歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！專題06雙曲線方程類型一雙曲線方程1．（2022·河南·高二期中）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由方程表示雙曲線可得，解得，顯然能推出，反之不能推出，故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A.2．（2022·上?！ね瑵?jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線一支 C．兩條射線 D．一條射線【答案】B【解析】點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,即動(dòng)點(diǎn),到定點(diǎn)距離減去到的距離，差等于4，即,且，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，故選：B3．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線是其左右焦點(diǎn).圓，點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．8【答案】A【解析】由題設(shè)知，，，，圓的半徑由點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)知，∴∴.故選：A4．（2022·河北·衡水市第二中學(xué)高二期中）已知雙曲線：的上、下焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記，，，∵，∴，在中，由余弦定理得，配方得，即，∴，由任意三角形的面積公式得，∴，而，，，故選：A.類型二雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)5．（2022·甘肅·臨澤縣第一中學(xué)高二期中）已知是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．雙曲線C的漸近線方程為 B．點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為C．的面積為 D．以為直徑的圓的方程為【答案】D【解析】由雙曲線方程知，焦點(diǎn)在軸，漸近線方程為，A正確；，以為直徑的圓的方程是，D錯(cuò)；由得或，由對(duì)稱性知點(diǎn)橫坐標(biāo)是，B正確；，C正確．故選：D．6．（2022·河南·平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開(kāi)學(xué)考試（文））黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618．這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．一些名畫(huà)、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫(huà)面的0.618處．離心率為黃金比的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若黃金雙曲線的右頂點(diǎn)為A，虛軸的上端點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，則（

）．A． B．0 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．故選：B7．（2022·福建·廈門(mén)一中高二期中）記雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與的左支交于兩點(diǎn)，且，以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由得：；；由雙曲線定義可知：，，，；線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，；在中，，即，解得：；在中，，即，即，，，則的漸近線方程為.故選：C.8．（2022·重慶市青木關(guān)中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知雙曲線C：的一條漸近線方程是，過(guò)其左焦點(diǎn)作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，則截得的弦長(zhǎng)（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】雙曲線C：的一條漸近線方程是，，即左焦點(diǎn)，，，，，雙曲線C的方程為易知直線l的方程為，設(shè)，，由，消去y可得，，故選：D類型三：雙曲線離心率9．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，若C的右支上的任意一點(diǎn)M滿足，則C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知可得，若，即，右支上的點(diǎn)均滿足，只需的最小值滿足即可，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最小，此時(shí)，故，即,,或，即或，可得或，解得或雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：D10．（2022·江西·贛州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為（

）A．5 B． C． D．4【答案】A【解析】點(diǎn)分別是線段和的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，解得：，，，即，解得?故選：A11．（2022·江西·高二階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)F為雙曲線(，)的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在雙曲線左支上)，連接BF并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)C，且，AF⊥BC，則該雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，為雙曲線右焦點(diǎn)，則根據(jù)對(duì)稱性知為矩形﹒設(shè)，則，，，，在△中，由余弦定理得，，即，即①，在Rt△中，，即②，聯(lián)立①②解得，，代入②，，解得.故選：B.12．（2022·四川省通江中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】如圖所示：由題意得：，所以，即，即，所以，故選：A13．（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線，分別交軸和雙曲線右支于點(diǎn)，，且，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】由可得，，即，則為的中點(diǎn)，由于O為的中點(diǎn)，故，故軸，將代入中得：，故，因?yàn)橹本€的斜率為，故,所以，即，故（負(fù)值舍去），故，故選：D類型四：雙曲線方程的綜合應(yīng)用（2022·重慶一中高二階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為e，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若雙曲線E的離心率，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與雙曲線的左支交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M點(diǎn)，求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)，，，解得(2)由（1）可知，，雙曲線E的方程為設(shè)，過(guò)點(diǎn)A的直線方程為由可得，由，解得故2．（2022·湖北·荊門(mén)市龍泉中學(xué)高二期中）已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，直線為雙曲線的一條漸近線.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限)，記直線斜率為，直線斜率為，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵虛軸長(zhǎng)為4，∴，即，∵直線為雙曲線C的一條漸近線，∴，∴，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意知，，，由題可知，直線斜率不能為零，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，得，，，，直線的斜率，直線的斜率，．3．（2022·廣東·茂名市電白區(qū)水東中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率是，實(shí)軸長(zhǎng)是8.(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)A和B，若直線l上存在不同于點(diǎn)P的點(diǎn)D滿足成立，證明：點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值，并求出該定值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定值為.【解析】(1)依題意得，解得所以雙曲線C的方程是.(2)證明：設(shè)，，，直線l的方程為.將直線方程代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)整理得，，則，.要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，則應(yīng)滿足即解得.由，得，故，所以.又，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值.一、單選題1．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】曲線由三段曲線組成，分別是：雙曲線?圓?雙曲線，其中是那兩段雙曲線的漸近線，曲線如下圖所示，，其中代表曲線C上任一點(diǎn)到直線的距離，距離的最大值即為圓的半徑，雙曲線無(wú)限趨近于漸近線，由此可知距離，故的取值范圍為，故選：.2．（2022·貴州·遵義四中高二期末）已知F1、F2是雙曲線E：(a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)P、Q．若，M為PQ的中點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，且，所以△為等腰三角形，即，因?yàn)?，設(shè)，則，由雙曲線定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率分別為，，則，應(yīng)滿足的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)知：且，則，所以.故選：D4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，M?N分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】B【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，故，則其焦點(diǎn)為，根據(jù)題意，作圖如下：則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得等號(hào)；，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得等號(hào)；則，故可得，故的最大值為：.故選：B.二、多選題5．（2022·江蘇江蘇·高二期中）已知雙曲線：，則（

