期末仿真押題卷02注意事項：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（12小題，每小題5分，共60分）1．（2021·河南原陽·八年級期中）要使多項式中不含關于的二次項，則與的關系是（）A．互為倒數(shù) B．相等 C．互為相反數(shù) D．乘積為1【答案】B【分析】先根據(jù)多項式乘多項式法則計算乘法，再計算整式的加減，然后根據(jù)“不含關于的二次項”可得關于的二次項的系數(shù)等于0，由此即可得．【詳解】解：，，要使多項式中不含關于的二次項，則，即，故選：B．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解題關鍵．2．（2021·廣東實驗中學八年級期中）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（）

A．90° B．130° C．180° D．360°【答案】D【分析】連接AD，由三角形內(nèi)角和外角的關系可知∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，由四邊形內(nèi)角和是360°，即可求∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．【詳解】解如圖，連接AD，∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠ADE+∠DAF，∴∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，∵∠BAD+∠B+∠C+∠CDA＝360°，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．故選：D．

【點睛】本題考查三角形的外角的性質、四邊形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，屬于基礎題．3．（2021·廣西覃塘·八年級期中）若關于x的分式方程無解，則k的值為（）A．1或﹣4或6 B．1或4或﹣6 C．﹣4或6 D．4或﹣6【答案】A【分析】按照解分式方程的步驟，把分式方程化為整式方程，根據(jù)整式方程的特點及分式方程的增根情況，即可求得k的值．【詳解】分式方程兩邊都乘以最簡公分母(x+2)(x-2)，得：kx=3(x-2)-2(x+2)整理得：(k-1)x=-10當k=1時，上述方程無解，從而原分式方程無解；當k≠1時，分式方程的增根為2或-2當x=2時，則有2(k-1)=-10，解得：k=-4；當x=-2時，則有-2(k-1)=-10，解得：k=6綜上所述，當k的值為1或﹣4或6時，分式方程無解；故選：A．【點睛】本題考查了分式方程無解問題，本題很容易漏掉k=1的情況，這是由于化為一元一次方程后，一次項的系數(shù)不是常數(shù)．4．（2021·江蘇·淮安市浦東實驗中學八年級期中）如圖，是中的角平分線，于點，，，，則長是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】作DF⊥AC于F，如圖，根據(jù)角平分線定理得到DE=DF=4，再利用三角形面積公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×4×7+×4×AC=26，然后解一次方程即可．【詳解】解：作DF⊥AC于F，如圖，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF=4，

∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，

∴×4×7+×4×AC=26，

∴AC=6，

故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，三角形的面積公式等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用面積法構建方程解決問題．5．（2021·全國·八年級課時練習）若數(shù)a與其倒數(shù)相等，則的值是（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】先將分子分母中能分解因式的分別分解因式，再根據(jù)分式的除法運算法則化簡原式，最后根據(jù)已知條件可得a＝±1，進而代入計算即可求得答案．【詳解】解：原式，∵數(shù)a與其倒數(shù)相等，∴a＝±1，∴原式，故選：A．【點睛】本題考查了分式的除法運算以及倒數(shù)的意義，熟練掌握分式的運算法則是解決本題的關鍵．6．（2021·湖北·宜昌市第三中學八年級期中）如圖，已知的面積為12，平分，且于點，連結，則的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質和已知條件證明即可得解；【詳解】如圖，延長BD交AC于E，∵平分，且，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∴，；故選C．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質和三角形全等的判定與性質，準確分析計算是解題的關鍵．7．（2021·黑龍江·哈爾濱市第一一三中學校八年級期中）如圖，OA是∠MON的角平分線，過A作一直線分別與∠MON的兩邊交于B、C兩點，線段BC的垂直平分線交OA于點D，交BC于點P．若∠MON＝54°，則∠BDP＝（）A．54° B．63° C．66° D．72°【答案】B【分析】過點D作DH⊥OM于H，DG⊥ON于G，可得∠DHO=∠DGO=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得∠MON+∠HDG=360°-∠DHO-∠DGO=360°-90°-90°=180°，由∠MON＝54°，可求∠HDG=180°-∠MON＝180°-54°=126°，證明Rt△DHB≌Rt△DGC（HL），可得∠HDB=∠GDC，可求∠BDC=∠BDG+∠GDC=∠BDG+∠HDB=∠HDG=126°，根據(jù)等腰三角形三線合一性質可得PD平分∠BDC即可．【詳解】解：過點D作DH⊥OM于H，DG⊥ON于G，∴∠DHO=∠DGO=90°，∵∠MON+∠DHO+∠HDG+∠DGO=360°，∴∠MON+∠HDG=360°-∠DHO-∠DGO=360°-90°-90°=180°，∵∠MON＝54°，∴∠HDG=180°-∠MON＝180°-54°=126°，∵OA是∠MON的角平分線，DH⊥OM于H，DG⊥ON于G，∴DH=DG，∵PD是線段BC的垂直平分線，∴BD=CD，在Rt△DHB和Rt△DGC中，，∴Rt△DHB≌Rt△DGC（HL），∴∠HDB=∠GDC，∴∠BDC=∠BDG+∠GDC=∠BDG+∠HDB=∠HDG=126°，∵DB=DC，DP⊥BC，∴PD平分∠BDC，∴∠BDP=．故選擇B．【點睛】本題考查角平分線性質，線段垂直平分線性質，四邊形內(nèi)角和，等腰三角形判定與性質，直角三角形全等判定與性質，掌握角平分線性質，線段垂直平分線性質，四邊形內(nèi)角和，等腰三角形判定與性質，直角三角形全等判定與性質．8．（2021·廣東實驗中學八年級期中）如圖，在ABC中，直線l為邊BC的垂直平分線，l交AC于點Q，∠ABC的角平分線與l相交于點P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，則∠PQC是（）A．34° B．36° C．44° D．46°【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠ABP=∠CBP，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到PB=

