1、專題一 集合與常用邏輯用語(yǔ)目 錄CONTENTS 考點(diǎn)一 集合的概念與運(yùn)算1考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)2考點(diǎn)一 集合的概念與運(yùn)算必備知識(shí) 全面把握核心方法 重點(diǎn)突破考法例析 成就能力考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算1集合的定義一般地，確定的某些對(duì)象的全體稱為集合，簡(jiǎn)稱集，通常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C，表示其中常用數(shù)集的記法如下：必備知識(shí) 全面把握集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或NZQR 構(gòu)成集合的對(duì)象必須是確定的，即構(gòu)成集合的對(duì)象具有明確的特征，不能是模棱兩可的，例如:“個(gè)子較高的男同學(xué)”標(biāo)準(zhǔn)不明確，故“個(gè)子較高的男同學(xué)”不能構(gòu)成集合 給定集合中的元素必須是互異的，例如：方程(x1)(x2

2、)20的解集表示為1，2，而不是1，2，22.集合元素的性質(zhì)(1)確定性：任何一個(gè)對(duì)象，都能明確判斷出它是或者不是某個(gè)集合的元素(2)互異性：集合中任何兩個(gè)元素是互不相同的.(3)無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有順序的.考點(diǎn)一 集合的概念與運(yùn)算3元素與集合的關(guān)系一個(gè)對(duì)象與一個(gè)集合的關(guān)系有“屬于”和“不屬于”兩種若a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作aA；若a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作 aA.考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算4集合的表示方法(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)列舉時(shí)不必考慮元素間的順序，元素不得重復(fù)，元素之間用“，”隔開(kāi)(2)描述法：描述法就是要把集合中元素

3、的公共屬性描述出來(lái)，其常用形式為 ， 它表示使命題p(x)為真的A中元素的集合，x表示元素的一般形式，p(x)表示元素具有的公共屬性 考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算 使用描述法時(shí)，需注意集合中的代表元素如Pyx21的元素是一個(gè)二次函數(shù)，Qy|yx21表示二次函數(shù)yx21的值域，Ex|yx21表示二次函數(shù)yx21的定義域，F(xiàn)(x，y)|yx21表示二次函數(shù)yx21圖像上的點(diǎn)，Gx|x1表示大于等于1的數(shù)集5集合的分類按元素個(gè)數(shù)分為有限集和無(wú)限集.(3)圖示法(Venn圖法)：用一條封閉曲線的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合 0，0， ，的區(qū)別與關(guān)系(1)0是一個(gè)數(shù)字，不是集合；0， ，是集合，其中0是含一個(gè)元素0的集

4、合， 是不含任何元素的集合，不能理解為0或0，是以為元素的集合(2)四者之間的關(guān)系： ， ， ，0 ，0 ，00， 0考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算6空集不含任何元素的集合叫做空集，記作7集合間的基本關(guān)系考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算7集合間的基本關(guān)系 集合間基本關(guān)系的常見(jiàn)結(jié)論(1)空集()是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；(2)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A A，空集的子集只有一個(gè)，即它本身；(3)在涉及集合之間的關(guān)系時(shí)，若未指明集合非空，則要考慮空集的可能性，如若A B，則有A 或A 兩種情況；(4)含有n個(gè)元素的集合有，其中有2n 個(gè)子集，其中有2n -1個(gè)真子集， 2n

5、 -1個(gè)非空子集，有2n -2個(gè)非空真子集.8集合的基本運(yùn)算考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算方法1 元素與集合間的關(guān)系題型解法研究一個(gè)集合，要弄清楚集合中的代表元素(1)用描述法表示集合時(shí)，先要注意弄清楚其元素表示的意義，如y|y2x，x|y2x，(x，y)|y2x表示不同的集合，然后再看元素的限制條件(性質(zhì))，最后根據(jù)元素的互異性，確定集合中的元素(2)用列舉法表示集合時(shí)，要注意集合中元素的互異性，對(duì)于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性，從而確定集合中的元素核核心方法心方法 重點(diǎn)突破核心方法 重點(diǎn)突破考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算例1 已知集合A1，2，3，4，5，B(x，

6、y)|xA，yA，xyA，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為()A3B6C8D10考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算【解析】方法一(列表法)：因?yàn)閤A，yA，所以x，y的取值只能為1，2，3，4，5，故x，y及xy的取值如右表所示：由題意xyA，故xy只能取1，2，3，4，由表可知實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)的取值中滿足條件的共有10個(gè)，即B中元素的個(gè)數(shù)為10.故選D. y xyx12345101234210123321012432101543210例1 已知集合A1，2，3，4，5，B(x，y)|xA，yA，xyA，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為()A3 B6C8D10考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算【解析】方法二(直接法)：因?yàn)锳1，2，3，

