PAGEPAGE21第六章因式分解第6.1節(jié)因式分解一、背景介紹因式分解是代數(shù)式中的重要內(nèi)容，它與前一章整式和后一章分式聯(lián)系極為密切。因式分解的教學(xué)是在整式四則運算的基礎(chǔ)上進行的，因式分解方法的理論依據(jù)就是多項式乘法的逆變形。它不僅在多項式的除法、簡便運算中有直接的應(yīng)用，也為以后學(xué)習(xí)分式的約分與通分、解方程（組）及三角函數(shù)式的恒等變形提供了必要的基礎(chǔ)。因此，學(xué)好因式分解對于代數(shù)知識的后續(xù)學(xué)習(xí)，具有相當(dāng)重要的意義。二、教學(xué)設(shè)計【教學(xué)內(nèi)容分析】因式分解的概念是把一個多項式化成幾個整式的積的形式，它是因式分解方法的理論基礎(chǔ)，也是本章中一個重要概念。教材在引入中是結(jié)合剪紙拼圖來闡述這一概念的，也可以與小學(xué)數(shù)學(xué)里因數(shù)分解的概念類比予以說明。在教學(xué)時對因式分解這一概念不宜要求學(xué)生一次徹底了解，應(yīng)該在講授因式分解的三種基本方法時，結(jié)合具體例題的分解過程和分解結(jié)果，說明這一概念的意義，以達到逐步了解這一概念的教學(xué)目的?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1、認知目標(biāo)：（1）理解因式分解的概念和意義（2）認識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——相反變形，并會運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法。

2、能力目標(biāo)：由學(xué)生自行探求解題途徑，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、判斷能力和創(chuàng)新能力，發(fā)展學(xué)生智能，深化學(xué)生逆向思維能力和綜合運用能力。

3、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生接受矛盾的對立統(tǒng)一觀點，獨立思考，勇于探索的精神和實事求是的科學(xué)態(tài)度?！窘虒W(xué)重點、難點】重點是因式分解的概念，難點是理解因式分解與整式乘法的相互關(guān)系，并運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法。【教學(xué)準(zhǔn)備】實物投影儀、多媒體輔助教學(xué)。【教學(xué)過程】㈠、情境導(dǎo)入看誰算得快：（搶答）(1)若a=101,b=99,則a2-b2=___________；(2)若a=99,b=-1,則a2-2ab+b2=____________；(3)若x=-3,則20x2+60x=____________?！境跻荒昙墝W(xué)生活波好動，好表現(xiàn)，爭強好勝。情境導(dǎo)入借助搶答的方式進行，引進競爭機制，可以使學(xué)生在參與的過程中提高興趣，并增強競爭意識和探究欲望?！竣?、探究新知1、請每題答得最快的同學(xué)談思路，得出最佳解題方法。（多媒體出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=(99+1)2=10000；(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0?！尽芭c其拉馬喝水，不如讓它口渴”。探索最佳解題方法的過程，就是學(xué)生“口渴”的地方。由此引起學(xué)生的求知欲。】2、觀察：a2-b2=(a+b)(a-b)

，

a2-2ab+b2=(a-b)2

，

20x2+60x=20x(x+3)，找出它們的特點。(等式的左邊是一個什么式子，右邊又是什么形式？)【利用教師的主導(dǎo)作用，把學(xué)生的無意識的觀察轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸庾R的觀察，同時教師應(yīng)鼓勵學(xué)生大膽描述自己的觀察結(jié)果，并及時予以肯定。】3、類比小學(xué)學(xué)過的因數(shù)分解概念，得出因式分解概念。（學(xué)生概括，老師補充。）【讓學(xué)生自己概括出所感知的知識內(nèi)容，有利于學(xué)生在實踐中感悟知識的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達能力?！堪鍟n題：§6.1因式分解因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做因式分解，也叫分解因式。㈢、前進一步1、讓學(xué)生繼續(xù)觀察：(a+b)(a-b)=a2-b2

,(a-b)2=a2-2ab+b2，

20x(x+3)=20x2+60x,它們是什么運算？與因式分解有何關(guān)系？它們有何聯(lián)系與區(qū)別？（要注意讓學(xué)生區(qū)分因式分解與整式乘法的區(qū)別，防止學(xué)生出現(xiàn)在進行因式分解當(dāng)中，半路又做乘法的錯誤。）【注重數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，給學(xué)生提供探索與交流的空間，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的生成過程，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)整式乘法與因式分解的相互關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力和逆向思維能力及創(chuàng)新能力?！?、因式分解與整式乘法的關(guān)系：