PC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．【詳解】∵BP平分∠ABC，∵∠ABP=∠CBP，∵直線l是線段BC的垂直平分線，∴BP=

CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠BCP，∴∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=

60°，∠ACP=

24°

，∴3∠ABP

+

24°

+

60°=

180°，∴∠ABP=

32°，∴∠PBC=∠PCB=

32°

，∴∠PQC=×

(180°-

32°

-

32°)-

24°

=

58°-

24°=

34°．故選：A．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質、角平分線性質、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．9．（2021·安徽阜陽·八年級期中）仔細觀察，探究規(guī)律：則算式值的個位數(shù)字為（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】仔細觀察，探索規(guī)律可知：，依此計算即可求解．【詳解】解：觀察所給等式得出如下規(guī)律：，變形得：，令其x=2，n=2021得：，∵2n的個位數(shù)字分別為2，4，8，6，即4次一循環(huán)，且，∴22022的個位數(shù)字是4，∴22022-1的個位數(shù)字是3，∴的個位數(shù)字是3．故選：B．【點睛】此題考查了多項式的乘法，乘方的末位數(shù)字的規(guī)律，注意從簡單情形入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解決問題的關鍵．10．（2021·江蘇·蘇州中學八年級期中）如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A＝90°，EGBC，且CG⊥EG于G，下列結論：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG；其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平行線、角平分線、垂直的性質及三角形內(nèi)角和定理依次判斷即可得出答案．【詳解】解：①∵EGBC，∴∠CEG＝∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分線，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故正確；④無法證明CA平分∠BCG，故錯誤；③∵∠A＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC＋∠BCD＝90°．∵EGBC，且CG⊥EG，∴∠GCB＝90°，即∠GCD＋∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠GCD，故正確；②∵∠EBC＋∠ACB＝∠AEB，∠DCB＋∠ABC＝∠ADC，∴∠AEB＋∠ADC＝90°＋（∠ABC＋∠ACB）＝135°，∴∠DFE＝360°?135°?90°＝135°，∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故正確．∴正確的為：①②③，故選：C．【點睛】本題主要考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知直角三角形的兩銳角互余是解答此題的關鍵．11．（2021·重慶·西南大學附中八年級期中）關于x的不等式組有解且最多5個整數(shù)解，且使關于y的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的積為（）A．3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣12【答案】A【分析】先解一元一次不等式組求出的取值范圍，再解分式方程，從而可得出所有滿足條件的整數(shù)，由此即可得出答案．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，此不等式組有解，，又不等式組最多有5個整數(shù)解，，化成整式方程為，解得，（1）當整數(shù)時，，經(jīng)檢驗，是分式方程的正整數(shù)解，符合題意；（2）當整數(shù)時，，經(jīng)檢驗，不是分式方程的解，不符題意，舍去；（3）當整數(shù)時，，經(jīng)檢驗，是分式方程的正整數(shù)解，符合題意；（4）當整數(shù)時，不是正整數(shù)解，不符題意，舍去；（5）當整數(shù)時，不是正整數(shù)解，不符題意，舍去；則所有滿足條件的整數(shù)的積為，故選：A．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組、解分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關鍵．12．（2021·全國·八年級專題練習）如圖1，已知AB=AC，D為∠BAC的平分線上一點，連接BD、CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的平分線上兩點，連接BD、CD、BE、CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的平分線上三點，連接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次規(guī)律，第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是（）A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）【答案】C【分析】根據(jù)條件可得圖1中△ABD≌△ACD有1對三角形全等；圖2中可證出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3對三角形全等；圖3中有6對三角形全等，根據(jù)數(shù)據(jù)可分析出第n個圖形中全等三角形的對數(shù)．【詳解】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD與△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴圖1中有1對三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴圖2中有3對三角形全等；同理：圖3中有6對三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是．