）A．雙曲線的焦距為4 B．雙曲線的兩條漸近線方程為：C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線有且僅有兩條過(guò)點(diǎn)的切線【答案】ABD【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得，，所以，焦距為4，A正確；，漸近線方程為，B正確；離心率為，C錯(cuò)誤；設(shè)過(guò)的直線的方程為，代入雙曲線方程得：（*），，即時(shí)，方程（*）只有一解，此時(shí)直線與漸近線平行，與雙曲線相交，又由得，此時(shí)方程（*）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，此時(shí)直線與雙曲線相切，即相切的直線有兩條，D正確．故選：ABD．6．（2022·全國(guó)·高二期中）已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，橢圓M的離心率為，雙曲線N的離心率為，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】：橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，可得：，可得，可得，解得或，因?yàn)?，所以．同時(shí)雙曲線的漸近線的斜率為，即，可得：，即，可得雙曲線的離心率為．所以，，，，，故正確的有A、B、D；故選：ABD7．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）以下關(guān)于圓錐曲線的四個(gè)命題中真命題為（

）A．設(shè)，為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線B．方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率C．雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)D．以過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的一條弦為直徑作圓，則該圓與拋物線的準(zhǔn)線相切【答案】BCD【解析】對(duì)于A：設(shè)，為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，若，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在;故A錯(cuò)誤;對(duì)于B：方程的兩根為或2，可以作為橢圓和雙曲線的離心率,故B正確;對(duì)于C：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，故有相同的焦點(diǎn),故C正確;對(duì)于D：如圖示，取拋物線的焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)P.分別過(guò)A、P、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為由拋物線的定義可知：弦長(zhǎng).所以過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的一條弦為直徑作圓，圓的圓心為P，半徑為.在直角梯形中，為中位線，所以,且.所以準(zhǔn)線與圓相切.故D正確.故選：BCD8．（2022·江蘇南京·高二期末）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，A在第一象限，若為等邊三角形，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．雙曲線C的離心率為 B．的面積為C．內(nèi)切圓半徑為 D．的內(nèi)心在直線上【答案】BD【解析】△為等邊三角形,若在同一支，由對(duì)稱性知軸，，，.,；,設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得；因?yàn)椋瑒t可得，，，，則內(nèi)切圓半徑，故內(nèi)心的橫坐標(biāo)為，內(nèi)心在直線上.若分別在左右兩支，則，則，解得，離心率，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得；設(shè)的內(nèi)心為I，作過(guò)作的垂線，垂足分別為，則，又，則所以，所以的內(nèi)心在直線上；所以結(jié)論一定正確的是BD.故選：BD.三、解答題9．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二階段練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程是，焦距為4.(1)求雙曲線的方程；(2)直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程是，所以，即因?yàn)榻咕酁?，所以，即因?yàn)?，所以，所以雙曲線的方程為(2)解：由題知雙曲線的右焦點(diǎn)為，故設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立方程得，設(shè)，，所以，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，所以，即且，所以，解得：且因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以所以，點(diǎn)到直線的方程為距離為，所以面積為，令，則，所以，因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞減函數(shù)，所以，所以.所以面積的取值范圍為10．（2022·廣東珠?！じ叨谀┮阎獧E圓：，的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，的離心率為，的離心率為，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)E和，分別作直線交橢圓于，和，點(diǎn)，如圖.(1)求，的方程；(2)求證：直線和的斜率之積為定值；(3)求證：為定值.【答案】(1)：；：(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【解析】(1)由題設(shè)知，橢圓的離心率為解得∴，∵橢圓的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，∴設(shè)雙曲線：∴的離心率為解得.∴：：；(2)證明：∵點(diǎn)在上∴設(shè)則，∴.∴直線和的斜率之積為定值1；(3)證明：設(shè)直線和