概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第20講11/21/20221

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第20講11/21/20221

第五章大數(shù)定律與中心極限定理11/21/20222

第五章大數(shù)定律與中心極限定理11/21/20222契比雪夫不等式

設(shè)隨機(jī)變量X有期望值E(X)及方差D(X),則任給e>0,有11/21/20223契比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X有期望值E(X)及方差D示意圖E(X)+eE(X)E(X)-ef(x)xD(X)/e211/21/20224示意圖E(X)+eE(X)E(X)-ef(x)xD(X)/證如X是離散型隨機(jī)變量,那么11/21/20225證如X是離散型隨機(jī)變量,那么11/21/20225如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量,X~f(x),則11/21/20226如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量,X~f(x),則11/21/20例1設(shè)X是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),若給定e=1,2,實(shí)際計(jì)算P(|X-E(X)|e),并驗(yàn)證契比雪夫不等式成立.

解因P(X=k)=1/6,(k=1,2,3,4,5,6)11/21/20227例1設(shè)X是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),若給定e=1,2,實(shí)例2設(shè)電站供電所有10000盞電燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,而假定開關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立,試用切比雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6800與7200之間(不包括6800與7200)的概率.11/21/20228例2設(shè)電站供電所有10000盞電燈,夜晚每一盞燈開燈的解令X為同時(shí)開燈的數(shù)目,則X~B(10000,0.7)11/21/20229解令X為同時(shí)開燈的數(shù)目,則X~B(10000,0.7)習(xí)題一顆骰子連擲4次,點(diǎn)數(shù)之和為X,用契比雪夫不等式估計(jì)P(10<X<18).

解假設(shè)X1,X2,X3,X4為1,2,3,4次擲得的點(diǎn)數(shù).則X=X1+X2+X3+X4,而可以求得11/21/202210習(xí)題一顆骰子連擲4次,點(diǎn)數(shù)之和為X,用契比雪夫不等式估大數(shù)定律的概念例1擲一顆骰子,出現(xiàn)1點(diǎn)的概率是1/6,在擲的次數(shù)比較少時(shí),出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率可能與1/6相差很大,但是在擲的次數(shù)很多時(shí),出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率接近1/6是必然的.例2測(cè)量一個(gè)長(zhǎng)度a,一次測(cè)量的結(jié)果不見得就等于a,量了若干次,其算術(shù)平均值仍不見得等于a,但當(dāng)測(cè)量次數(shù)很多時(shí),算術(shù)平均值接近于a幾乎是必然的.11/21/202211大數(shù)定律的概念例1擲一顆骰子,出現(xiàn)1點(diǎn)的概率是1/一、算術(shù)平均值

在相同條件下對(duì)某一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行反復(fù)地試驗(yàn),計(jì)劃試驗(yàn)n次,就試驗(yàn)方案而言,這樣的試驗(yàn)將產(chǎn)生出相互獨(dú)立且同樣分布的n個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,...Xn.將這n個(gè)隨機(jī)變量加起來除以n稱做這n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值,

11/21/202212一、算術(shù)平均值

在相同條件下對(duì)某一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行反復(fù)n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限增大的時(shí)候,此隨機(jī)變量將趨向于常數(shù),即數(shù)學(xué)期望,這就是大數(shù)定律.和極限定義的區(qū)別：11/21/202213n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限增大的時(shí)候,n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限增大的時(shí)候,此隨機(jī)變量將趨向于常數(shù),即數(shù)學(xué)期望,這就是大數(shù)定律.和極限定義的區(qū)別：傳統(tǒng)的一個(gè)數(shù)列{an}的極限定義為,任給一個(gè)非常小的實(shí)數(shù)e,存在著一個(gè)正數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),|an-a|<e.但概率不行.比如說雖然擲硬幣試驗(yàn)次數(shù)增加時(shí)正面出現(xiàn)的頻率將趨于0.5,但無論試驗(yàn)多少回,次次正面向上的機(jī)會(huì)都是存在的.11/21/202214n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限增大的時(shí)候,定義有關(guān)隨機(jī)變量的極限的辦法--均方收斂.當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的方差為0時(shí),這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上就是一個(gè)常數(shù).那么,可以知道,一組相互獨(dú)立同分布的期望為m方差為s2隨機(jī)變量,它們的n個(gè)變量的算術(shù)平均值的期望和方差為11/21/202215定義有關(guān)隨機(jī)變量的極限的辦法--均方收斂.當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的二、均方收斂.

