學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE27-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．4。2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)空間兩直線的位置關(guān)系了解空間兩條直線間的位置關(guān)系，理解異面直線的定義直觀想象直線與平面的位置關(guān)系了解直線與平面之間的三種位置關(guān)系，并能判斷直線與平面的位置關(guān)系，會(huì)用符號(hào)語言和圖形語言表示直觀想象、邏輯推理平面與平面的位置關(guān)系了解平面與平面之間的兩種位置關(guān)系，并能判斷兩個(gè)平面的位置關(guān)系，會(huì)用符號(hào)語言和圖形語言表示直觀想象、邏輯推理問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P128－P131的內(nèi)容，思考以下問題：1．空間兩直線有哪幾種位置關(guān)系？2．直線與平面的位置關(guān)系有哪幾種?3．平面與平面的位置關(guān)系有哪幾種?4．如何用符號(hào)和圖形表示直線與平面的位置關(guān)系?5．如何用符號(hào)和圖形表示平面與平面的位置關(guān)系？1．空間中直線與直線的位置關(guān)系（1）異面直線①定義：把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線；②畫法:(通常用平面襯托）（2）空間兩條直線的位置關(guān)系eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（相交直線：在同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);，平行直線:在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；）),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。)）■名師點(diǎn)撥（1)異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．（2）不能把異面直線誤認(rèn)為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖中，雖然有a?α，b?β，即a,b分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，但是因?yàn)閍∩b＝O,所以a與b不是異面直線．2．空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號(hào)表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示■名師點(diǎn)撥一般地，直線a在平面α內(nèi)時(shí)，應(yīng)把直線a畫在表示平面α的平行四邊形內(nèi)；直線a與平面α相交時(shí)，應(yīng)畫成直線a與平面α有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，被平面α遮住的部分畫成虛線或不畫;直線a與平面α平行時(shí)，應(yīng)畫成直線a與表示平面α的平行四邊形的一條邊平行，并畫在表示平面α的平行四邊形外．3．空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（在一條直線上）符號(hào)表示α∥βα∩β＝l圖形表示■名師點(diǎn)撥(1）畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行．(2)以后我們說到“兩條直線"均指不重合的兩條直線，“兩個(gè)平面”均指不重合的兩個(gè)平面．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1)異面直線沒有公共點(diǎn)．（）(2)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．（）(3）兩條異面直線一定在兩個(gè)不同的平面內(nèi)．(）(4)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線一定是異面直線．()(5)若a與b是異面直線且a與c也是異面直線，則b與c是異面直線．()（6）若直線l與平面α不相交，則直線l與平面α平行．（)(7)如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。（)(8）如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α,那么b∥α。(）（9)若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行．(）（10）若兩個(gè)平面都平行于同一條直線，則這兩個(gè)平面平行．(）答案:（1）√（2）×(3）√(4）×(5）×(6）×（7)×(8)√(9)×（10）×異面直線是指（）A．空間中兩條不相交的直線B．分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線C．平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線D．不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線解析：選D.對(duì)于A,空間兩條不相交的直線有兩種可能，一是平行(共面),另一個(gè)是異面,所以A應(yīng)排除．對(duì)于B，分別位于兩個(gè)平面內(nèi)的直線，既可能平行也可能相交也可能異面，如圖，就是相交的情況，所以B應(yīng)排除．對(duì)于C，如圖中的a，b可看作是平面α內(nèi)的一條直線a與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，所以C應(yīng)排除．只有D符合定義．正方體的六個(gè)面中相互平行的平面有（）A．2對(duì) B．3對(duì)C．4對(duì) D．5對(duì)解析：選B.前后兩個(gè)面、左右兩個(gè)面、上下兩個(gè)面都平行．