2021年江蘇省常州市雪堰中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內的時間為

A．0.5小時

B．1小時

C．1.5小時D．2小時參考答案：D略2.已知命題p，q是簡單命題，則“￢p是假命題”是“p∨q是真命題”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)復合命題的真假結合充分必要條件，判斷即可．【解答】解：￢p是假命題，則p是真命題，推出p∨q是真命題，是充分條件，反之，不成立，故選：A．【點評】本題考查了復合命題的真假，考查充分必要條件的定義，是一道基礎題．3.將函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）的圖象向左移動之后的圖象與原圖象的對稱中心重合，則正實數(shù)ω的最小值是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由題意可得所的圖象對應的函數(shù)解析式為y=sin（ωx+﹣），且所得圖象與原圖象相差半個周期的整數(shù)倍，即=k?，∴由此求得ω的最小值．【解答】解：將函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）的圖象向左移動之后，可得y=sin[ω（x+）﹣]=sin（ωx+﹣）的圖象．由于所得的圖象與原圖象的對稱中心重合，故所得圖象與原圖象相差半個周期的整數(shù)倍，∴=k?，∴ω=，k∈Z，則正實數(shù)ω的最小值為，故選：A．4.設等差數(shù)列的前n項和為，若，則必有A．且

B．且

C．且

D．且

參考答案：A5.下列函數(shù)中，滿足f（x+y）=f（x）f（y）的單調遞增函數(shù)是（）A．f（x）=x3 B． C．f（x）=log2x D．f（x）=2x參考答案：D【考點】抽象函數(shù)及其應用．【專題】函數(shù)思想；數(shù)學模型法；函數(shù)的性質及應用．【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的關系式，確定函數(shù)的模式為指數(shù)函數(shù)模型，然后利用單調性進行判斷即可．【解答】解：若f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），則f（x）為指數(shù)型函數(shù)，設f（x）=ax，∵f（x）是增函數(shù)，∴a＞1，則f（x）=2x滿足條件．故選：D．【點評】本題主要考查抽象函數(shù)的應用，利用函數(shù)模型法是解決本題的關鍵．6.若在的展開式中含有常數(shù)項，則正整數(shù)取得最小值時常數(shù)項為A.

B.

C.

D.參考答案：C7.設函數(shù)則（

）A.有最大值

B.有最小值

C.是增函數(shù)

D.是減函數(shù)參考答案：A略8.八世紀中國著名數(shù)學家、天文學家張遂（法號：一行）為編制《大衍歷》發(fā)明了一種近似計算的方法—二次插值算法（又稱一行算法，牛頓也創(chuàng)造了此算法，但是比我國張遂晚了上千年）：函數(shù)在，，（）處的函數(shù)值分別為，，，則在區(qū)間上可以用二次函數(shù)來近似代替：，其中，，．請根據(jù)上述二次插值算法，求函數(shù)在區(qū)間上的近似二次函數(shù)，則下列最合適的是（

）A． B．C． D．參考答案：A9.已知集合，，則（A）

（B）

（C）（D）參考答案：C因為，所以，選C.10.拋物線C1：y2=4x，雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦點恰為C2的右焦點，則2a+b的最大值為(

) A． B．5 C． D．2參考答案：A考點：雙曲線的簡單性質．專題：計算題；三角函數(shù)的圖像與性質；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：求出拋物線的焦點（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），設a=cosα，b=sinα（0＜α＜），運用兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．解答： 解：拋物線C1：y2=4x的焦點為（1，0），即有雙曲線的c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），設a=cosα，b=sinα（0＜α＜），則2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ為銳角），當α+θ=時，2a+b取得最大值，且為．故選A．點評：本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質，主要考查雙曲線的a，b，c的關系，運用三角換元和正弦函數(shù)的值域是解題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，，滿足||=1，||=，+=（，1），則向量與的夾角是．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．

【專題】平面向量及應用．【分析】設向量與的夾角是θ，根據(jù)|+|===2，求得cosθ的值，可得θ的值．解：設向量與的夾角是θ，則=1××cosθ=cosθ，根據(jù)|+|====2，可得cosθ=0，∴θ=，故答案為：．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求向量的模，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎題．12.若奇函數(shù)的定義域為，其部分圖像如圖所示，則不等式的解集是

．參考答案：13.（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，則與交點的直角坐標為________參考答案：【知識點】點的極坐標和直角坐標的互化；參數(shù)方程化成普通方程．【答案解析】解析：解：把曲線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為直角坐標方程為（x≥0，y≥0）．

