《指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》教學(xué)案例一、提出問題：新課程認為知識不是單方面通過教師傳授得到的是生在一定的情境中用有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并通過與他人（教師指導(dǎo)和同學(xué)的幫助）協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的。它強調(diào)以學(xué)生為中心視學(xué)生為認知的主教只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用過年教學(xué)實踐和對新課程的認識,我認為若遵循這個原則進行數(shù)課堂教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)將是一種高效的活動。二、教材中的地位：本節(jié)內(nèi)容是在指數(shù)范圍擴充到實數(shù)的基礎(chǔ)上引入指數(shù)函數(shù)的數(shù)數(shù)是高中研究的第一種具體函數(shù)。是在初中已經(jīng)初步探討了正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，在進一步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及有關(guān)性質(zhì)的前提下，去研究學(xué)習(xí)的。重點是指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)點在于弄清楚底數(shù)于函數(shù)變化的影響這節(jié)課主要是學(xué)生利用描點法畫出函數(shù)的圖像描述出函數(shù)的圖像特征從而指出函數(shù)的性質(zhì)使生從形到數(shù)的熟悉，體驗研究函數(shù)的過程與思路，實現(xiàn)意識的深化。三、設(shè)計背景：在新教材的教學(xué)中我慢體會新教材滲透的旋式上升的基本理念知點的形成過程經(jīng)歷從具體的實例引入成概念再次運用于實際問題或具體數(shù)學(xué)問題的過程它的應(yīng)用性實性更明顯的體現(xiàn)來數(shù)學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)過年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生還是害怕學(xué)數(shù)學(xué)，尤其高中的數(shù)學(xué)，它對于學(xué)生來說顯得很抽象。所以如果再讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)離我們的生活太遠么將很難激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣以教學(xué)中我盡力抓住知識的本質(zhì)，以實際問題引入新知識。另外，就本章來說，指數(shù)函數(shù)是學(xué)習(xí)函數(shù)概念及基本性質(zhì)之后研究的第一個重要的函數(shù)生會研究一個新的具體函數(shù)的方法比學(xué)會本身的知識更重要。在這個過程中，所有的知識都是生疏的，在大腦中沒有形成基本的框架結(jié)構(gòu)，需要老師的引導(dǎo)使他們逐漸建數(shù)學(xué)中任何知識的形成都體現(xiàn)出它的思想與方法而授課中注重讓學(xué)生領(lǐng)悟其中的思想，運用其中的方法去學(xué)習(xí)新的知識，是非常重要的。四、教學(xué)目標：（一識理解指數(shù)函數(shù)的定義，能初步把握指數(shù)函數(shù)的圖像，性質(zhì)及其簡單應(yīng)用。（二程方法：

由實例引入指數(shù)函數(shù)的概念，利用描點作圖的方法做出指數(shù)函數(shù)的圖像件的話借助計算機演示驗證指數(shù)函數(shù)圖像）由圖像研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。利用性質(zhì)解決實際問題。（三能：．通過指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究，培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析和歸納的能力，進一步會數(shù)形結(jié)合的思想方法。．通過對指數(shù)函數(shù)的研究，使學(xué)生能把握函數(shù)研究的基本方法。五、教學(xué)過程：由實際問題引入：問題：某種細胞分裂時，由1個裂成2個個裂4個…個樣的細胞分x次后，得到的細胞的個數(shù)y與x之的關(guān)系是什么？分裂次數(shù)與細胞個數(shù)，；2，2，2×2×2=2；…………；x，歸納：x問題：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì)，每經(jīng)過年剩留的這種物質(zhì)是原來的，那么經(jīng)過年后剩留量y與x的系是什么？經(jīng)過1年剩留量×；經(jīng)過，剩留量2