一組相互獨(dú)立同分布的期望為m方差為s2隨機(jī)變量,它們的n個(gè)變量的算術(shù)平均值的期望和方差為11/21/202216二、均方收斂.

一組相互獨(dú)立同分布的期望為m可見當(dāng)隨著試驗(yàn)次數(shù)增加,n次試驗(yàn)的算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)期望將保持不變,而其方差則隨著n的增加而減少,趨向于0。

因此可以認(rèn)為算術(shù)平均值將趨向于一個(gè)常數(shù),即隨機(jī)變量的期望.

定義：當(dāng)一列隨機(jī)變量的方差趨向于0的時(shí)候,如果它們的數(shù)學(xué)期望不變,為m,則稱為這組隨機(jī)變量均方收斂于數(shù)學(xué)期望m,11/21/202217可見當(dāng)隨著試驗(yàn)次數(shù)增加,n次試驗(yàn)的算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)定義：當(dāng)一列隨機(jī)變量的方差趨向于0的時(shí)候,如果它們的數(shù)學(xué)期望不變,為m,則稱這組隨機(jī)變量均方收斂于數(shù)學(xué)期望m,11/21/202218定義：當(dāng)一列隨機(jī)變量的方差趨向于0的時(shí)候,三、依概率收斂

契比雪夫不等式中由此可見,如果D(Yn)趨向于0,則Yn落在其期望m周圍的任意一個(gè)小區(qū)間(m-e,m+e)內(nèi)的概率就趨向于1,定義Y1,Y2,…Yn….依概率收斂于m.11/21/202219三、依概率收斂

契比雪夫不等式中由此可見,如果D(Yn)趨定義若存在常數(shù)a,使對(duì)于任何e>0,有11/21/202220定義若存在常數(shù)a,使對(duì)于任何e>0,有11/21/2定理(辛欽大數(shù)定律p147)如果X1,X2,...是相互獨(dú)立并且具有相同分布的隨機(jī)變量,有

E(Xi)=a(i=1,2,...),則有這個(gè)定理說明我們應(yīng)當(dāng)相信只要反復(fù)試驗(yàn),則一個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值將趨向于常數(shù),通常就是數(shù)學(xué)期望.11/21/202221定理(辛欽大數(shù)定律p147)如果X1,X2,...是相互定理(伯努利大數(shù)定律)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限增加時(shí),事件A發(fā)生的頻率X/n(X是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù))滿足,

這個(gè)定理說明在試驗(yàn)條件不變的情況下,重復(fù)進(jìn)行多次試驗(yàn)時(shí),任何事件A發(fā)生的頻率將趨向于概率.11/21/202222定理(伯努利大數(shù)定律)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限中心極限定理中心極限定理是概率論的一個(gè)非常重要的定理,它原來叫中心極限定律.描述:如果多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相加,不管它們是離散的還是連續(xù)的或者是任何類型的,只要它們大小相差并不懸殊,則加起來以后得到的隨機(jī)變量,就近似服從正態(tài)分布.11/21/202223中心極限定理中心極限定理是概率論的一個(gè)非常重要正態(tài)分布的概率密度的圖形xmm+sm-s11/21/202224正態(tài)分布的概率密度的圖形xmm+sm-s11/21/2022二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量可看作許多相互獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)變量之和,下面是當(dāng)X~B(20,0.5)時(shí),X的概率分布圖11/21/202225二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量可看作許多相互獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)變量之泊松分布相當(dāng)于二項(xiàng)分布中p很小n很大的分布,因此,參數(shù)l=np當(dāng)很大時(shí)也相當(dāng)于n特別大,這個(gè)時(shí)候泊分布也近似服從正態(tài)分布,下面是l=30時(shí)的泊松概率分布圖.11/21/202226泊松分布相當(dāng)于二項(xiàng)分布中p很小n很大的分布,因此,參數(shù)l在c2(n)分布中,如果自由度n很大,也可以認(rèn)為是多個(gè)自由度為1的相互獨(dú)立的c2(1)分布的隨機(jī)變量的和,因此也近似服從正態(tài)分布.下面是c2(60)的概率密度曲線.x06012011/21/202227在c2(n)分布中,如果自由度n很大,也可以認(rèn)為是多個(gè)自例1一個(gè)螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量,期望值是一兩,標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩.求一盒(100個(gè))螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2斤的概率(用中心極限定理).