故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定以及規(guī)律的歸納，解題的關鍵是根據(jù)條件證出圖形中有幾對三角形全等，然后尋找規(guī)律．二、填空題（4小題，每小題5分，共20分）13．（2021·北京·八年級期中）若5，則的值為_____．【答案】##【分析】在兩邊同時乘以xy，得到x-y=5xy，再變形利用等量代換計算即可．【詳解】解：兩邊同時乘以xy，得到x-y=5xy，整理，再將x-y=5xy代入得：．故答案為：．【點睛】本題主要是考查一個分式的變形以及等量代換的數(shù)學思想，解題的關鍵是通過等式的變形以及化簡，利用等量代換巧解式子的值．14．（2021·山東曹縣·八年級期中）如圖，四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝4cm，BD＝BC＝7cm，CE⊥BD于點E，則DE的長____cm．【答案】3【分析】根據(jù)全等三角形的判定證明△ABD≌△BCE，故可求解．【詳解】證明：∵ADBC，∴∠ADB＝∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC＝90°．∵∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC．∵BD＝BC，在△ABD與△BCE中，∴△ABD≌△BCE（AAS）．∴AD＝BE=4cm．∴DE=BD-BE=3cm．故答案為：3．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應角相等．15．（2021·安徽瑤?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分線交于點A2021，則∠A2021＝___________度．【答案】【分析】利用角平分線的性質、三角形外角性質，易證，進而可求，由于，，，以此類推可知即可求得．【詳解】解：平分，平分，，，，即，，，，，，，以此類推可知，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線性質、三角形外角性質，能找出規(guī)律，推導出是解題的關鍵．16．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在直角坐標系中，已知A（4，0），點B為y軸正半軸上一動點，連接AB，以AB為一邊向下做等邊△ABC，連接OC，則OC的最小值為_______．【答案】2【分析】以OA為對稱軸，構造等邊三角形ADF，作直線DC，交x軸于點E，先確定點C在直線DE上運動，根據(jù)垂線段最短計算即可．【詳解】如圖，以OA為對稱軸，構造等邊三角形ADF，作直線DC，交x軸于點E，∵△ABC，△ADF都是等邊三角形，∴AB=AC，AF=AD，∠FAC+∠BAF=∠FAC+∠CAD=60°，∴AB=AC，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∴△BAF≌△CAD，∴∠BFA=∠CDA=120°，∴∠ODE=∠ODA=60°，

