2.5與圓有關的比例線段第1頁探究1:AB是直徑,CD⊥AB交點P.線段PA,PB,PC,PD之間有何關系?PA·PB=PC·PD1.相交弦定理圓內兩條相交弦，被交點分成兩條線段長積相等。ACBPDOCABPDOACBPDO第2頁A(C.P)BD探究2:把兩條相交弦交點P從圓內運動到圓上.再到圓外，結論是否還能成立?PA·PB=PC·PDP在圓外:易證△PAD∽△PCB故PA·PB=PC·PDP在圓上:PA=PC=0,仍有PA·PB=PC·PDAPCBDPAC第3頁

2.割線定理

從圓外一點引圓兩條割線，這一點到每條割線與圓交點兩條線段長積相等.A(B)PODCPA·PB=PC·PD探究3:使割線PB繞P點運動到切線位置,是否還能成立?APBODC第4頁A(B)PODC連接AC,AD易證△PAC∽△PDA

上式可變形為PA2=PC·PD3.切割線定理從圓外一點引圓切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點兩條線段長百分比中項.故PA·PB=PC·PD仍成立因為A,B重合，第5頁探究4:使割線PD繞P點運動到切線位置,能夠得出什么結論?A(B)PODC易證Rt△OAP≌Rt△OCP.PA=PC4.切線長定理從圓外一點引圓兩條切線，它們切線長相等,圓心和這一點連線平分兩條切線夾角.A(B)POC(D)PA2=PC·PD第6頁思索:1.由切割線定理能證實切線長定理嗎?如圖由P向圓任作一條割線EF試試.A(B)POC(D)EF思索:2.你能將切線長定理推廣到空間情形嗎?O第7頁

例1.圓內兩條弦AB,CD交于圓內一點P,已知PA=PB=4.PC=PD,求CD長.CDABP解:設CD=x,則PD=,PC=由相交弦定理,得PA?PB=PC?PD∴4×4=?求得x=10,∴CD=10第8頁

例2.E是圓內兩條弦AB,CD交點,直線EF//CB,交AD延長線于F,FG切圓于G.

求證:(1)△DFE∽△EFA;

(2)EF=FG

ABCOFGED321△DFE∽△EFAEF2=FA?FD又GF2=FA?FDGF2=EF2EF=FG第9頁

例3.如圖,兩圓相交于A,B兩點,P是兩圓公共弦AB上任一點,從P引兩圓切線PC,PD.

求證:PC=PDPABDC析：PC2=PA?PB又PD2=PA?PBPC2=PD2PC=PD第10頁例4.如圖,AB是⊙O直徑,過A,B引兩條弦AD和BE,相交于點C,求證:AC?AD+BC?BE=AB2.ABDECOF分析:A,F,C.E四點共圓BC?BE=BF?BA.F,B,D,C四點共圓AC?AD=AF?AB.AC?AD+BC?BE=AF?AB+BF?BA=AB(AF+BF)=AB2第11頁例5.如圖,AB,AC是⊙O切線,ADE是⊙O割線,連接CD,BD,BE,CE.

B

A

E

C

O

D問題1

由上述條件能推出哪些結論?探究1:∠ACD=∠AEC△ADC∽△ACE

⑴CD?AE=AC?CE

⑵同理BD?AE=AB?BE

⑶因為AC=AB,由⑵⑶可得BE?CD=BD?CE

⑷圖⑴第12頁探究2:猜測并可證實問題2

在圖(1)中,使線段AC繞A旋轉,得到圖(2),其中EC交圓于G,DC交圓于F,此時又能推出哪些結論?

B

A

E

C

O

D圖⑴

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑵△ADC∽△ACE

⑸一樣可得⑵⑶⑷第13頁證實以下:

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑵∵AB2=AD?AE,而AB=AC,∴AC2=AD?AE,即∵∠CAD=∠EAC,(對應邊成百分比且夾角相等).∴

△ADC∽△ACE⑸

其次連接FG由于F,G,E,D四點共圓∴∠CFG=∠AEC,又∵∠ACF=∠AEC,∴∠CFG=∠ACF,∴FG//AC⑹第14頁

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑵問題3

在圖(2)中,使線段AC繼續(xù)繞A旋轉,使割線CFD變成切線CD,得到圖(3),此時又能推出哪些結論?

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑶

P探究3:能夠推出（1）~（6）全部結論。第15頁

B

A

E

C

O

D

Q

G圖⑶P另外∵AC//DG.∴AD?CE=AE?CG⑺∵

△ACD∽△AEC∴AC?CD=AD?CE⑻由⑺⑻可得：AC?CD=AE?CG

⑼連接BD,BE,延長GC到P,延長BD交AC于Q,則∠PCQ=∠PGD=∠DBE,故C,E,B,Q四點共圓

⑽第16頁習題2.55.如圖,⊙O與⊙O′相交與點A,B.PQ是⊙O切線,求證:PN2=NM?NQQNPO′OABM第17頁6.如圖,PA是⊙O切線,M是PA中點,求證:∠MPB=∠MCP∵MA2=MB?MC=PM2∴△MBP∽△PMC∴∠MPB=∠MCPAPCBMO思緒：習題2.5第18頁習題2.57.如圖,AD,BE,CF分別是△ABC三邊高,H是垂心,AD延長線交△ABC外接圓于點G,求證:DH=DGACEGBFHD132第19頁AECDPBFO習題2.58.如圖,⊙O直徑AB延長線與弦CD延長線交于點P,AE=AC.求證:PF?PO=PA?PB⌒⌒12△POC∽△PDFPF?PO=PD?PC又PD?PC=PB?PAPF?PO=PB?PA思緒：第20頁習題2.5

9.將例5圖(1)作以下改變:以A為中心,把線段AC繞A逆時針旋轉一個角度,連接EC并延長與圓相交于F,連接DC并延長與圓相交于G,連接FG,其它條件同例5,能推出哪些結論?假如∠BAD=∠CAD,又有什么結論?

B

A

E

C

O

D圖⑴

B

A

EC

O

DFG第21頁習題2.59題將例5圖(1)作以下改變:以A為中心,把線段AC繞A逆時針旋轉一個角度,連接EC并延長與圓相交于F,連接DC并延長與圓相交于G,連接FG,其它條件同例5,你能推出哪些結論?假如∠BAD=∠CAD,又有什么結論?

B

A

EC

O

DFGAB2=AD?AE①CF?CE=CD?CG②∴AC2=AD?AE∵AC=AB∵∠CAD=∠EAC,∴

△ADC∽△ACE

∴∠ACD=∠AEC=∠G∴

AC//FG③

第22頁假如∠BAD=∠CAD,如圖,

B

A

EC

DFG2134

∵△ABD∽△ACD(?)

=∴

BD=CD

④