直線a∥b，b?α，則a與α的位置關(guān)系是(）A．a(chǎn)∥α B．a(chǎn)與α相交C．a(chǎn)與α不相交 D．a(chǎn)?α解析：選C。當(dāng)直線a∥b，b?α?xí)r，直線a與平面α的位置關(guān)系有可能是a∥α或a?α，不可能相交，所以選C.正方體ABCD。A1B1C1D1的各個(gè)面中與直線A1B1平行的平面有________個(gè)．解析：由正方體圖形特點(diǎn)，知直線A1B1與平面CC1D1D和平面ABCD平行．答案:2空間兩直線位置關(guān)系的判定如圖，在長方體ABCD。A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．【解析】經(jīng)探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中,且沒有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行"；點(diǎn)A1、B、B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以②④應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相交"．【答案】①平行②異面③相交④異面eq\a\vs4\al()(1）判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實(shí)4（下節(jié)學(xué)習(xí)）判斷．(2）判定兩條直線是異面直線的方法①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語言可表示為A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖）．1．三棱錐A。BCD的六條棱所在直線成異面直線的有(）A．3對(duì) B．4對(duì)C．5對(duì) D．6對(duì)解析：選A.三棱錐A。BCD的六條棱所在直線中，成異面直線的有：AB和CD，AD和BC，BD和AC,所以三棱錐A.BCD的六條棱所在直線成異面直線的有3對(duì)．故選A.2．若直線a∥b,b∩c＝A，則a與c的位置關(guān)系是(）A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交解析：選D.a與c不可能平行，若a∥c，又因?yàn)閍∥b，所以b∥c,這與b∩c＝A矛盾，但a與c異面、相交都有可能．直線與平面的位置關(guān)系下列命題：①直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α；②若直線a在平面α外,則a∥α;③若直線a∥b,直線b?α，則a∥α；④若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4【解析】因?yàn)橹本€l雖與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,但l有可能在平面α內(nèi)，所以l不一定平行于α，所以①是假命題．因?yàn)橹本€a在平面α外包括兩種情況：a∥α和a與α相交,所以a和α不一定平行,所以②是假命題．因?yàn)橹本€a∥b，b?α，則只能說明a和b無公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，所以a不一定平行于α,所以③是假命題．因?yàn)閍∥b，b?α，所以a?α或a∥α，所以a可以與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行,所以④是真命題．綜上,真命題的個(gè)數(shù)為1.【答案】Aeq\a\vs4\al（)判斷直線與平面的位置關(guān)系應(yīng)注意的問題（1）在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí),直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行，這三種情況都要考慮到,避免疏忽或遺漏．（2)解決此類問題時(shí)，可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中,以便于正確作出判斷,避免憑空臆斷．1．若直線a∥平面α，直線b∥平面α，則a與b的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．以上都有可能解析:選D。如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥平面AC，A1D1∥平面AC，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC，有A1B1∥D1C1;取BB1和CC1的中點(diǎn)M,N，則MN∥BC，則MN∥平面AC，有A1B1與MN異面．2．下列命題正確的個(gè)數(shù)為（)①若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α；②如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行；③若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)．A．0 B．1C．2 D．3解析：選B.如圖所示，借助長方體模型來判斷．棱AA1所在直線有無數(shù)個(gè)點(diǎn)在平面ABCD外，但棱AA1所在直線與平面ABCD相交，所以命題①不正確．A1B1∥AB，A1B1所在直線平行于平面ABCD，但直線AB?平面ABCD，所以命題②不正確．直線l與平面α平行，則l與α無公共點(diǎn)，l與平面α內(nèi)所有直線都沒有公共點(diǎn)，所以命題③正確．平面與平面的位置關(guān)系已知在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，并且這兩條直線互相平行，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是(）A．平行 B．相交C．平行或相交 D．以上都不對(duì)【解析】如圖，可能會(huì)出現(xiàn)以下兩種情況：【答案】C1．