…………經(jīng)過x年，剩留量x尋找異同：你能從以上的兩個例子中得到的關(guān)系式里找到什么異同點嗎？共同點：變量y構(gòu)函關(guān)系式，是指數(shù)的形式，自變量在指數(shù)位置，底數(shù)是常數(shù)；不同點：底數(shù)的取值不同。那么，今天我們來學(xué)習(xí)一個新的基本函數(shù)：指數(shù)函數(shù)得到指數(shù)函數(shù)的定義：定義：形如y=ax且a）的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。在以前我們學(xué)過的函數(shù)中，一次函數(shù)用形如（≠0）的形式表示，反比例函數(shù)用形如y=k/xk≠）表示，二次函數(shù)≠0)表示。對于其一般形式上的系數(shù)有相應(yīng)的限制。問：為什么指數(shù)函數(shù)對底數(shù)有這樣的要求呢？若，時恒等于0沒有研究價值當x≤0時，無意義。若，x=1/2，……時是無意的，沒有研究價值。若，1,是一個常量，也沒研究的必要。所以有規(guī)定且a>0且≠。

由定義，我們可以對指數(shù)函數(shù)有一初步熟悉。進一步理解函數(shù)的定義：指數(shù)函數(shù)的定義域：在我們學(xué)過的指數(shù)運算中，指數(shù)可以是有理數(shù)，當指數(shù)是無理數(shù)時，也是一個確定的實數(shù)對無理數(shù)過的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運算法則都適用所以指數(shù)函數(shù)的定義域為研究函數(shù)的途徑：由函數(shù)的圖像及性質(zhì)，從形與數(shù)兩方面研究。學(xué)習(xí)函數(shù)的一個很重要的目標就是應(yīng)用么先要對函數(shù)作一研究究數(shù)的圖像及性質(zhì)然利用其圖像性質(zhì)去解決數(shù)學(xué)問題和實際問題據(jù)以往的經(jīng)驗?zāi)銜哪菐讉€角度考慮？（圖像的分布范圍，圖像的變化趨勢，…）圖像的分布情況與函數(shù)的定義域，值域有關(guān)，函數(shù)的變化趨勢體現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性。引導(dǎo)學(xué)生從定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，與坐標軸的交點情況著手開始。首先我們做出指數(shù)函數(shù)的圖像，我們研究一般性的事物，常用的方法是：由特殊到一般。我們以具體函數(shù)入手學(xué)以組形式取不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)畫它們的圖像學(xué)畫的函數(shù)圖像展示函的圖像步驟是：列表，描點，連線最后，老師在黑板（電腦）上演示列表，描點，連線的過程，并且，畫出取不同的值時，函數(shù)的圖像。要求學(xué)生描述出指數(shù)函數(shù)圖像的特征，并試著描述出性質(zhì)。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明每一個重的數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展中都有豐富的經(jīng)歷新課程較好的體現(xiàn)了這點課背景下的學(xué)生而言的知識應(yīng)該是一個數(shù)學(xué)化的過程，即通過對常識材料進行細致的觀察、思考，借助于分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動對識材料進行去粗取精偽存真的精加工該例正是從數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)實驗的過程中進行設(shè)計雖然學(xué)生的思維一定真實的重演了人類對數(shù)學(xué)知識探索的全過程確實實通過實驗觀比分歸納抽象概括等思維活動在索中將數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)化，從而才使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了樂趣，對數(shù)學(xué)的研究方法有了一定的了解。雖然學(xué)生要學(xué)的數(shù)學(xué)是歷史上前人已建構(gòu)好了的他們而言是新的知的，需要用他們自己的學(xué)習(xí)活動來再現(xiàn)類似的過程例正是從創(chuàng)設(shè)問題情景作為教學(xué)設(shè)計的重要的內(nèi)容之一師該把教設(shè)計成學(xué)生動手操作察想示規(guī)律等一系列過程，側(cè)重于學(xué)生的探索、分析與思考，側(cè)重于過程的探究及在此過程中所形成的一般數(shù)學(xué)能力。教師的地位應(yīng)由主導(dǎo)者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)者學(xué)活動真正成為學(xué)生的活動學(xué)過程中，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生時和空間上保證學(xué)生在教師的指導(dǎo)下生自己獨立自主