因式分解

結(jié)合：a2-b2=========（a+b）（a-b）

整式乘法說明：從左到右是因式分解其特點是：由和差形式（多項式）轉(zhuǎn)化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點是：由整式積的形式轉(zhuǎn)化成和差形式（多項式）。結(jié)論：因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——相反變形。（多媒體展示學(xué)生得出的成果）㈣、鞏固新知1、下列代數(shù)式變形中，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1；(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；(3)2m(m-n)=2m2(4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）；(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x；(7)k2++2=（k+）2；(8)18a3bc=3a2b·6ac?！踞槍W(xué)生易犯的錯誤，制造認知沖突，讓學(xué)生充分暴露錯誤，然后通過分析、討論，達到理解的效果?！?、你能寫出整式相乘（其中至少一個是多項式）的兩個例子，并由此得到相應(yīng)的兩個多項式的因式分解嗎？把結(jié)果與你的同伴交流。【學(xué)生出題熱情、積極性高，因初一學(xué)生好表現(xiàn)，因而能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激活學(xué)生的思維。】㈤、應(yīng)用解釋例檢驗下列因式分解是否正確：(1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).分析：檢驗因式分解是否正確，只要看等式右邊幾個整式相乘的積與右邊的多項式是否相等。練習(xí)計算下列各題，并說明你的算法：(請學(xué)生板演)(1)872+87×13(2)1012-992㈥、思維拓展1.若x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),則m=

,n=

2．機動題：（填空）x2-8x+m=(x-4)(

),且m=

【進一步拓展學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的視野，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生從小熱衷于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和探索。通過機動題，了解學(xué)生對概念的熟練程度和思維的靈敏性、深刻性、廣闊性及探研創(chuàng)造能力，及時評價，及時矯正?！竣?、課堂回顧今天這節(jié)課，你學(xué)到了哪些知識？有哪些收獲與感受？說出來大家分享。【課堂小結(jié)交給學(xué)生，讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課中概念的發(fā)現(xiàn)過程，運用概念分析問題的過程，養(yǎng)成學(xué)生學(xué)習(xí)——總結(jié)——學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣。唯有總結(jié)反思，才能控制思維操作，才能促進理解，提高認知水平，從而促進數(shù)學(xué)觀點的形成和發(fā)展，更好地進行知識建構(gòu)，實現(xiàn)良性循環(huán)?！竣臁⒉贾米鳂I(yè)教科書第153的作業(yè)題。【設(shè)計思想】葉圣陶先生曾說過課堂教學(xué)的最高藝術(shù)是看學(xué)生，而不是看教師，看學(xué)生能否在課堂中煥發(fā)生命的活力。因此本教學(xué)是按“投疑——感知——概括——鞏固、應(yīng)用和拓展”的敘述模式呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的，這種呈現(xiàn)方式符合七年級學(xué)生的認知規(guī)律和學(xué)習(xí)規(guī)律，使學(xué)生從被動的學(xué)習(xí)到主動探索和發(fā)現(xiàn)的轉(zhuǎn)化中感受到學(xué)習(xí)與探索的樂趣。本堂課先采用以設(shè)疑探究的引課方式，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性，再把因式分解概念及其與整式乘法的關(guān)系作為主線，訓(xùn)練學(xué)生思維，使學(xué)生能順利地掌握重點，突破難點，提高能力。并在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生體會知識的發(fā)生發(fā)展過程，堅持啟發(fā)式的教學(xué)方法，鼓勵學(xué)生充分地動腦、動口、動手，積極參與到教學(xué)中來，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主動性原則。并改變了傳統(tǒng)的言傳身教的方式，恰當(dāng)?shù)剡\用了現(xiàn)代教育技術(shù)，展現(xiàn)了一個平等、互動的民主課堂。第⒍2節(jié)提取公因式法●樂清市翁洋鎮(zhèn)一中厲娥秋【教學(xué)背景】“提取公因式法”是“新浙江版七年級數(shù)學(xué)（下）”第六章第二節(jié)內(nèi)容。本課安排在“整式的乘法”后，明確了因式分解與整式乘法的聯(lián)系，起到知識的鏈結(jié)開拓作用。提取公因式法是因式分解的基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下結(jié)實的基礎(chǔ)，從而也為學(xué)生的運算能力拓展了道路。（老教材本小節(jié)是分兩個課時上的）【教學(xué)內(nèi)容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。它的理論依據(jù)是逆用分配律，因此，學(xué)生接受起來并不難，但因題目各有其特點，形式變化多，所以需要學(xué)生具有觀察、分析能力和應(yīng)變能力，這就需要在教學(xué)中加以指導(dǎo)、訓(xùn)練。例題講授及練習(xí)題的匹配都要由淺入深，形式多樣化。利用這個方法，首先對要分解的多項式進行考察，發(fā)現(xiàn)特點及多項式各項之間的內(nèi)在聯(lián)系，適當(dāng)變形。（可利用計算機輔助教學(xué)手段，增大教學(xué)的容量和教學(xué)質(zhì)量，改變傳統(tǒng)的言傳身教的方式。）【教學(xué)目標(biāo)】認知目標(biāo)：⑴在具體情境中認識公因式⑵通過對具體問題的分析及逆用分配律，使學(xué)生理解提取公因式法并能熟練地運用提取公因式法分解因式能力目標(biāo)：⑴樹立學(xué)生“化零為整”、“化歸”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生完整地、辨證地看問題的思想。⑵樹立學(xué)生全面分析問題，認識問題的思想，提高學(xué)生的觀察能力，分析問題及逆向思想能力。情感目標(biāo)：在觀察、對比、交流和討論的數(shù)學(xué)活動中發(fā)掘知識，并使學(xué)生體驗到學(xué)習(xí)的樂趣和數(shù)學(xué)的探索性?！窘虒W(xué)重點、難點】1．教學(xué)重點∶掌握公因式的概念，會使用提取公因式法進行因式分解，理解添括號法則。⒉．教學(xué)難點∶正確地找出公因式【教學(xué)方法】理論與實例相結(jié)合（采用設(shè)問式、啟發(fā)式）【教學(xué)工具】應(yīng)用投影儀（計算機）【教學(xué)過程】㈠創(chuàng)設(shè)情境，提出問題如圖8－1，一塊菜園由兩個長方形組成，這些長方形的長分別是3.8m,6.2m,寬都是3.7m,如何計算這塊菜園的面積呢？3.8列式：3.7×3.8+3.7×6.2(學(xué)生思考后列式)3.7有簡便算法嗎?=3.7×(3.8+6.2)3.7=3.7×10=37(m2)