［變條件］在本例中，若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”，則兩平面的位置關(guān)系如何？解：如圖,a?α，b?β，a，b異面，則兩平面平行或相交．2．［變條件]在本例中，若將條件改為平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行,那么平面α與平面β的關(guān)系是什么？解：如圖，α內(nèi)都有無數(shù)條直線與平面β平行．由圖知,平面α與平面β可能平行或相交．3．[變條件］在本例中,若將條件改為平面α內(nèi)的任意一條直線與平面β平行，那么平面α與平面β的關(guān)系是什么?解：因?yàn)槠矫姒羶?nèi)的任意一條直線與平面β平行，所以只有這兩個(gè)平面平行才能做到，所以平面α與平面β平行．eq\a\vs4\al()(1)平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法①平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實(shí)3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn);②平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)．（2）常見的平面和平面平行的模型①棱柱、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)的上下底面平行；②長方體的六個(gè)面中，三組相對(duì)面平行．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（)①平面α與平面β,γ都相交,則這三個(gè)平面有2條或3條交線；②如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個(gè)平面；③直線a不平行于平面α，則a不平行于α內(nèi)任何一條直線；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A．0 B．1C．2 D．3解析：選A。①中，交線也可能是1條；②a也可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；③中a不平行于平面α，則a可能在平面α內(nèi)，平面α內(nèi)有與a平行的直線;④中，a可能在β內(nèi)．故四個(gè)命題都是錯(cuò)誤的，選A.點(diǎn)、線、面位置關(guān)系圖形的畫法如圖所示，G是正方體ABCD.A1B1C1D1的棱DD1延長線上的一點(diǎn),E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點(diǎn),試分別畫出過下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線．（1)過點(diǎn)G及AC.（2）過三點(diǎn)E，F(xiàn)，D1.【解】(1）畫法：連接GA交A1D1于點(diǎn)M，連接GC交C1D1于點(diǎn)N;連接MN，AC，則MA,CN,MN，AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示．（2）畫法：連接EF交DC的延長線于點(diǎn)P，交DA的延長線于點(diǎn)Q；連接D1P交CC1于點(diǎn)M，連接D1Q交AA1于點(diǎn)N；連接MF，NE，則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②所示．eq\a\vs4\al()直線與平面位置關(guān)系的圖形的畫法（1）畫直線a在平面α內(nèi)時(shí),表示直線a的線段只能在表示平面α的平行四邊形內(nèi),而不能有部分在這個(gè)平行四邊形外．(2)畫直線a與平面α相交時(shí)，表示直線a的線段必須有部分在表示平面α的平行四邊形之外，這樣既能與表示直線在平面內(nèi)區(qū)分開，又具有較強(qiáng)的立體感．(3）畫直線a與平面α平行時(shí),最直觀的畫法是用來表示直線a的線段在表示平面α的平行四邊形之外,且與此平行四邊形的一邊平行．如圖，在正方體ABCD.A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn),畫出過D1,C，E的平面與平面ABB1A1的交線，并說明理由．解:如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，A1B，CF.因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn),所以EF∥A1B。在正方體ABCD。A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形．所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1。所以E，F(xiàn),C，D1四點(diǎn)共面．因?yàn)镋∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F(xiàn)∈平面ABB1A1，F(xiàn)∈平面D1CE,所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.所以過點(diǎn)D1,C，E的平面與平面ABB1A1的交線為EF。1．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是（)A．相交 B．異面C．平行 D．相交或異面解析：選D。若兩直線不平行，則直線可能相交,也可能異面．2．若M∈l，N∈l，N?α，M∈α，則有(）A．l∥α B．l?αC．l與α相交 D．以上都有可能解析:選C。由符號(hào)語言知，直線l上有一點(diǎn)在平面α內(nèi)，另一點(diǎn)在α外，故l與α相交．故選C.3．若兩個(gè)平面相互平行，則分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面解析：選D.如圖：4．如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為（)A．平行 B．直線在平面內(nèi)C．