠近變形區(qū)的出口端，軋件的流動(dòng)速度大于軋輥的線速度，而在靠近變形區(qū)的入口端，軋件的流動(dòng)速度小于軋輥的線速度，在均勻變形假設(shè)條件下，變形區(qū)內(nèi)一定存在著軋件的流動(dòng)速度等于軋輥線速度的平面，稱為中性面。由中性面至出口端，稱為前滑區(qū)，中性面至入口端，稱為后滑區(qū)。中性面與接觸弧的交點(diǎn)，稱為中性點(diǎn)。中性點(diǎn)兩側(cè)的摩擦力方向是相反的，并且均指向中性點(diǎn)。中性點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓周角，稱為中性角。整個(gè)接觸弧所對(duì)應(yīng)的圓周角，稱為咬入角。由于軋制時(shí)金屬流動(dòng)規(guī)律的特殊性，建立軋制過程平衡方程，需要在中性面兩側(cè)的前滑區(qū)和后滑區(qū)分別切取單元體。在直角坐標(biāo)系下，橫坐標(biāo)用x表示，縱坐標(biāo)用h表示。設(shè)軋件變形前的高度為h0、變形后的高度為h1，pn為軋輥?zhàn)饔迷趩卧w上的徑向應(yīng)力，取單位寬度的單元體，可以得到如下平衡方程，即式中