6.2圖8-1在這一過程中,把3.7換成m,3.8換成a,6.2換成b,于是有:ma＋mb=m(a＋b)利用整式乘法驗證:m(a＋b)=ma＋mb可能有學(xué)生會提出把兩個小的長方形補成一個大的長方形,那就更好,或其他的方法，教師都應(yīng)該及時肯定學(xué)生思維中的閃光點.（使學(xué)生初步意識到因式分解可以使運算簡便,同時起到使知識進行遷移化歸.）【以問題引入能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，符合學(xué)生的認知規(guī)律。本課時用“復(fù)習(xí)引入”亦是一種好辦法，即先復(fù)習(xí)分配律，同時可讓學(xué)生說出整式乘法與因式分解的聯(lián)系與區(qū)別，以便復(fù)習(xí)上一節(jié)的內(nèi)容，然后讓學(xué)生觀察引出新內(nèi)容?！竣嬗^察分析，探究新知讓學(xué)生觀察多項式：ma+mb（讓學(xué)生說出其特點：都有m，含有兩種運算乘法、加法；然后教師規(guī)范其特點，從而引出新知。）各項都含有一個公共的因式m，我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式。【把主動權(quán)交給學(xué)生，盡量讓他們自己說，也可嘗試讓他們?nèi)∶?，使他們體驗到成功的喜悅。】注意：公因式是一個多項式中每一項都含有的相同的因式。又如：b是多項式ab-b2各項的公因式2xy是多項式4x2y-6xy2z各項的公因式讓學(xué)生說出公因式，學(xué)生可能會說是2或者是x、y、2x、2y、2xy等，最后一起確定公因式2xy，讓學(xué)生初步體會到確定公因式的方法。㈢獨立練習(xí)，鞏固新知指出下列各多項式中各項的公因式（以搶答的形式）⑴ax+ay-a（a）⑵5x2y3-10x2y（5x2y）⑶24abc-9a2b2（3ab）⑷m2n+mn2（mn）⑸x(x-y)2-y(x-y)(x-y)【初一學(xué)生自控能力不強，上課時注意力易分散，注意力集中時間較短，對數(shù)學(xué)概念的理解膚淺，對規(guī)律的應(yīng)用生搬硬套，針對學(xué)生的這種特點，教師在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)搶答，引起學(xué)生興趣，積極參與教學(xué)進程，爭做課堂的主人?！空f明:本活動也可以改為尋找公因式游戲如:(根據(jù)提供的多項式和整式,尋找出這個多項式的公因式.)⑴ax+ay-a⑵5x2y3-10x2y⑶24abc-9a2b2⑷m2n+mn2⑸x(x-y)2-y(x-y)a,x,y5xy,5x2y3,5x2y3abc,9ab,3abmn,m2n,mn2x(x-y),y(x-y),(x-y)游戲規(guī)則:準(zhǔn)備好寫有整式和多項式的紙牌,學(xué)生分為四組,每組選四個同學(xué)游戲,其中3個同學(xué)舉一組題中的整式牌,第四個根據(jù)組員建議尋找出題中的公因式,并說明理由。顯然由定義可知，提取公因式法的關(guān)鍵是如何正確地尋找確定公因式的方法：（可以由學(xué)生討論總結(jié)，然后教師進行歸納）⑴公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)（當(dāng)系數(shù)是整數(shù)時）⑵字母取各項的相同字母，且各字母的指數(shù)取最低次冪（讓學(xué)生在游戲中團結(jié)協(xié)作，自主探索出方法，有利于發(fā)展思維能力及培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)表達交流的能力，打破了傳統(tǒng)的由教師講授找公因式的方法，學(xué)生被動接受；補充⑸是想讓學(xué)生了解公因式也可以是多項式。）根據(jù)分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆變形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b）這說明多項式ma+mb各項都含有的公因式可提到括號外面，將多項式ma+mb寫成m（a+b）的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法。定義：一般地，如果一個多項式的各項含有公因式，那么可把該公因式提取出來進行分解的方法叫做提取公因式法。㈣例題教學(xué)，運用新知把3pq3+15p3q分解因式通過上面的練習(xí)，學(xué)生會比較容易地找出公因式，所以這一步還是讓學(xué)生來操作。然后在黑板上正確規(guī)范地書寫提取公因式法的步驟。事后總結(jié)出提取公因式的一般步驟分兩步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式解：3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2)讓學(xué)生口答：把2x3+6x2分解因式【學(xué)生在探究、交流中能獲得一些初步概念和技能，但真正達到掌握知識與技能，還需要教師示范，學(xué)生模仿性學(xué)習(xí)，經(jīng)過規(guī)范化的示范，就能逐步培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S，正確的計算能力?！