的探究學(xué)習(xí)。使教學(xué)活動始終處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)每一個學(xué)生通過自己的努力，在自己原有的基礎(chǔ)上都有所獲，都有提高?？傊ㄟ^案例研究，不斷研究新教材、新理念，不斷調(diào)整教學(xué)策略優(yōu)化課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生探究學(xué)習(xí)與創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力將是我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中要繼續(xù)探究的課題。指數(shù)函數(shù)的象及其性質(zhì)一學(xué)容析本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)必修（A版）第二章第一節(jié)第二課（2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)據(jù)我所任教的學(xué)生的實際情況，我將《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》劃分為兩節(jié)課（探究圖象及其性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用這是第一節(jié)課“探究圖象及其性質(zhì)數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一為常見函數(shù)僅是今后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基礎(chǔ)，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，所以指數(shù)函數(shù)應(yīng)重點研究。二生習(xí)情析指數(shù)函數(shù)是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，基本掌握了函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行研究的是學(xué)生對函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應(yīng)用教材在之前的學(xué)習(xí)中給出了兩個實際例子（GDP的增長題和炭14的衰減問題已經(jīng)讓學(xué)生感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景但這兩個例子背景對于學(xué)生來說有些陌生本節(jié)課先設(shè)計一個看似簡單的問題，通過超出想象的結(jié)果來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣和欲望。三設(shè)思1.函數(shù)及其圖象在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的位置。如何突破這個即重要又抽象的內(nèi)容，其實質(zhì)就是將抽象的符號語言與直觀的圖象語言有機的結(jié)合起來，通過具有一定思考價值的問題激發(fā)學(xué)生的求知欲望――持久的好奇心我們知道，函數(shù)的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，以往的函數(shù)的學(xué)習(xí)大多只關(guān)注到圖象的作用，這其實只是借助了圖象的直觀性，只是從一個角度看函數(shù)，是片面的本節(jié)課力圖讓學(xué)生從不同的角度去研究函數(shù)對函數(shù)進行一個全方位的研究，并通過對比總結(jié)得到研究的方法，讓學(xué)生去體會這種的研究方法以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去。2.結(jié)合參加我校組織的兩個課《對話——反思——選擇《新課程實施

中同伴合作和師生互動研究》的研究，在本課的教學(xué)中我努力實踐以下兩點：⑴.在課堂活動中通過同伴合作、自主探究培養(yǎng)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。⑵.在教學(xué)過程中努力做到生生對話師生對話并且在對話之后重視體會、總結(jié)反思力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時讓學(xué)生掌握一些學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的方法。3.通過課堂教學(xué)活動向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法。四教目根據(jù)任教班級學(xué)生的實際情況本節(jié)課我確定的教學(xué)目標是理解指數(shù)函數(shù)的概念，能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象；在理解指數(shù)函數(shù)概念、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能應(yīng)用所學(xué)知識解決簡單的數(shù)學(xué)問題在教學(xué)過程中通過類比回顧歸納從圖象和解析式這兩種不同角度研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法加深對指數(shù)函數(shù)的認識讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中感受數(shù)學(xué)思想方法之美體會數(shù)學(xué)思想方法之重要同時通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生獲得研究函數(shù)的規(guī)律和方法培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)合作交流的意識。五教重與點教學(xué)重點：指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。教學(xué)難點：對底數(shù)的分類，如何由圖象、解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。六教過：（一）設(shè)情景、提問題(約3鐘)師：如果讓1號同學(xué)準備米，2同學(xué)準備4粒米，3同學(xué)準備6米，4號同學(xué)準備8粒米，5號同學(xué)準備10米，……按這樣的規(guī)律，51號同學(xué)該準備多少米？學(xué)生回答后教師公布事先估算的數(shù)據(jù)：號同學(xué)該準備102粒米，大約5克重。師：如果改成讓1同學(xué)準備2米，2同學(xué)準備4粒米，3號同學(xué)準備8粒米，4號同學(xué)準備16粒米，5號同學(xué)準備粒米，……按這樣的規(guī)律，51號同學(xué)該準備多少米？【學(xué)情預(yù)：學(xué)生可能很多或算出具體數(shù)】師：大家能否估計一下，號同學(xué)該準備的米有多重？教師公布事先估算的數(shù)據(jù)：號同學(xué)所需準備的大米約重1.2噸。師：1.2億噸是一個什么概念？根據(jù)__9月13日美國農(nóng)業(yè)部發(fā)布的最新數(shù)據(jù)顯示，2007～___度我國大米產(chǎn)量預(yù)計為億噸。這就是說51號同學(xué)所需準備的大米相當于2007～___度我國全年的大米產(chǎn)量！