∴∠OED=30°，∴OE=OA=4，∴點C在直線DE上運動，∴當OC⊥DE時，OC最小，此時OC=OE=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和判斷，三角形的全等判定和性質，垂線段最短，熟練掌握三角形全等和垂線段最短原理是解題的關鍵．三、解答題（9小題，共70分）17．（2021·山東曹縣·八年級期中）計算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)分式的運算法則化簡即可求解；（2）根據(jù)分式的運算法則化簡即可求解；（3）根據(jù)分式的運算法則化簡即可求解．【詳解】（1）==（2）====（3）=====．【點睛】此題主要考查分式的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則．18．（2021·河南原陽·八年級期中）化簡：．（1）若x是任意整數(shù)，請觀察化簡后的結果，它能被3整除嗎？（2）當時，求代數(shù)式的值．【答案】（1），能；（2）-9【分析】（1）化簡整理后可得，由此可知是3的倍數(shù)；（2）根據(jù)非負數(shù)性質可知，，由此求出x，y，代入化簡后的代數(shù)式即可求解．【詳解】解：（1）∵∴化簡后的結果為是3的倍數(shù)，故它能被3整除．（2）∵，∴，，∴，，∴原式=．【點睛】本題考查整式的混合運算-化簡求值，解答本題的關鍵是明確整式化簡求值的方法．19．（2021·河南浉河·八年級期中）如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點．PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F(xiàn)是OC上的另一點，連接DF，EF．求證：DF＝EF．【答案】見解析【分析】根據(jù)OC是∠AOB的角平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∠POD＝∠POE，∠PDO＝∠PEO＝90°，，再由OP＝OP，即可利用HL證明△PDO≌△PEO，得到OD＝OE，即可利用SAS證明△DOF≌△EOF得到DF＝EF．【詳解】證明：∵OC是∠AOB的角平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠POD＝∠POE，∠PDO＝∠PEO＝90°，∵OP＝OP，∴△PDO≌△PEO（HL），∴OD＝OE，在△DOF和△EOF中，，∴△DOF≌△EOF（SAS），∴DF＝EF．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，角平分線的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握角平分線的性質．20．（2021·黑龍江·哈爾濱市第十七中學校八年級期中）如圖，哈市某小區(qū)有一塊長為（2a+3b）米，寬為（2a﹣3b）米的長方形地塊，角上有四個邊長為（a﹣b）米的小正方形空地，開發(fā)商計劃將陰影部分進行綠化．（1）用含有a、b的式子表示綠化的總面積（結果寫成最簡形式）．（2）若a＝20，b＝10，綠化成本為50元/平方米，則完成綠化共需要多少元錢？