空f明：⑴應(yīng)特別強調(diào)確定公因式的兩個條件,以免漏取.⑵剛開始講,最好把公因式單獨寫出。①以顯提醒②強調(diào)提公因式③強調(diào)因式分解課堂練習(xí)：P156T1把4x2-8ax+2x分解因式（讓學(xué)生做，教師下去觀察并選擇有代表性的解答。）學(xué)生可能出現(xiàn)的解答：①4x2-8ax+2x=x（4x-8a+2）②4x2-8ax+2x=2（2x2-4ax+x）③4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）④4x2-8ax+2x=2x（2x-2a+1）⑤4x2-8ax+2x=2x（2x-8ax+2x）教師出示學(xué)生的解答，可先讓學(xué)生自行點評，找出分解因式的錯誤，而且這些錯誤都是以后學(xué)生練習(xí)中的常犯錯誤，接著由教師總結(jié)。這樣做比教師直接給出可能會更有效?！鞠茸寣W(xué)生自己動手做，暴露他們的錯誤，然后再進行點評，加深他們的記憶?！糠治觯赫页龉蚴?x，強調(diào)多項式中2x=2x×1解：4x2-8ax+2x=2x×2x-2x×4a+2x×1=2x（2x-4a+1）說明：當(dāng)多項式的某一項恰好是公因式時，這一項應(yīng)看成它與1的乘積，提公因式后剩下的應(yīng)是1。1作為項的系數(shù)通常可省略，但如果單獨成一項時，它在因式分解時不能漏項。這類題常有學(xué)生犯下面的錯誤：4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）注意：提公因式后的項數(shù)應(yīng)與原多項式的項數(shù)一樣，這樣可檢查是否漏項。把-3ab+6abx-9aby分解因式【讓學(xué)生自己觀察找出此例與前面兩例的不同點】學(xué)生可能會指出字母的個數(shù)不同…（只要學(xué)生說得合理，教師應(yīng)及時給予肯定與鼓勵）他們很快就會發(fā)現(xiàn)第一項的系數(shù)是“-”的，那么如何轉(zhuǎn)化呢？【由學(xué)生各述己見，教師不加評定，然后集體總結(jié)學(xué)生思維中的閃光點?！繎?yīng)先把它轉(zhuǎn)化成前面的情形，便可以因式分解了，所以應(yīng)先提負號轉(zhuǎn)化，然后再提公因式，提“-”號時，教師可適當(dāng)?shù)匾鎏砝ㄌ柗▌t，可謂解決“燃尾之急”。添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變號；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都要變號。課堂練習(xí)：P156T2【鞏固添括號法則】解：-3ab+6abx-9aby=-（3ab-6abx+9aby）=-3ab（1-2x+3y）說明：通過此例可看出應(yīng)用提取公因式法分解因式時，應(yīng)先觀察第一項系數(shù)的正負，負號時，運用添括號法則要提出負因數(shù)，此時一定要把各項變號。由此總結(jié)出提取公因式法的一般步驟。見P155課堂練習(xí)：P156T3【通過糾錯題，及時反饋信息，進行點評】探索：2（a-b）2-a+b能分解因式嗎？還是把問題先交給學(xué)生進行小組討論（四人一小組），鼓勵學(xué)生進行交流探索。可能有學(xué)生會提出好象沒有公因式？此時教師可以適當(dāng)?shù)攸c撥一下。比如可降低難度改為：2（a-b）2-（a-b），然后啟發(fā)學(xué)生如何轉(zhuǎn)化？從而解決問題。解：2（a-b）2-a+b=2（a-b）2-（a-b）=（a-b）［2（a-b）-1］=（a-b）（2a-2b-1）然后可追加一問：2（a-b）2-（b-a）3呢？讓學(xué)生積極思考，討論回答。注：n為偶數(shù)（a-b）n=（b-a）nn為奇數(shù)（a-b）n=-（b-a）n【讓他們從合作中去感受群體合作的力量，體驗展示自我的愉悅?！恐赋觯何覀冎来鷶?shù)式里的字母可以表示一個數(shù)、一個單項式、一個多項式。此多項式的公因式不明顯，但仔細觀察可發(fā)現(xiàn)，利用添括號法則把-a+b可變形成-（a+b），若把（a-b）看作m，原多項式就可以提取公因式a-b?！鞠?qū)W生滲透換元思想】【例題4培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，讓學(xué)生區(qū)分方法的差異?！竣閺娀?xùn)練，掌握新知把下列各式分解因式⑴2ax+2ay⑵x2y-xy2⑶a3+2a2-a⑷2mn-6m2n2+14m3n3⑸-ab2c+2a2⑹x（a+b）-y（a+b）⑺a（x-a）+b（a-x）-c（x-a）【讓學(xué)生上來板演，練習(xí)都是針對例題的直接應(yīng)用，同時可檢查學(xué)生對提取公因式法的靈活應(yīng)用?！竣曜兪接?xùn)練，擴展新知A組:將下列各式分解因式⑴3（a-b）2-6a+6b⑵-0.01x3y+o.2x2yz2⑶利用因式分解計算22×3.145+53×3.145+31.45×2.5（學(xué)習(xí)的最終目的是應(yīng)用，所以補充了此例，可讓學(xué)生體驗運用新知解決問題的喜悅。）