第一章矢量分析1本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3

標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4

矢量場(chǎng)的通量與散度1.5

矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度1.6

無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)1.7

拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理21.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

3矢量用坐標(biāo)分量表示zxy4（1）矢量的加減法兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律5（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角6（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則7（5）矢量的混合運(yùn)算——

分配律——

分配律——

標(biāo)量三重積——

矢量三重積81.2

三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系：坐標(biāo)變量：描述坐標(biāo)軸的量正交曲線坐標(biāo)系：三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系坐標(biāo)軸：三條正交曲線直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系91.直角坐標(biāo)系

位置矢量坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點(diǎn)P(x0,y0,z0)（平面）oxy（平面）（平面）P

直角坐標(biāo)系

10位置矢量面元矢量線元矢量體積元

x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx112.圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量：坐標(biāo)單位矢量：圓柱坐標(biāo)系變化范圍：變換關(guān)系：12圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)之間單位矢量的變換關(guān)系

ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系f13線元矢量體積元面元矢量位置矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元143.球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量：坐標(biāo)單位矢量變化范圍：變換關(guān)系：15坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

球坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)oqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq16線元矢量體積元面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元位置矢量171.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度☆標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)：物理量是為標(biāo)量矢量場(chǎng)：物理量是矢量時(shí)變場(chǎng)：場(chǎng)的概念：物理量在空間區(qū)域上的一個(gè)確定分布靜態(tài)場(chǎng)：

例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等

例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。18標(biāo)量場(chǎng)的等值面

等值面:

標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。標(biāo)量場(chǎng)的等值線(面)192.方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。概念：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向減小；

——u(M)沿方向無變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？——的方向余弦。

式中：

20梯度的表達(dá)式：圓柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系

3.標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或）意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念：

其中

取得最大值的方向M0梯度的概念

21標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增加）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。梯度的性質(zhì)：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影，即22梯度運(yùn)算的基本公式：23

解

(1)

例1.3.1

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：

(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。24

(2)而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。251.4矢量場(chǎng)的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向。矢量線OM

262.矢量場(chǎng)的通量

問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大?。恳胪康母拍?。

通量的概念其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。如果S是閉合曲面，則面積元矢量——外法向單位矢量27通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等三種可能結(jié)果通量的物理意義283.矢量場(chǎng)的散度散度的概念：散度的意義：通量源密度■散度表征矢量場(chǎng)的通量源的分布特性

(正源)

(負(fù)源)

(無源）29圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：30直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP31根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度

表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為324.散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。331.5矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度

矢量場(chǎng)的環(huán)流磁感應(yīng)線要么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線流速場(chǎng)。34（1）環(huán)流的概念矢量場(chǎng)沿閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即（2）環(huán)流面密度稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向

的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向

有關(guān)。矢量場(chǎng)的環(huán)流35而

推導(dǎo)

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計(jì)算的示意圖

直角坐標(biāo)系中

、、的表達(dá)式36于是

同理可得故得概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（3）矢量場(chǎng)的旋度37旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系38旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零393.斯托克斯定理斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即404.散度和旋度的區(qū)別

411.無旋場(chǎng)1.6無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)性質(zhì)：

，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)42432.無散場(chǎng)

僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)441.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理

1.拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——

拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系45矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：462.格林定理

或以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。

設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

及在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則由利用令47基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。

格林定理說明了區(qū)域V中的場(chǎng)與邊界S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。

此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。48式中：1.8亥姆霍茲定理