7、4，5，所以集合A中的元素都為正數(shù)若xyA，則有xy0，得xy.當(dāng)y1時(shí)，x可取2，3，4，5，有4個(gè)；當(dāng)y2時(shí)，x可取3，4，5，有3個(gè)；當(dāng)y3時(shí)，x可取4，5，有2個(gè)；當(dāng)y4時(shí)，x可取5，有1個(gè)故共有123410(個(gè))故選D. 方法三：因?yàn)锳中元素均為正整數(shù)，所以從A中任取兩個(gè)元素x，y，滿足xy的(x，y)即為集合B中的元素，故共有C5210(個(gè))故選D.D方法2 集合間的基本關(guān)系題型解法1.子集個(gè)數(shù)的求解方法(1)列舉法：將集合的子集一一列舉出來(lái)，從而得到子集的個(gè)數(shù)適用于集合元素較少的情況(2)公式法： 含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，真子集個(gè)數(shù)是2n1，非空子集個(gè)數(shù)是 2n1，非

8、空真子集個(gè)數(shù)是2n2.考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算例2 廣東佛山2019屆模擬已知集合AxN|x22x0，Bx|1x2，則AB 的子集個(gè)數(shù)為()A3B4C7D8考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算1.子集個(gè)數(shù)的求解方法【解析】AxN|x22x00，1，2，Bx|1x2，AB0，1，2，AB的子集個(gè)數(shù)為238，故選D.D2判斷集合之間關(guān)系的方法(1)化簡(jiǎn)集合，從表達(dá)式中判斷兩集合間的關(guān)系.(2)用列舉法表示集合，從元素中判斷兩集合間的關(guān)系(3)利用數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出兩集合，比較端點(diǎn)之間的大小關(guān)系，從而判斷兩集合間的關(guān)系考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算例3 湖南長(zhǎng)郡中學(xué)2019屆模擬已知集合My|yx|

9、x|，xR，Ny|y=（ )x，xR，則() AMN BN M CMRN D(RN)M2判斷集合之間關(guān)系的方法C【解析】由題意得yx|x|M(，0，N(0，)，MRN.方法3 集合的基本運(yùn)算問(wèn)題解集合運(yùn)算問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)看元素構(gòu)成，集合中元素是數(shù)還是有序數(shù)對(duì)，是函數(shù)的自變量還是函數(shù)值等；(2)對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，明確集合中元素的特點(diǎn)；(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常見(jiàn)形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖等考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算例4 湖南、湖北八市十二校2019屆聯(lián)考已知集合PxR|0 x4，QxR|x|3，則PQ() A3，4 B(3，4 C(，4 D(3，)考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算方法3 集

10、合的基本運(yùn)算問(wèn)題【解析】QxR|x|a3，即a3.當(dāng)B 時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得 解得a4或2a3.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，4)(2，)考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算例6 已知集合Ax|x4，Bx|2axa3若B A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)2利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍(，4)(2，)方法5 Venn圖法利用Venn圖表示集合，在解決集合與集合之間關(guān)系時(shí)多數(shù)情況下比直接用定義更為直觀、有效.考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算【解】依題意易知報(bào)名參加A，B兩組的人數(shù)分別為30，33.如圖，設(shè)報(bào)名參加A，B兩項(xiàng)課外學(xué)科小組的學(xué)生分別組成集合A，B，AB的元素有x個(gè)，則由圖知(30 x)x(

11、33x)50，可得x21，x18.所以同時(shí)報(bào)名參加A，B兩組的人數(shù)為21，兩組都沒(méi)有報(bào)名的人數(shù)為8.考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算例7 50名學(xué)生報(bào)名參加A，B兩項(xiàng)課外學(xué)科小組，報(bào)名參加A組的人數(shù)是全體學(xué)生人數(shù)的五分之三，報(bào)名參加B組的人數(shù)比報(bào)名參加A組的人數(shù)多3人，兩組都沒(méi)有報(bào)名的人數(shù)比同時(shí)報(bào)名參加兩組的人數(shù)的三分之一多1，求同時(shí)報(bào)名參加A，B兩組的人數(shù)和兩組都沒(méi)有報(bào)名的人數(shù).考法1 元素與集合間的關(guān)系例1 課標(biāo)全國(guó)20171已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A3 B2 C1D0考法例析 成就能力考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算【解析】方法一：由題意知，集合A表示以