【答案】（1）；（2）15000【分析】（1）根據(jù)題意可得綠化的總面積等于長方形地塊的面積減去4個小正方形的面積，即可求解；（2）把a＝20，b＝10代入（1）中的代數(shù)式，再乘以50，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：綠化的總面積為；（2）若a＝20，b＝10，綠化成本為50元/平方米，則完成綠化共需要元．【點睛】本題主要考查了多項式乘法的應用，明確題意，準確得到綠化的總面積是解題的關鍵．21．（2021·廣東·惠州一中八年級期中）如圖，在四邊形中，，平分，平分．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．【答案】（1）∠ABC+∠ADC=180°；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出即可；（2）求出∠2=∠DFC，根據(jù)平行線的判定推出即可．【詳解】（1）解：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°；（2）證明：∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠2=∠ABC，∠4=∠ADC，∵四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∴∠4+∠DFC=90°，由（1）得∠ABC+∠ADC=180°，∴∠2+∠4=90°，∵∠4+∠DFC=90°，∴∠2=∠DFC，∴BE∥DF．．【點睛】本題考查了平行線的判定，角平分線定義，三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理的應用，解此題的關鍵是求出∠EBC=∠DFC．22．（2021·湖南永定·八年級期中）綜合與探究：如圖①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分線．（1）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，AE⊥BC于點E，①若∠B＝30°，∠C＝70°，則∠CAD＝°，∠DAE＝°；②若∠B＝45°，∠C＝65°，則∠DAE＝°；③試探究∠DAE與∠B、∠C的數(shù)量關系，并說明理由．（2）判斷與思考：如圖②，F(xiàn)是AD上一點，F(xiàn)E⊥BC于點E，這時∠DFE與∠B、∠C又有怎樣的數(shù)量關系？【答案】（1）①40，20；②10；③∠DAE＝(∠C-∠B)，理由見解析；（2）∠DFE＝(∠C﹣∠B)，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，然后根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)AE⊥BC，進而求得∠DAE的度數(shù)；②根據(jù)①中的方式求解即可；③根據(jù)①中計算過程推到即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和以及三角形外角的性質等知識點進行推到即可．【詳解】解：（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴，∵AD是∠BAC角平分線，∴，∵AE⊥BC，∴，∴，∴，故答案為：40，20；②∵∠B＝45°，∠C＝65°，∴，∵AD是∠BAC角平分線，∴，∵AE⊥BC，∴，∴，∴，故答案為：10；③∠DAE＝(∠C-∠B)，理由如下：在△AEC中，∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝180°-∠AEC-∠C＝180°-90°-∠C＝90°-∠C，∴∠DAE＝∠CAD-∠EAC＝×(180°-∠B-∠C)＝(90°-∠B-∠C)-(90°-∠C)＝(∠C-∠B)；（2）判斷與思考；∠DFE＝(∠C﹣∠B)，理由如下：證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝＝90°-(∠C+∠B)，∵∠ADC為△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+90°-（∠C+∠B）＝90°+(∠B-∠C)，∵FE⊥BC，∴∠FED＝90°，∴∠DFE＝90°-[90°+(∠B-∠C)]＝90°-90°-(∠B-∠C)，∴∠DFE＝(∠C-∠B)．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂線的定義，熟練掌握基礎知識是解本題的關鍵．23．（2021·山東臨淄·九年級期中）拼圖游戲：一天，小嘉在玩紙片拼圖游戲時，發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種材料各若干，可以拼出一些長方形來解釋某些等式．比如圖②可以解釋為：．（1）則圖③可以解釋為等式：_________．（2）在虛線框中用圖①中的基本圖形若干塊（每種至少用一次）拼成一個長方形，使拼出的長方形面積為，并通過拼圖對多項式因式分解：_______．（拼圖圖形畫在方框內(nèi)）（3）如圖④，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，若用，表示四個長方形的兩邊長（），結合圖案，指出以下關系式：①；②；③；④其中正確的關系式為___________．（寫序號）方法遷移：試著用剪拼圖形的方法由幾何圖形的面積來證明：，其中．【答案】（1）（2）圖見解析，；（3）①②③④；方法遷移：見解析；【分析】（1）觀察圖形，根據(jù)面積列出等式即可；（2）畫出的矩形邊長分別為和即可；（3）根據(jù)圖中每個圖形的面積之間的關系，即可判斷出正確的有幾個；（4）把圖⑥中的陰影沿虛線剪下來，拼成如圖⑦所示的梯形，計算即可即可．【詳解】解：（1）如圖③可以解釋為等式故答案為（2）拼圖如圖⑤所示，（3）∵，∴①正確；∵，∴②正確∵，∴，即，∴③正確∵∴④正確正確的關系是為①②③④方法遷移：剪拼圖形如圖⑥⑦，把圖⑥中的陰影沿虛線剪下來，拼成如圖⑦所示的梯形這個梯形的上底長為，下底長為，高為，∴圖⑥中的陰影∴【點睛】此題考查了利用圖形面積研究因式分解、平法差公式，此類題的解題思路為：原面積等于拼剪后的面積，掌握解題思路是解題的關鍵．24．（2021·河北橋西·八年級期中）某數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你來加入．（探究與發(fā)現(xiàn)）如圖1，延長△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長線于點E，求證：△ABC≌△EDC．（理解與應用）如圖2，已知在△ABC中，點E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點E是CD的中點，若AD平分∠BAE．（1）求證：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．【答案】[探究與發(fā)現(xiàn)]見解析；[理解與應用]（1）見解析；（2）1＜x＜4【分析】[探究與發(fā)現(xiàn)]由ASA證明△ABC≌△EDC即可；[理解與應用]（1）延長AE到F，使EF=EA，連接DF，證△DEF≌△CEA（SAS），得AC=FD，再證△ABD≌△AFD（AAS），得BD=FD，即可得出結論；（2）由全等三角形的性質得AB=AF=2x，再由三角形的三邊關系得AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．【詳解】解：[探究與發(fā)現(xiàn)]證明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；[理解與應用]（1）證明：如圖2中，延長AE到F，使EF=EA，連接DF，∵點E是CD的中點，∴ED=EC，在△DEF與△CEA中，，∴△DEF≌△CEA（SAS），∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，在△ABD與△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=FD，∴AC=BD；（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x，∵BD=3，AD=5，在△ABD中，由三角形的三邊關系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4，即x的取值范圍是1＜x＜4．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質、角平分線定義以及三角形的三邊關系等知識，本題綜合性強，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．25．（2021·重慶開州·八年級期中）如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C點的坐標；（2）如圖2，P為y軸負半軸上的一個動點，當點P向y軸負半軸向下運動時，若以P為直角頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作D