B組:分解因式xa-xa-1+xa-2【供學(xué)有余力的學(xué)生練習(xí),讓不同層次的學(xué)生都能得到發(fā)展.】㈦整理知識,形成結(jié)構(gòu)同學(xué)們，今天這節(jié)課你學(xué)會了什么？在學(xué)習(xí)過程中你有哪些收獲？還有什么疑問？【培養(yǎng)學(xué)生反思自己學(xué)習(xí)過程的意識，讓學(xué)生在思考問題的過程中自己把整節(jié)內(nèi)容進行了梳理，并且逐步培養(yǎng)學(xué)生自我概括、總結(jié)能力，學(xué)會口頭表達能力。】㈧布置作業(yè)：作業(yè)本（2）§6.2課本P157【設(shè)計思想】心理學(xué)研究成果說明：一個人只要體驗到成功的欣慰與快樂，便會激起再一次追求成功勝利的信念和力量。因此我根據(jù)學(xué)生的心理特點和實踐認知水平，努力為他們創(chuàng)造成功的條件。在教學(xué)過程中采用類比、探索式教學(xué)，輔以講練結(jié)合,師生互動,引導(dǎo)學(xué)生習(xí)得自主、合作探索的方式,充分遵循學(xué)生的認知規(guī)律，使學(xué)生能順利地掌握重點，突破難點，提高能力；在充分尊重教材的原則下，適當(dāng)?shù)馗淖兞死}，增設(shè)了由淺入深，各有千秋的問題，為學(xué)生順利掌握提取公因式法提供了有利條件；(如搶答或游戲找公因式和例4)總而言之,努力營造出平等、輕松、活潑的教學(xué)氛圍。從新課標(biāo)評價理念出發(fā)，抓住學(xué)生語言、思想等方面的亮點給與表揚，不足的給予幫助、鼓勵，提高學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的信心。第6.3節(jié)，用乘法公式分解因式背景介紹本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了因式分解的概念，用提取公因式法分解因式后繼續(xù)學(xué)習(xí)的。在整式的乘法中學(xué)習(xí)了平方差公式，今天應(yīng)用此公式因式分解，關(guān)鍵在于學(xué)生必須有逆向的思維，換元的思想，能體會到公式中a、b可以是數(shù)字、單項式、多項式。把多項式轉(zhuǎn)換到平方差公式的模型然后依據(jù)公式因式分解。二、教學(xué)設(shè)計第1課時[教學(xué)內(nèi)容分析]在前一課時，學(xué)生加深了對因式分解的概念的理解，學(xué)會了用提取公因式法因式分解，所以本課時的重點在于讓學(xué)生體會到哪些多項式可用平方差公式分解，以及綜合應(yīng)用提取公因式法與平方差公式法對一些比較復(fù)雜的多項式進行因式分解。[教學(xué)目標(biāo)]1、經(jīng)歷平方差公式的產(chǎn)生過程，會用公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式2、認識a2－b2=（a＋b）（a－b）與（a＋b）（a－b）=a2－b2之間區(qū)別聯(lián)系3、體驗換元思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和解決問題能力。4、體會用符號表示公式的意義，形成初步的符號感。[教學(xué)重、難點]重點：掌握平方差公式的特點及運用此公式分解因式。難點：把多項式轉(zhuǎn)換到能用平方差公式分解因式的模式，綜合運用多種方法因式分解。[教學(xué)準(zhǔn)備]每兩名學(xué)生準(zhǔn)備一張正方形紙板和畫圖工具[教學(xué)過程]教學(xué)過程設(shè)計說明一、創(chuàng)設(shè)情景，引出課題問題（一）把如圖卡紙剪開，拼成一張長方形卡紙，作為一幅精美剪紙襯底，怎么剪？你能給出數(shù)學(xué)解釋嗎？這個圖形的剪拼在整式的乘法中學(xué)生已經(jīng)接觸過了，比較容易，估計學(xué)生能剪拼成功，可能得到以下兩條公式a2－b2=（a＋b）（a－b）與（a＋b）（a－b）=a2－b2想一想：（1）這兩條公式的名稱（2）公式（a＋b）（a－b）=a2－b2有什么作用？公式是多項式乘法的特殊形式，能簡化計算。（學(xué)生能說出最好，若有困難，教師點撥）（3）公式a2－b2=（a＋b）（a－b）左到右的形式發(fā)生了什么變化？（4）請用語言描述公式a2－b2=（a＋b）（a－b）教師板書：兩數(shù)的平方差等于兩數(shù)的和與兩數(shù)差的積。教師指出本課時就應(yīng)用平方差公式因式分解。從而提出課題。通過探究兩個圖形的變換而面積不變，從而引出公式，這是根據(jù)初一學(xué)生年齡特點，采用圖形變化來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。問題是知識能力生長點，通過富有實際意義的問題，激發(fā)學(xué)生原有認知，促使學(xué)生主動地進行探索和思考。二、整理新知，形成結(jié)構(gòu)]做一做：1、下列各式能用平方差公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式嗎？a、b分別表示什么？