解設(shè)一盒重量為X,盒中第i個(gè)螺絲釘?shù)闹亓繛閄i,(i=1,2,...,100).X1,...,X100相互獨(dú)立,

11/21/202228例1一個(gè)螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量,期望值是一兩,標(biāo)準(zhǔn)例2對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸,每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量,其期望值為2,方差為1.69.求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率.

解令第i次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目為Xi,100次轟炸命中目標(biāo)炸彈數(shù)目X=X1+X2+...+X100.E(X)=200,D(X)=169,近似有X~N(200,132)11/21/202229例2對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸,每次轟炸命中目標(biāo)的定理拉普拉斯定理,設(shè)X~B(n,p)p15011/21/202230定理拉普拉斯定理,設(shè)X~B(n,p)p15011/2例310部機(jī)器獨(dú)立工作,每部停機(jī)的概率為0.2.求3部機(jī)器同時(shí)停機(jī)的概率.

解10部機(jī)器中同時(shí)停機(jī)的數(shù)目X~B(10,0.2)11/21/202231例310部機(jī)器獨(dú)立工作,每部停機(jī)的概率為0.2.例4設(shè)電站供電所有10000盞電燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,而假定開關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立,用拉普拉斯定理估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率.

解開著的燈數(shù)X~B(10000,0.7)11/21/202232例4設(shè)電站供電所有10000盞電燈,夜晚每一盞燈開燈例5產(chǎn)品為廢品的概率為p=0.005,用中心極限定理求10000件產(chǎn)品中廢品數(shù)不大于70的概率.

解10000件產(chǎn)品中的廢品數(shù)X~B(10000,0.005),11/21/202233例5產(chǎn)品為廢品的概率為p=0.005,用中心極限定理求1例6每顆炮彈命中飛機(jī)的概率為0.01,求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.

解命中飛機(jī)的炮彈數(shù)目X~B(500,0.01)11/21/202234例6每顆炮彈命中飛機(jī)的概率為0.01,求500發(fā)炮彈

結(jié)束11/21/202235

結(jié)束11/21/202235

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第五章大數(shù)定律與中心極限定理11/21/202237

第五章大數(shù)定律與中心極限定理11/21/20222契比雪夫不等式

設(shè)隨機(jī)變量X有期望值E(X)及方差D(X),則任給e>0,有11/21/202238契比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X有期望值E(X)及方差D示意圖E(X)+eE(X)E(X)-ef(x)xD(X)/e211/21/202239示意圖E(X)+eE(X)E(X)-ef(x)xD(X)/證如X是離散型隨機(jī)變量,那么11/21/202240證如X是離散型隨機(jī)變量,那么11/21/20225如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量,X~f(x),則11/21/202241如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量,X~f(x),則11/21/20例1設(shè)X是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),若給定e=1,2,實(shí)際計(jì)算P(|X-E(X)|e),并驗(yàn)證契比雪夫不等式成立.