曲線的極坐標方程是，化為直角坐標方程為．

解方程組

，求得，∴與交點的直角坐標為，

故答案為：．【思路點撥】把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程，再把兩曲線的方程聯(lián)立方程組求得與交點的直角坐標．14.某高校在某年的自主招生考試成績中隨機抽取50名學生的筆試成績，繪制成頻率分布直方圖如圖所示，若要從成績在[85，90），[90，95），[95，100]三組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取12人參加面試，則成績在[90，100]內的學生應抽取的人數(shù)為

．參考答案：6【考點】頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】由頻率分布直方圖，先求出a=0.040．再求出第3組、第4組和第5組的人數(shù)，由此能求出利用分層抽樣在30名學生中抽取12名學生，成績在[90，100]內的學生應抽取的人數(shù)．【解答】解：由頻率分布直方圖，得：（0.016+0.064+0.06+a+0.02）×5=1，解得a=0.040．第3組的人數(shù)為0.060×5×50=15，第4組的人數(shù)為0.040×5×50=10，第5組的人數(shù)為0.020×5×50=5，所以利用分層抽樣在30名學生中抽取12名學生，第4組應抽取×12=4人，第5組應抽取×12=2人．則成績在[90，100]內的學生應抽取的人數(shù)為6．故答案為：6．【點評】本題考查分層抽樣方法的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的合理運用．15.在△ABC中，D在BC邊上，且，若，則p+q=．參考答案：0【考點】平面向量的基本定理及其意義．【專題】對應思想；綜合法；平面向量及應用．【分析】用表示出，解出p，q．【解答】解：==（）=﹣，∴p=，q=﹣，∴p+q=0．故答案為：0．【點評】本題考查了平面向量的基本定理及幾何意義，是基礎題．16.已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點，過點作圓的切線，切點為使得，則橢圓的離心率的取值范圍是

．參考答案：17.在正三棱錐內，有一半球，其底面與正三棱錐的底面重合，且與正正三棱錐的三個側面都相切，若半球的半徑為，則正三棱錐的體積最小時，其高等于______.參考答案：【知識點】利用導數(shù)求最值和極值柱，錐，臺，球的結構特征【試題解析】根據(jù)題意：設三棱錐的高PO=x，底面的AB邊上的高CD=3OD=3y，

設半球與平面PAB切于點E，所以

所以

三棱錐的體積為：

對體積函數(shù)求導，得：令V’=0，得：唯一正解。

由該體積函數(shù)的幾何意義知：是體積函數(shù)的極小值點，

故正三棱錐的體積最小時，其高等于三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù)。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中經X表示。

（Ⅰ）如果X=8，求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差

（Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)為19的概率。

參考答案：（Ⅰ）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為方差為（Ⅱ）記甲組四名同學為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數(shù)依次為9，9，11，11；乙組四名同學為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數(shù)依次為9，8，9，10，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結果有16個，它們是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“選出的兩名同學的植樹總棵數(shù)為19”這一事件，則C中的結果有4個，它們是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率為19.等比數(shù)列滿足的前n項和為，且（I）求；（II）數(shù)列的前n項和，是否存在正整數(shù)m，，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.參考答案：解:（Ⅰ），所以公比

……2分

得

……4分所以

……5分

……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

于是

…………9分假設存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，則，

可得，

所以

從而有，，

由，得

……11分

此時.

當且僅當，時，成等比數(shù)列.

……12分

略20.（本小題滿分12分）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF,,EF=2，BE=3，CF=4.(Ⅰ)求證：EF⊥平面DCE；(Ⅱ)當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為60°．參考答案：解：方法一：（Ⅰ）證明：在△BCE中，BC⊥CF,BC=AD=,BE=3，∴EC=，∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知條件知，DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF，又DC與EC相交于C，∴EF⊥平面DCE（Ⅱ）過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連結AH．由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC,AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF．所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角．…在Rt△CEF中，因為EF=2，CF=4．EC=∴∠CEF=60°，由CE∥BH，得∠BHE=60°，又在Rt△BHE中，BE=3，∴由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，所以當時，二面角A-EF-C的大小為60°方法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）如圖，以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系C-xyz．設AB=a（a>0），則C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(，3，0），F(xiàn)（0，4，0）．從而設平面AEF的法向量為，由得，

，取x=1，則，即，不妨設平面EFCB的法向量為，

由條件，得

解得．所以當時，二面角A-EF-C的大小為60°．略21.（本小題滿分分）在平面直角坐標系xoy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，，點M是OA的中點，點P在線段BC上運動（包括端點），如圖（Ⅰ）求∠ABC的大??；（II）是否存在實數(shù)λ，使？若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由。參考答案：解：（Ⅰ）由題意，得，因為四邊形OAB