1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 文科概率和統(tǒng)計基礎(chǔ)知識 概率與統(tǒng)計 一、統(tǒng)計 1 1 三種抽樣方法的對比 類別 共同點 特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡 單 隨 機抽樣 抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；每次抽出個體后不再放回，即不 放回抽樣. 從總體中逐個抽 取. 總 體 個 數(shù)較少. 系統(tǒng)抽樣 將總體平均分成幾部分，按預(yù)先制定的規(guī)矩在各 部分中抽取 1 個個體. 系統(tǒng)：在 起始部分取樣時，采用簡單隨機抽樣，其余部分等距抽。 分層：各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣（層的容量大時可用系統(tǒng)抽樣）. 總 體 個 數(shù)較多. 分層抽樣 將 總 體 分 成 幾層，按各層個體 數(shù)之比抽取. 總

2、體由差 異 明 顯 的幾 部 分 組成. 2 2 常用的統(tǒng)計圖表：一表（頻率分布表）；兩圖（頻率分布直方圖和莖葉圖） (1) 頻率分布直方圖 小長方形的面積=組距頻率組距=頻率； 各小長方形的面積之和等于 1； 小長方形的高=頻率組距，所有小長方形的高的和為1組距 【注意】直方圖的縱軸（小長方形的高）一般是） 頻率除以組距的商（而不是頻率），橫軸一般是 數(shù)據(jù)的大小，小長方形的面積表示頻率 (2)莖葉圖 在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好 3 3 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 數(shù)字特征 樣本數(shù)據(jù) 頻率分布直方圖 眾數(shù) 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 取最高的小長方

3、形 底邊中點 的橫坐標(biāo) 中位數(shù) 將數(shù)據(jù) 按大小依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)） 把頻率分布直方圖劃分成 左右兩個面積相等的 分界限與 x 軸交點的橫坐標(biāo) 平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的 算術(shù)平均數(shù) 每個小長方形的面積乘以小長方形 底邊中點的橫坐標(biāo)之 和 (2)平均數(shù)1 21( )nx x x xn 方差2 2 2 21 21( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn 標(biāo)準(zhǔn)差2 2 21 21( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn 【提醒】標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定 4 變量間的相關(guān)關(guān)系 知識點分析 1、線性回歸方程： a x b

4、 y （ x 叫做解釋變量， y 叫做預(yù)報變量） 線性回歸方程系數(shù)公式： （ 公式說明： 回歸直線過樣本的中心點 ) ( y x ， ，也就是平均值點.） 2、相關(guān)系數(shù)公式 3、幾個結(jié)論： （1）回歸直線過樣本的中心點 ) ( y x ， . （2） b b 0 0 時， y 與 x 正相關(guān)，散點圖呈上升趨勢； b b 0 0 時， y 與 x 負(fù)相關(guān)，散點圖呈下降趨勢. （3）斜率 b 的含義（舉例）： 假如回歸方程為 y =2.5 x +2， 說明 x 增加 1 個單位時， y 平均增加 2.5 個單位； 假如回歸方程為 y =2.5 x +2，說明 x 增加 1 個單位時， y 平均減少

5、 2.5 個單位. （4）相關(guān)系數(shù) r 表示變量的相關(guān)程度。 范圍： 1 r ，即 1 1 r r 越 大，相關(guān)性越 強。 0 r 時， y 與 x 正相關(guān)； 0 r 時， y 與 x 負(fù)相關(guān). （5）相關(guān)指數(shù)2R 表示模型的擬合效果。范圍： 1 0 2， R 2R 越 大，擬合效果越 好， ，（這時：殘差平方和越小，殘差點在帶狀區(qū)域內(nèi)的分布對比均勻，帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸瑪M合精度越高）. 2R 表示解釋變量 x 對于預(yù)報變量 y 變化的貢獻(xiàn)率。 例如： 64 . 02 R ，說明 x 解釋了 64%的 y 變化，或者說 y 的差異有 64%是由 x引起的。 （6）線性回歸模型 e a bx y

6、， 其中 e 叫做 隨機誤差。（ y 是由 x 和 e 共同確定的） 二、概率 1 1 概率的五個基本性質(zhì) (1)隨機事件 A 的概率：0 ( ) P A 1 (2)必然事件的概率為 1 (3)不可能事件的概率為 0 (4)假如事件 A 與事件 B 互斥（不可能同時發(fā)生），則 ( ) ( ) ( ) P A B P A P B (5)假如事件 A 與事件 B 互為對立事件（不會同時發(fā)生，但一定有一個發(fā)生），那么( ) ( ) ( ) 1 P A B P A P B ，即 ( ) 1 ( ) P A P B 對立必互斥，互斥未必對立 2 2 古典概型 (1)特點：有限性，等可能性 (2)概率公式

7、： ( )AP A 事件 中所含的基才能件數(shù)試驗的基才能件總數(shù) 3 3 幾何概型 (1)特點：無限性，等可能性 (2)概率公式：( )( )( )AP A 構(gòu)成事件 的區(qū)域長度 面積或體積試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 面積或體積 三 、獨立性檢驗 （一） 知識點分析 1 1 、 2 22 列聯(lián)表：統(tǒng)計 被調(diào)查者的兩種狀態(tài)， 每種狀態(tài)又分兩種狀況的調(diào)查結(jié)果表.對于 性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同值表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為 分類變量。 2 2 、卡方統(tǒng)計量：為了研究事件 X 與 Y 的關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到一張 22 列聯(lián)表，如下表所示： Y 1 Y 2 合計 X 1 a

8、b a + b X 2 c d c + d 合計 a + c b + d n = a + b + c + d 獨立性檢驗原理：也叫） 假設(shè)性檢驗（類似反證法原理），一般狀況下， 假設(shè)分類變量 X和 Y 之間 沒有關(guān)系，通過計算2K 值，然后 查表對照相應(yīng)的概率 P P， 發(fā)現(xiàn)這種假設(shè)正確的概率 率 P P 很小，從而 推翻假設(shè)，結(jié)果得出 X 和 Y 之間 有關(guān)系的可能性為(1P),也就是X X 和 和 Y Y有關(guān)系.（表中的 k 就是2K 的觀測值，即2K k ） 統(tǒng)計量2K （讀做 卡方），它的表達(dá)式是：) )( )( )( () (22d b c a d c b abc ad nK 獨立性

9、檢驗臨界值表 P P( ( k k 2 2 k k ) ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 （表中的 K K 是理論值，2K 是實際觀測值，2K 越 大，說明變量間越 有關(guān)系） （二） 獨立性檢驗舉例 例 例 1 1、某高校統(tǒng)計初步課程的教師隨機調(diào)查了選該課的一些學(xué)生狀況，具體數(shù)據(jù)如下表： 非統(tǒng)計專業(yè) 統(tǒng)計專業(yè) 男 13 10 女 7 20 為了檢驗主修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，查對臨界值 P P( ( k k 2 2 k k ) ) 0.10 0.05 0.025 0.010 k k 2.706 3.841 5.024 6.635 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到 。所以有 的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)系。 例 例 2 2、某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié) 目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機抽取了 100 名電視觀 眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如表所示： （1）由表中數(shù)據(jù)分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是 否與年齡有關(guān)？ （2）用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取 5 名，大于 40 歲的觀眾應(yīng)當(dāng)抽取幾名？ （3）在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名