【設(shè)計圖：用個看似簡單實例，引出指數(shù)函的概念準備；同時通過一次函數(shù)的比讓學(xué)感受指數(shù)函的爆炸長，激發(fā)學(xué)學(xué)習(xí)新的興趣欲望在以上兩個問題中每位同學(xué)所需準備的米粒數(shù)用表示每位同學(xué)的座號數(shù)用x表示，與之間的關(guān)系分別是什么？學(xué)生很容易得出（xN

）和y2

x

（N

）【學(xué)情預(yù)：生可會漏掉的取值圍教師要導(dǎo)學(xué)生思考體問題中x的范圍（二）生互動、探新知1指數(shù)函數(shù)的義師實本章開頭的問題有一個與（x,x20

x

類似的關(guān)系式y(tǒng)

x⑴讓學(xué)生思考討論以下問題（問題逐個給出分鐘）①y2

x

（N

）和y

x

（x

,x20）這兩個解析式有什么共同特征？②它們能否構(gòu)成函數(shù)？③是我們學(xué)過的哪個函數(shù)？如果不是能否根據(jù)該函數(shù)的特征給它起個恰當?shù)拿郑俊驹O(shè)計意：引學(xué)生從體問題、實問題中象出數(shù)學(xué)模。學(xué)生比已經(jīng)過一次函數(shù)反比例數(shù)、二次函，發(fā)現(xiàn)2

x

，y

x

是一個新的函模型，再讓生給這新的函數(shù)命，由此發(fā)學(xué)生的學(xué)興趣】引導(dǎo)學(xué)生觀察，兩個函數(shù)中，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量。師：如果可以用字代替其中的底數(shù)，那么上述兩式就可以表示成ya的形式。自變量在指數(shù)位置，所以我們把它稱作指數(shù)函數(shù)。⑵讓學(xué)生討論并給出指數(shù)函數(shù)的定義分鐘）對于底數(shù)的分類，可將問題分解為：

x①a會有什么問題（x不存在）

12

則在實數(shù)范圍內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值②若

會有什么問題？（對于ax都無意義）③若

又會怎么樣？（

無論

取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.）師：為了避免上述各種情況的發(fā)生所以規(guī)定在這里要注意生生之間、師生之間的對話。

且.

【學(xué)情預(yù)：①學(xué)生從教科中已經(jīng)到指數(shù)函數(shù)定義教師可問，為什么求，且a；a為么不？②若學(xué)只給出ya

x

，教師以引導(dǎo)學(xué)生過類比次函數(shù)k（kx0、比例數(shù)（0、次函數(shù)x（y20）中的制條件思考指數(shù)函數(shù)中數(shù)的限條件【設(shè)計意：①指數(shù)函數(shù)中數(shù)限制件的討論可引導(dǎo)學(xué)研究一個函數(shù)應(yīng)意它的實際義和研價值；②討論a0，且，也為下面研究性時對底的分類做準】接下來教師可以問學(xué)生是否明確了指數(shù)函數(shù)的定義否寫出一兩個指數(shù)函數(shù)？教師也在黑板上寫出一些解析式讓學(xué)生判斷