把下列各式分解因式（1）x2－1（2）m2－9（3）x2－4y2采用搶答形式例1把下列各式分解因式（1）16a2－1（2）－m2n2+4P2（3）x2－y4（4）（x+z）2－（y+z）2師生一起對話交流，對每一題都提問a、b分別表示什么？讓學(xué)生經(jīng)歷這過程后，能充分體驗到a、b可以是單項式，也可以是多項式。解題反思：上述的多項式都可用平方差公式分解因式，它們有什么共同點，學(xué)生討論、發(fā)言，老師糾正、完善：都可以轉(zhuǎn)化兩數(shù)的平方差，而且這兩數(shù)可以是單項式，也可以是多項式。若部分學(xué)生理解有困難，不妨把兩數(shù)用符號“□”和“△”表示，那么公式形象地表示為：□2－△2=（□+△）（□－△）教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生的認知規(guī)律，由淺如深，循序漸進，既面向全體學(xué)生，又體現(xiàn)出例題的層次性借助數(shù)學(xué)符號，能把有關(guān)的問題規(guī)范化，清晰化，建立正確的符號感三、內(nèi)化知識，嘗試成功辯一辯下列多項式可以用平方差公式分解因式嗎？說說你的理由（1）4x2+y2（2）4x2－（－y）2（3）－4x2－y2（4）－4x2+y2（5）a2－4（6）a2+32、練一練分解因式（1）25x2－4（2）121－4a2b2（3）－+4x2（4）x2－93、試一試讓學(xué)生編一些能用平方差公式進行因式分解的多項式，展示在黑板上，并讓其他同學(xué)解答、評價學(xué)生進一步理解能用平方差公式分解多項式的特點。讓學(xué)生互編互檢互評，注重學(xué)生間的相互評價方式的運用，不僅能更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更重要的是能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力。四、合作學(xué)習(xí)，延伸提高合作學(xué)習(xí)（一）分解下列因式（1）4x3y－9xy3（2）27a3bc－3ab3c（3）（2n+1）2－（2n－1）2教師注意觀察個小組的活動情況，并給予適當(dāng)?shù)恼f明和引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)表自己的意見和觀點，對學(xué)生的結(jié)論作出評價。解題反思：對于復(fù)雜的多項式，我們應(yīng)該怎么做？學(xué)生可能會說先應(yīng)該先提取公因式，或者說把多項式轉(zhuǎn)化可以采用平方差公式分解的模型?；蛘哒f應(yīng)該把多項式分解到每個因式不能再分解為止。等等，教師予以完善總結(jié)。合作學(xué)習(xí)（二）觀察下表，你還能繼續(xù)往下寫嗎？11=12－0233=22－1255=32－2277=42－32……你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，能用因式分解來說明你的發(fā)現(xiàn)嗎？如想直接利用平方差分解因式，則思維受阻，產(chǎn)生認識沖突，但通過討論，結(jié)合上面學(xué)生知識先提取分因式，然后采用公式則可解決至于(3)目的在于提醒學(xué)生一定要分解每一個因式不能分解為止。既可培養(yǎng)學(xué)生探究能力，又可讓學(xué)生體驗因式分解的用處，學(xué)以致用。六、小結(jié)提示，作業(yè)布置備選練習(xí)1、因式分解（1）（3x－4y）2－（4x+3y）2（2）16（3m－2n）2－25（m－n）2（3）16x4－y4z42、計算（1）19992－1998x2000（2）25x2652－1352x253、把一塊紙板形狀如圖，請剪一個b面積和這塊紙板相等的長方形紙板，求出這個長方形紙板的長和寬，并畫出圖形。四人一組，合作討論。a讓學(xué)生來評價自己的學(xué)習(xí)體驗過程，通過學(xué)生的反饋，進一步對教學(xué)進行深入反思，在深層次上更新教育觀念。作業(yè)布置做到分層，體現(xiàn)因材施教原則。設(shè)計理念：從情景的引入——模型構(gòu)建——應(yīng)用拓展來呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，在本節(jié)課的前面安排了平方差公式產(chǎn)生的背景，使學(xué)生經(jīng)歷過實際問題“符號化”的過程，有了一定的符號感。2、在復(fù)習(xí)了平方差公式后，通過一組由淺入深、由易到難的題組逐題遞進，落實本節(jié)課的教學(xué)重點。在教學(xué)形式上采用學(xué)生口述、互評等多種方法，激活學(xué)生的思維，營造良好的課堂氛圍。6．3用乘法公式分解因式的第二課時用完全平方公式分解因式[教學(xué)內(nèi)容分析]本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了提取公因式法，平方差公式分解因式法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，是前一章整式乘法中完全平方公式的逆運用，是后一章分式的基礎(chǔ)，起著承上啟下的的作用，在教學(xué)方面的與上一課時（用平方差公式分解因式有類似之處）學(xué)生比較容易接受，所以在本課一開始就通過練習(xí)，復(fù)習(xí)用平方差分解因式，而且讓學(xué)生注意到因式分解的大忌，不能淺嘗而止，必須分解因式到不能分解為止，讓學(xué)生重溫因式分解的方法不是孤立的，而是各種方法的綜合運用。