§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多項(xiàng)式§11對(duì)稱多項(xiàng)式§3整除的概念§2一元多項(xiàng)式§1數(shù)域§7多項(xiàng)式函數(shù)§9有理系數(shù)多項(xiàng)式§8復(fù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解第一章多項(xiàng)式1§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性與求法§1.4最大公因式三、互素四、多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式2一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性與求法§1.4i)

1．公因式:若滿足:且2．最大公因式:若滿足：ii)若，且，則則稱為的最大公因式．

則稱為的公因式．一、公因式最大公因式3i)1．公因式:若滿足:且2．最大公因式:若滿足：ii)①的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式記作:注：

②，是與零多項(xiàng)式0的最大公因式．③兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因式為0．

④

最大公因式不是唯一的，但首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式是唯一的.若

為的最大公因式，則，c為非零常數(shù)．

若不全為零，則4①的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式記作:注：二、最大公因式的存在性與求法若等式成立，則與有相同的公因式,從而

．

引理：5二、最大公因式的存在性與求法若等式定理2對(duì)，在中存在一個(gè)最大公因式，且可表成的一個(gè)組合，即，使．

6定理2對(duì)，在中存若有一為0，如，則就是一個(gè)最大公因式．且

考慮一般情形：

用除得：

其中或.

若，用除，得：

證：7若有一為0，如，則若，用除，得

如此輾轉(zhuǎn)下去，顯然，所得余式的次數(shù)不斷降低，因此，有限次后，必然有余式為0．設(shè)其中或．

即

于是我們有一串等式

8若，用除，得如此輾轉(zhuǎn)99從而有再由上面倒數(shù)第二個(gè)式子開始往回迭代，逐個(gè)消去再并項(xiàng)就得到10從而有再由上面倒數(shù)第二個(gè)式子開始往回迭代，逐個(gè)消去再并項(xiàng)就得說明:①定理２中用來求最大公因式的方法，通常稱為輾轉(zhuǎn)相除法．②定理２中最大公因式中的不唯一.

③對(duì)于，使,但是未必是的最大公因式.

11說明:①定理２中用來求最大公因式的方法，通常稱為輾轉(zhuǎn)相除如:

，則

取，有

取，也有

取,也有

成立．事實(shí)上,若則對(duì)，12如:，則④若，且則為的最公因式．設(shè)為的任一公因式，則證：從而即∴為的最大公因式．

13④若，且則例1求，并求使

14例1求，并求使解:

且由

得

15解:且由得15例2.設(shè)

求，并求使

16例2.設(shè)求，并求因式，即就可以)，這是因?yàn)楹途哂型耆嗤娜魞H求，為了避免輾轉(zhuǎn)相除時(shí)出現(xiàn)注:分?jǐn)?shù)運(yùn)算，可用一個(gè)數(shù)乘以除式或被除式(從一開始為非零常數(shù)．17因式，即就可以)，這是因?yàn)楹蛣t稱為互素的(或互質(zhì)的)．1．定義:三、互素若互素

除去零次多項(xiàng)式外無說明:由定義，其它公因式．

18則稱為互素的(或互質(zhì)定理3

互素

，使

2．互素的判定與性質(zhì)證：顯然．設(shè)為的任一公因式，則從而又故19定理3定理4若，且，則證：使于是有又20定理4若，且推論若

，且又，則證:，使于是，使而由定理4有從而21推論若若滿足:

定義i)

則稱為的最大公因式．

ii)若則四、多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式22若滿足:定義i)則稱為注：

表示首1最大公因式．②，使

③

的最大公因式一定存在．④互素使23注：表示首1最大公因式．②，使③附:最小公倍式設(shè)，若

i)ii)

對(duì)的任一公倍式，都有則稱為的最小公倍式．注:

的首項(xiàng)系數(shù)為1的最小公倍式記作:24附:最小公倍式設(shè)§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多項(xiàng)式§11對(duì)稱多項(xiàng)式§3整除的概念§2一元多項(xiàng)式§1數(shù)域§7多項(xiàng)式函數(shù)§9有理系數(shù)多項(xiàng)式§8復(fù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解第一章多項(xiàng)式25§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性與求法§1.4最大公因式三、互素四、多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式26一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性與求法§1.4i)

1．公因式:若滿足:且2．最大公因式:若滿足：ii)若，且，則則稱為的最大公因式．

則稱為的公因式．一、公因式最大公因式27i)1．公因式:若滿足:且2．最大公因式:若滿足：ii)①的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式記作:注：

②，是與零多項(xiàng)式0的最大公因式．③兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因式為0．

④

最大公因式不是唯一的，但首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式是唯一的.若

為的最大公因式，則，c為非零常數(shù)．

若不全為零，則28①的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式記作:注：二、最大公因式的存在性與求法若等式成立，則與有相同的公因式,從而

．

引理：29二、最大公因式的存在性與求法若等式定理2對(duì)，在中存在一個(gè)最大公因式，且可表成的一個(gè)組合，即，使．

30定理2對(duì)，在中存若有一為0，如，則就是一個(gè)最大公因式．且

考慮一般情形：

用除得：

其中或.

若，用除，得：

證：31若有一為0，如，則若，用除，得

如此輾轉(zhuǎn)下去，顯然，所得余式的次數(shù)不斷降低，因此，有限次后，必然有余式為0．設(shè)其中或．

即

于是我們有一串等式

32若，用除，得如此輾轉(zhuǎn)339從而有再由上面倒數(shù)第二個(gè)式子開始往回迭代，逐個(gè)消去再并項(xiàng)就得到34從而有再由上面倒數(shù)第二個(gè)式子開始往回迭代，逐個(gè)消去再并項(xiàng)就得說明:①定理２中用來求最大公因式的方法，通常稱為輾轉(zhuǎn)相除法．②定理２中最大公因式中的不唯一.

③對(duì)于，使,但是未必是的最大公因式.

35說明:①定理２中用來求最大公因式的方法，通常稱為輾轉(zhuǎn)相除如:

，則

取，有

取，也有

取,也有

成立．事實(shí)上,若則對(duì)，36如:，則④若，且則為的最公因式．設(shè)為的任一公因式，則證：從而即∴為的最大公因式．

37④若，且則例1求，并求使

38例1求，并求使解:

且由

得

39解:且由得15例2.設(shè)

求，并求使

40例2.設(shè)求，并求因式，即就可以)，這是因?yàn)楹途哂型耆嗤娜魞H求，為了避免輾轉(zhuǎn)相除時(shí)出現(xiàn)注:分?jǐn)?shù)運(yùn)算，可用一個(gè)數(shù)乘以除式或被除式(從一開始為非零常數(shù)．41因式，即就可以)，這是因?yàn)楹蛣t稱為互素的(或互質(zhì)的)．1．定義:三、互素若互素

除去零次多項(xiàng)式外無說明:由定義，其它公因式．

42則稱為互素的(或互質(zhì)定理3

互素

，使

2．互素的判定與性質(zhì)證：顯然．設(shè)為的任一公因式，則從而又故43定理3定理4若