x

y3

2

y

x

。【學(xué)情預(yù)：學(xué)生可能是關(guān)注數(shù)是否是變，而不慮其它的】【設(shè)計意：加學(xué)生對指數(shù)數(shù)定義呈現(xiàn)形式的解】2指數(shù)函數(shù)性⑴提出兩個問題（約3分鐘）①目前研究函數(shù)一般可以包括哪些方面；【設(shè)計意：讓生在研指數(shù)函數(shù)時明確的標：函數(shù)三要素（應(yīng)法則定義域、值和函數(shù)基本性質(zhì)（調(diào)性、偶性②研究函（比如今天的指數(shù)函數(shù)可以怎么研究？用什么方法從什么角度研究？可以從圖象和解析式這兩個不同的角度進行研究；可以從具體的函數(shù)入手（即底數(shù)取一些數(shù)值當然也可以用列表法研究函數(shù)，只是今天我們所學(xué)的函數(shù)用列表法不易得出此函數(shù)的性質(zhì)見具體問題要選擇適當?shù)姆椒▉硌芯坎拍苁掳牍Ρ叮∵€可以借助一些數(shù)學(xué)思想方法來思考。【設(shè)計意：①學(xué)生知圖象法不是究函數(shù)唯一方法，此引導(dǎo)生可以圖象和解析(包括表)同的角對函數(shù)行研究；②對學(xué)進行數(shù)學(xué)思方法（一般到特殊到一般數(shù)形結(jié)合、類討論）的機滲透】⑵分組活動，合作學(xué)習(xí)（約分鐘）師面我們就從圖象和解析式這兩個不同的角度對指數(shù)函數(shù)進行研究。①讓學(xué)生分為兩大組，一組從解析式的角度入手（不畫圖）研究指數(shù)函數(shù)，一組借助電腦通過幾何畫板的操作從圖象的角度入手研究指數(shù)函數(shù)；②每一大組再分為若干合作小組（建議4人一小組③每組都將研究所得到的結(jié)論或成果寫出來以便交流。

【學(xué)情預(yù)：考慮到各的水平能有所不同教師應(yīng)視，對個別可做適當指導(dǎo)【設(shè)計意：通自主探、合作學(xué)習(xí)僅讓學(xué)充當學(xué)習(xí)的人更可深對所到結(jié)論的理】⑶交流、總結(jié)（約分鐘）師：下面我們開一個成果展示會教師在巡視過程中應(yīng)關(guān)注各組的研究情況時可選一些有代表性的小組上臺展示研究成果，并對比從兩個角度入手研究的結(jié)果。教師可根據(jù)上課的實際情況對學(xué)生發(fā)現(xiàn)出的結(jié)論進行適當?shù)狞c評或要求學(xué)生分析。這里除了研究定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外，再引導(dǎo)學(xué)生注意是否還有其它性質(zhì)？師：各組在研究過程中除了定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外是否還得到一些有價值的副產(chǎn)品呢（如過定點0

x

1與y)a

的圖象關(guān)于y軸對稱）【學(xué)情預(yù)：①首先一從解式的角度研的小組臺匯報；②對于圖象的角度究的，先選沒對底進行分的小組上臺報；③問其小組有沒不的看法上臺補充，學(xué)生對數(shù)進行分類引導(dǎo)學(xué)生思哪個量決定指數(shù)函的單調(diào)性，什么為界，教師可馬上通電腦操看函數(shù)圖象變化】【設(shè)計意：①函數(shù)的示法有三種列表法圖象、解析，通過這個活動讓學(xué)生知道究一個體的函數(shù)可也應(yīng)該多個角度入，從圖角度研只是能直觀看出函的一些性質(zhì)而具體性質(zhì)還是要過對解式的論；特別是定域、值更是可以直從解析中得到的。②讓學(xué)上臺匯報研成果，學(xué)生有種成感，同還可訓(xùn)練其數(shù)學(xué)問題的析和表達能，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)；③對指函數(shù)的底數(shù)行分類本課的一個點，讓生在討論中己解決分類題使該難點突破顯自然】師從圖象入手我們很容易看出函數(shù)的單調(diào)性奇偶性及過定但定義域、值域卻不可確定；從解析式（結(jié)合列表）可以很容易得出函數(shù)的定義域、值域，但對底數(shù)的分類卻很難想到。教師通過幾何畫板中改變參a的值，追蹤ya的圖象，在變化過程中，讓全體學(xué)生進一步觀察指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律。師生共同總結(jié)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，教師可以邊總結(jié)邊板書。

圖象定義域值域性質(zhì)

0<a<1a>1R過定點（0，1）非奇非偶在R上是減函數(shù)（三）固訓(xùn)練、提總結(jié)（約8分鐘）

在R上是增函數(shù)1．例：已知指數(shù)函數(shù)(x)a

x

(a0,且的圖象經(jīng)過點(3,

，求f(0),f(1),f(值。解：因為()x的圖象經(jīng)過(3,所以(3)即

，解得

13

，于是f(3)

x3

。所以f(0)f(