12、原點(diǎn)為圓心的單位圓x2y21，集合B表示直線yx. 單位圓x2y21與直線yx有兩個(gè)交點(diǎn)，故選B.考法1 元素與集合間的關(guān)系例1 課標(biāo)全國(guó)20171已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A3 B2 C1D0考法例析 成就能力考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算【解析】B考法2 集合的運(yùn)算例2 課標(biāo)全國(guó)20182已知集合Ax|x2x20，則RA() Ax|1x2 Bx|1x2 Cx|x2 Dx|x1x|x2考點(diǎn)一集合的概念與運(yùn)算【解析】由x2x20得(x2)(x1)0，解得x1或x2，Ax|x2借助數(shù)軸，得RAx|1x2故選B.B例3 課標(biāo)全國(guó)20171已知集合Ax|x

13、1，Bx|3x1，則()AABx|x1 DAB考點(diǎn)一 集合的概念與運(yùn)算【解析】由3x1知x0，則Bx|x0 又因?yàn)锳x|x1，所以ABx|x0故選A.A考法2 集合的運(yùn)算考法3 集合中的參數(shù)問(wèn)題例4 課標(biāo)全國(guó)20172設(shè)集合A1，2，4，Bx|x24xm0若AB1，則B()A1，3 B1，0 C1，3 D1，5考點(diǎn)一 集合的概念與運(yùn)算【解析】AB1，1B，則1241m0，m3.方程x24x30的解為x11，x23，B1，3，故選C.C考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)必備知識(shí) 全面把握核心方法 重點(diǎn)突破考法例析 成就能力考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)1充分、必要條件的判定必備知識(shí) 全面把握考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)2全稱量

14、詞和存在量詞3全稱命題與特稱命題考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)4命題的否定含有一個(gè)量詞的命題的否定 全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，如表所示考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ) 一般地，一個(gè)命題的否定往往需要對(duì)正面敘述的詞語(yǔ)進(jìn)行否定把常見(jiàn)的一些詞語(yǔ)和它的否定詞語(yǔ)對(duì)照列表如下：考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ) (1)詞語(yǔ)的否定形式可類比集合求補(bǔ)集運(yùn)算例如，“至少有3個(gè)”可表示為x|x3，xN，其補(bǔ)集為x|x2，xN，所以否定形式為“至多有2個(gè)”(2)命題的否定和否命題是有區(qū)別的，對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定是對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，而否命題是同時(shí)否定條件和結(jié)論考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)1定義法(常用方法、基本方法)定義法是判斷充分條件與

15、必要條件最基本、最適用的方法步驟如下：(1)分清條件與結(jié)論(p與q)；(2)找推式：即判斷p q及q p的真假；(3)下結(jié)論： 是q的充分不必要條件； 是q的必要不充分條件； 是q的充要條件； 是q的既不充分也不必要條件方法1 充分條件與必要條件的判斷考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)核心方法 重點(diǎn)突破2集合法 適用于“所要判斷的命題與方程的根、不等式的解集以及集合有關(guān)，或所描述的對(duì)象可以用集合表示”的情況Pp，Qq，利用集合間的包含關(guān)系加以判斷，具體情況如下：若PQ，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若P Q，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；若PQ，則p是q的充要條件(q也是p的充要

16、條件)；若P Q且Q P，則p是q的既不充分也不必要條件考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)例1 湖北襄陽(yáng)2019屆調(diào)研設(shè)a，bR，則“2ab1”是“l(fā)n aln b”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件方法1 充分條件與必要條件的判斷【解析】由2ab1得ab，由ln aln b得0ab，“2ab1”是“l(fā)n a0)，且 p是 q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【解析】由 2，得2x10， p：Ax|x10或x0)， q：Bx|x1m或x0 p是 q的必要不充分條件，方法3 全稱命題與特稱命題的否定 否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一是要改寫(xiě)量詞，全稱量詞改寫(xiě)為存在量詞

17、，存在量詞改寫(xiě)為全稱量詞；二是要否定結(jié)論.簡(jiǎn)記為“改量詞，否結(jié)論”考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)例7 福建2018質(zhì)檢若命題p：xR，x31x2，則p為()AxR，x31x2 BxR，x31x2CxR，x31x2 DxR，x31x2【解析】該命題是特稱命題，則命題的否定是“xR，x31x2”，故選B.B考法1 充分條件與必要條件的判斷例1 天津20184設(shè)xR，則“ ”是“x31”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件A考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)【解析】因?yàn)?，所以0 x1.又因?yàn)閤31，所以x1.因?yàn)? x1能得出x1，但x1不能得出0 x1，所以“ ”是“x31”的充分不必要條件故選A.考法例析 成就能力例2 北京20176設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【解析】已知m，n為非零向量，若存在負(fù)數(shù)，使得mn，則mnnnn20成立，是充分條件；反過(guò)來(lái)，若mn0，則m，n不一定共線，可能兩向量的夾角是鈍角，此時(shí)就不存在負(fù)數(shù)，使得mn.所以是充分不必要條件故選A.考法2 充分條件與必要條件的判斷A考點(diǎn)二 常用邏輯用語(yǔ)