解因P(X=k)=1/6,(k=1,2,3,4,5,6)11/21/202242例1設(shè)X是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),若給定e=1,2,實(shí)例2設(shè)電站供電所有10000盞電燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,而假定開關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立,試用切比雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6800與7200之間(不包括6800與7200)的概率.11/21/202243例2設(shè)電站供電所有10000盞電燈,夜晚每一盞燈開燈的解令X為同時(shí)開燈的數(shù)目,則X~B(10000,0.7)11/21/202244解令X為同時(shí)開燈的數(shù)目,則X~B(10000,0.7)習(xí)題一顆骰子連擲4次,點(diǎn)數(shù)之和為X,用契比雪夫不等式估計(jì)P(10<X<18).

解假設(shè)X1,X2,X3,X4為1,2,3,4次擲得的點(diǎn)數(shù).則X=X1+X2+X3+X4,而可以求得11/21/202245習(xí)題一顆骰子連擲4次,點(diǎn)數(shù)之和為X,用契比雪夫不等式估大數(shù)定律的概念例1擲一顆骰子,出現(xiàn)1點(diǎn)的概率是1/6,在擲的次數(shù)比較少時(shí),出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率可能與1/6相差很大,但是在擲的次數(shù)很多時(shí),出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率接近1/6是必然的.例2測(cè)量一個(gè)長(zhǎng)度a,一次測(cè)量的結(jié)果不見得就等于a,量了若干次,其算術(shù)平均值仍不見得等于a,但當(dāng)測(cè)量次數(shù)很多時(shí),算術(shù)平均值接近于a幾乎是必然的.11/21/202246大數(shù)定律的概念例1擲一顆骰子,出現(xiàn)1點(diǎn)的概率是1/一、算術(shù)平均值

在相同條件下對(duì)某一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行反復(fù)地試驗(yàn),計(jì)劃試驗(yàn)n次,就試驗(yàn)方案而言,這樣的試驗(yàn)將產(chǎn)生出相互獨(dú)立且同樣分布的n個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,...Xn.將這n個(gè)隨機(jī)變量加起來除以n稱做這n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值,

11/21/202247一、算術(shù)平均值

在相同條件下對(duì)某一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行反復(fù)n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限增大的時(shí)候,此隨機(jī)變量將趨向于常數(shù),即數(shù)學(xué)期望,這就是大數(shù)定律.和極限定義的區(qū)別：11/21/202248n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限增大的時(shí)候,n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限增大的時(shí)候,此隨機(jī)變量將趨向于常數(shù),即數(shù)學(xué)期望,這就是大數(shù)定律.和極限定義的區(qū)別：傳統(tǒng)的一個(gè)數(shù)列{an}的極限定義為,任給一個(gè)非常小的實(shí)數(shù)e,存在著一個(gè)正數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),|an-a|<e.但概率不行.比如說雖然擲硬幣試驗(yàn)次數(shù)增加時(shí)正面出現(xiàn)的頻率將趨于0.5,但無論試驗(yàn)多少回,次次正面向上的機(jī)會(huì)都是存在的.11/21/202249n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限增大的時(shí)候,定義有關(guān)隨機(jī)變量的極限的辦法--均方收斂.當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的方差為0時(shí),這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上就是一個(gè)常數(shù).那么,可以知道,一組相互獨(dú)立同分布的期望為m方差為s2隨機(jī)變量,它們的n個(gè)變量的算術(shù)平均值的期望和方差為11/21/202250定義有關(guān)隨機(jī)變量的極限的辦法--均方收斂.當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的二、均方收斂.

一組相互獨(dú)立同分布的期望為m方差為s2隨機(jī)變量,它們的n個(gè)變量的算術(shù)平均值的期望和方差為11/21/202251二、均方收斂.

一組相互獨(dú)立同分布的期望為m可見當(dāng)隨著試驗(yàn)次數(shù)增加,n次試驗(yàn)的算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)期望將保持不變,而其方差則隨著n的增加而減少,趨向于0。

因此可以認(rèn)為算術(shù)平均值將趨向于一個(gè)常數(shù),即隨機(jī)變量的期望.