但是判斷一個多項式是完全平形式難度比較大，所以本課時關(guān)鍵在于如何判斷一個多項式是完全平方式。[教學(xué)目標(biāo)]知識目標(biāo)：會判斷多項式是完全平方式，并掌握用此公式分解因式的方法。能力目標(biāo)：（1）培養(yǎng)學(xué)生換元的思想，養(yǎng)成嚴密的思維習(xí)慣，進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察能力。分析能力和概括能力（2）培養(yǎng)學(xué)生主動探索，敢于實踐，勇于發(fā)現(xiàn)，合作交流的精神。情感目標(biāo)（1）通過對形式不同的問題解答，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使全體學(xué)生積極參與，體驗到成功的喜悅。（2）引導(dǎo)學(xué)生在課堂活動中感悟知識的生成，發(fā)展和變化。[教學(xué)重、難點]重點：用完全平方公式分解因式難點：靈活運用完全平方公式分解因式[教學(xué)過程]教學(xué)過程設(shè)計說明復(fù)習(xí)引入，提出課題做一做：把下列各式分解因式（學(xué)生上臺板演）（1）ax4－ax2（2）16m4－n4ax4－ax2=ax2（x+1）（x－1）16m4－n4=（4m2）2－（n2=（4m2+n2）（4m2=（4m2+n2）（2m+n）（2估計有部分學(xué)生只是把多項式分解到（4m2+n2）（4m2－n2）的形式，教師予以強調(diào)指出必須分解到每個因式不能分解為止。（2）考一考a、除了平方差公式外，還有那些公式？b、如何表示？（a+b）2=a2+2ab+b2（a－b）2=a2－2ab+b2c、怎樣用語言表述？d、把公式應(yīng)該怎么寫？教師板書a2+2ab+b2=（a+b）2a2－2ab+b2=（a－b）2e、用語言怎么表達？f、教師引出課題復(fù)習(xí)鋪墊對學(xué)習(xí)新知識是必要的，它可以掃清學(xué)習(xí)新知識的障礙，順利進入新的知識學(xué)習(xí)之中。讓學(xué)生自己感悟新舊知識的交替、銜接，有利于學(xué)生在實踐中體會知識的生成過程。語言是思維的外殼，嘗試用語言表達公式，既提高語言表達能力，又由感性認識發(fā)展到理性認識。同時發(fā)展學(xué)生的評價能力二、整理新知，形成結(jié)構(gòu)1、填寫下表（若某一欄不適用，請?zhí)钊氩皇?，并說明理由）多項式是否是完全平方式a、b各表示什么表示（a+b）2或（a－b）2x2－6x+9是a表示x，b表示3（x－3）24y2+4y+11+4a2x2++1+m+m24y2－12xy+9x2（2x+y）2－6（2x+y）+9先出現(xiàn)表格的部分內(nèi)容，然后逐漸出示多項式，由學(xué)生搶答。進行小組比賽。要求學(xué)生暴露思維過程：如x2－6x+9，因為由第一項可知道a=x，由第三項可知b=3,而且2ab=2×3x剛好等于中間項。所以這多項式是完全平方式。因為中間項符號為負，所以多項式可分解為（x－3）22、反思：（1）觀察第三列可發(fā)現(xiàn)a、b各表示什么，學(xué)生觀察討論總結(jié)可得a、b可以表示單項式，多項式。（2）猜測部分學(xué)生能理解a、b可表示單項式和多項式。由于在公式中有字母a、b，被分解的多項式中往往也含有字母a、b，學(xué)生非常容易混淆，部分學(xué)生理解有困難，不妨用“□”表示a，用△表示b，則公式可表示為什么形式？易得□2+2□△+△2=（□+△）2□2－2□△+△2=（□－△）2在進一步引導(dǎo)學(xué)生掌握完全平方式的特征的同時，能讓學(xué)生對公式的特征有足夠的理解，并在此的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用自己的語言來闡述思考過程，這是符合學(xué)生的認知規(guī)律的，也體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)下的理念由于初一同學(xué)活潑好動好表現(xiàn)，爭強好勝，集體榮譽感強，課堂里引進了競爭機制，發(fā)動全員參與，提高了學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)了評價主體和評價方式的多元化。由學(xué)生觀察，思考，培養(yǎng)學(xué)生勤動腦筋和表達，概括和歸納能力在教學(xué)中符號是必不可少的語言，它能清晰而簡明地表達數(shù)學(xué)思想與規(guī)律。引導(dǎo)探究，自主合作在上面的表格中，1+4a2x2++不是完全平方式，如何修改使之成為完全平方式？開放性問題的提出，再次激發(fā)了學(xué)生的熱情，在合作交流中，不但能鞏固知識，更能培養(yǎng)學(xué)生與人合作的精神和創(chuàng)新的意識，同時也是遵循了鞏固性原則。互問互檢，展示個性生互編互答互評2、學(xué)生相互間的活動結(jié)束后，教師不失時機對學(xué)生說老師也出題考考咱們的同學(xué)。