相交或直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)解析：選D.若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行,則這條直線與另一個(gè)平面平行或直線在平面內(nèi)．5．已知平面α∩β＝c,直線a∥α,a與β相交,則a與c的位置關(guān)系是________．答案：異面6．下列命題正確的是________．(填序號(hào))①若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)；②若直線l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線；③如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線一定與該平面相交．解析：①顯然是正確的;②中,直線l和平面α內(nèi)過l與α交點(diǎn)的直線都相交而不是異面，所以②是錯(cuò)誤的；③中，異面直線中的另一條直線和該平面的關(guān)系不能具體確定，它們可以相交，可以平行,還可以在該平面內(nèi)，所以③是錯(cuò)誤的．答案：①[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（)A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交答案：B2．若a，b是異面直線，b,c是異面直線，則(）A．a(chǎn)∥c B．a(chǎn)，c是異面直線C．a(chǎn)，c相交 D．a(chǎn)，c平行或相交或異面解析：選D。如圖,可借助長方體理解，令a＝CC1，b＝A1B1，則BC，AD，DD1均滿足題目條件，故直線a和直線c的位置關(guān)系是平行、相交或異面．3．已知異面直線a，b,有a?α,b?β且α∩β＝c，則直線c與a，b的關(guān)系是（)A．c與a，b都相交B．c與a,b都不相交C．c至多與a，b中的一條相交D．c至少與a,b中的一條相交解析：選D.若c與a，b都不相交,因?yàn)閏與a在α內(nèi)，所以a∥c.又c與b都在β內(nèi)，所以b∥c。所以a∥b,與已知條件矛盾．如圖，只有以下三種情況．4．如果點(diǎn)M是兩條異面直線外的一點(diǎn),則過點(diǎn)M且與a，b都平行的平面(）A．只有一個(gè) B．恰有兩個(gè)C．沒有或只有一個(gè) D．有無數(shù)個(gè)解析：選C.當(dāng)點(diǎn)M在過a且與b平行的平面或過b且與a平行的平面內(nèi)時(shí)，這樣滿足條件的平面沒有；當(dāng)點(diǎn)M不在上述兩個(gè)平面內(nèi)時(shí),滿足條件的平面只有一個(gè)．故選C.5．若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成(）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分解析：選C。如圖所示,可以將空間劃分為7部分．6．已知a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，則下列說法中正確的序號(hào)為________．①若α∥β，a?α,b?β,則a與b是異面直線；②若α∥β，a?α,則a∥β；③若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．解析：①中直線a與b沒有交點(diǎn),所以a與b可能異面也可能平行,故①錯(cuò)誤;②中直線a與平面β沒有公共點(diǎn)，所以a∥β，故②正確；③中直線a與平面β有可能平行，故③錯(cuò)誤．答案：②7．下列命題：①平面α與平面β，γ都相交,則這三個(gè)平面有兩條交線;②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β,則α∥β。其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為________．解析：對(duì)于①，當(dāng)β∥γ時(shí),有2條交線；當(dāng)β∩γ＝a且a?α?xí)r，有1條交線；當(dāng)α、β、γ兩兩相交且不過同一條直線時(shí)，有3條交線（如棱柱的三個(gè)側(cè)面)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，可借助正方體ABCD。A1B1C1D1進(jìn)行判斷，如圖所示．因?yàn)榱骟wABCD-A1B1C1D1是正方體，所以AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D。因?yàn)锳B與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D相交,所以命題②錯(cuò)誤，綜上可知①②都錯(cuò)誤．答案：①②8．若直線a?平面α，直線b?平面β，a,b是異面直線,則α，β的位置關(guān)系是__________．解析:在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB?平面ABCD，B1C1?平面A1B1C1D1,B1C1?平面BCC1B1，AB，B1C1是異面直線，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD與平面BCC1B1相交．答案:平行或相交9．完成下列作圖．(1)在圖中畫出兩個(gè)平行平面．(2）在圖中畫出兩個(gè)相交平面．（3）在圖中畫出一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交．（4）在圖中畫出三個(gè)兩兩相交的平面．解：10。如圖，平面α、β、γ滿足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判斷a與b、a與β的關(guān)系并證明你的結(jié)論．解：a∥b，a∥β.證明如下：由α∩γ＝a知a?α且a?γ，由β∩γ＝b知b?β且b?γ，因?yàn)棣痢桅?，a?α，b?β，所以a、b無公共點(diǎn)．又因?yàn)閍?γ且b?γ，所以a∥b.因?yàn)棣痢桅?，所以α與β無公共點(diǎn)．又a?α，所以a與β無公共點(diǎn),所以a∥β。［B能力提升］11．經(jīng)過平面外的兩點(diǎn)作該平面的平行