定義：當(dāng)一列隨機(jī)變量的方差趨向于0的時(shí)候,如果它們的數(shù)學(xué)期望不變,為m,則稱為這組隨機(jī)變量均方收斂于數(shù)學(xué)期望m,11/21/202252可見當(dāng)隨著試驗(yàn)次數(shù)增加,n次試驗(yàn)的算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)定義：當(dāng)一列隨機(jī)變量的方差趨向于0的時(shí)候,如果它們的數(shù)學(xué)期望不變,為m,則稱這組隨機(jī)變量均方收斂于數(shù)學(xué)期望m,11/21/202253定義：當(dāng)一列隨機(jī)變量的方差趨向于0的時(shí)候,三、依概率收斂

契比雪夫不等式中由此可見,如果D(Yn)趨向于0,則Yn落在其期望m周圍的任意一個(gè)小區(qū)間(m-e,m+e)內(nèi)的概率就趨向于1,定義Y1,Y2,…Yn….依概率收斂于m.11/21/202254三、依概率收斂

契比雪夫不等式中由此可見,如果D(Yn)趨定義若存在常數(shù)a,使對(duì)于任何e>0,有11/21/202255定義若存在常數(shù)a,使對(duì)于任何e>0,有11/21/2定理(辛欽大數(shù)定律p147)如果X1,X2,...是相互獨(dú)立并且具有相同分布的隨機(jī)變量,有

E(Xi)=a(i=1,2,...),則有這個(gè)定理說明我們應(yīng)當(dāng)相信只要反復(fù)試驗(yàn),則一個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值將趨向于常數(shù),通常就是數(shù)學(xué)期望.11/21/202256定理(辛欽大數(shù)定律p147)如果X1,X2,...是相互定理(伯努利大數(shù)定律)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限增加時(shí),事件A發(fā)生的頻率X/n(X是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù))滿足,

這個(gè)定理說明在試驗(yàn)條件不變的情況下,重復(fù)進(jìn)行多次試驗(yàn)時(shí),任何事件A發(fā)生的頻率將趨向于概率.11/21/202257定理(伯努利大數(shù)定律)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無限中心極限定理中心極限定理是概率論的一個(gè)非常重要的定理,它原來叫中心極限定律.描述:如果多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相加,不管它們是離散的還是連續(xù)的或者是任何類型的,只要它們大小相差并不懸殊,則加起來以后得到的隨機(jī)變量,就近似服從正態(tài)分布.11/21/202258中心極限定理中心極限定理是概率論的一個(gè)非常重要正態(tài)分布的概率密度的圖形xmm+sm-s11/21/202259正態(tài)分布的概率密度的圖形xmm+sm-s11/21/2022二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量可看作許多相互獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)變量之和,下面是當(dāng)X~B(20,0.5)時(shí),X的概率分布圖11/21/202260二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量可看作許多相互獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)變量之泊松分布相當(dāng)于二項(xiàng)分布中p很小n很大的分布,因此,參數(shù)l=np當(dāng)很大時(shí)也相當(dāng)于n特別大,這個(gè)時(shí)候泊分布也近似服從正態(tài)分布,下面是l=30時(shí)的泊松概率分布圖.11/21/202261泊松分布相當(dāng)于二項(xiàng)分布中p很小n很大的分布,因此,參數(shù)l在c2(n)分布中,如果自由度n很大,也可以認(rèn)為是多個(gè)自由度為1的相互獨(dú)立的c2(1)分布的隨機(jī)變量的和,因此也近似服從正態(tài)分布.下面是c2(60)的概率密度曲線.x06012011/21/202262在c2(n)分布中,如果自由度n很大,也可以認(rèn)為是多個(gè)自例1一個(gè)螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量,期望值是一兩,標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩.求一盒(100個(gè))螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2斤的概率(用中心極限定理).

解設(shè)一盒重量為X,盒中第i個(gè)螺絲釘?shù)闹亓繛閄i,(i=1,2,...,100).X