然后教師給出課本163頁的課內(nèi)練習(xí)1，這些等式平時學(xué)生就很容易出錯，讓學(xué)生暴露問題，然后師生一起糾正。遵循鞏固性和發(fā)展性相結(jié)合的原則，進一步展示學(xué)生的個性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。學(xué)生精彩的一面，教師都給予肯定，讓學(xué)生享受成功的喜悅，即使答得不夠完整，但是他能積極思考也予以表揚。合作學(xué)習(xí)，延伸提高把下列各式分解因式（1）－x2+4xy－4y2（2）3ax2+6axy+3ay2（3）m4+4以四人為一組，合作討論，討論結(jié)果分組匯報交流，教師予以評價。對于（1）－x2+4xy－4y2學(xué)生若能發(fā)現(xiàn)提取負號后是完全平方公式，予以表揚，若不能我提示結(jié)合完全平方公式的三項的符號特點與（1）對比，你有什么發(fā)現(xiàn)？對于（3），學(xué)生已經(jīng)有了添項的經(jīng)驗，可是添的中間項正負都有可能，就放手讓學(xué)生添，碰壁后學(xué)生會豁朗開朗的。再一次大膽地放手讓學(xué)生參與，且不失時機地表揚，以增強同學(xué)們的自信心，使同學(xué)能保持強烈的學(xué)習(xí)欲望，從而提高教學(xué)效果歸納小結(jié)，布置作業(yè)通過本節(jié)課你學(xué)會了什么，有什么收獲課外作業(yè)：請同學(xué)們設(shè)計多樣化的多項式，然后同學(xué)之間相互解答。課堂小結(jié)讓學(xué)生回顧，目的是充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，給他們發(fā)言的機會，從而也鍛煉了他們歸納、整理、表達的能力。設(shè)計理念：為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，改變課堂過于注重知識傳授的傾向，變被動乏味的學(xué)習(xí)為主動愉快的學(xué)習(xí)，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和經(jīng)驗，實施開放式教學(xué)，讓學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)活動，把課堂上得高效，在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生互編互檢互評，探究等活動，讓愉快的學(xué)習(xí)貫穿教學(xué)的始終，充分體現(xiàn)了“自主合作，探究交流”的教學(xué)理念。引導(dǎo)學(xué)生在獲取知識的過程沖，學(xué)會觀察，概括，表達、換元等數(shù)學(xué)思想。第6.4因式分解的簡單應(yīng)用翁洋一中何菊莉背景材料：因式分解是初中數(shù)學(xué)中的一個重點內(nèi)容，也是一項重要的基本技能和基礎(chǔ)知識，更是一種數(shù)學(xué)的變形方法，在今后的學(xué)習(xí)中有著重要的作用。因此，除了單純的因式分解問題外，因式分解在解某些數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的作用，因式分解在三角形中的應(yīng)用，因式分解可以用來證明代數(shù)問題，用于代數(shù)式的求值，用于求不定方程，用于解應(yīng)用題解決有關(guān)復(fù)雜數(shù)值的計算，本節(jié)課的例題因式分解在數(shù)學(xué)題中的簡單應(yīng)用。教材分析：本節(jié)課是本章的最后一節(jié)，是學(xué)生學(xué)習(xí)因式分解初步應(yīng)用，首先要使學(xué)生體會到因式分解在數(shù)學(xué)中應(yīng)用，其次給學(xué)生提供更多機會體驗主動學(xué)習(xí)和探索的“過程”與“經(jīng)歷”，使多數(shù)學(xué)里擁有一定問題解決的經(jīng)驗。教學(xué)目標(biāo)：1、在整除的情況下，會應(yīng)用因式分解，進行多項式相除。2、會應(yīng)用因式分解解簡單的一元二次方程。3、體驗數(shù)學(xué)問題中的矛盾轉(zhuǎn)化思想。4、培養(yǎng)觀察和動手能力，自主探索與合作交流能力。教學(xué)重點：學(xué)會應(yīng)用因式分解進行多項式除法和解簡單一元二次方程。教學(xué)難點：應(yīng)用因式分解解簡單的一元二次方程。設(shè)計理念：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，主要采用師生合作控討式課堂教學(xué)方法，以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，動手實踐訓(xùn)練為主線，創(chuàng)新思維為核心，態(tài)度情感能力為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，動手實踐，合作交流。注重使學(xué)生經(jīng)辦觀察、操作、推理等探索過程。這種教學(xué)理念，反映了時代精神，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能有效地