行列式與矩陣

Donotworryabouttomorrow,fortomorrowwillbringworriesofitsown.Today'stroubleisenoughfortoday.

行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!用消元法解二元線性方程組行列式的引入定義的引出行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!方程組有唯一解為行列式的引入行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!當(dāng)時方程組有唯一解如果規(guī)定則有行列式的引入行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!三元線性方程組定義：行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!

二階行列式定義解:例行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!排列的逆序和逆序數(shù)定義：在一個排列i1

i2···

is

···it

···in

中，若數(shù)is>it，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序。例如:

排列32514中，

我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序，以n個不同的自然數(shù)為例,規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。32514逆序逆序逆序定義:

一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)，記為：行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!每一乘積項都是由n個元素組成，行標(biāo)為自然排列，列標(biāo)作全排列，代數(shù)和共有n!項每一項的符號由列標(biāo)排列的逆序數(shù)所決定n個元素中任意兩個元素都位于不同行不同列三階行列式行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!

行列式表示的是一個數(shù)n階行列式是由n!項組成，且正號項和負(fù)號項各占一半一階行列式|a|=a不要與絕對值記號相混淆n階行列式

注：行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!定義1由個數(shù)排成的行列的數(shù)表,

稱為行列的矩陣,簡稱矩陣.

記作:矩陣的定義m行n列行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!幾種特殊形式的矩陣

1.行矩陣與列矩陣

2.同型矩陣與矩陣的相等兩個矩陣行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，稱為同型矩陣。如果矩陣與矩陣是同型矩陣，且它們的對應(yīng)元素相等,即那么就稱這兩個矩陣相等.記作行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!5.上(下)三角矩陣

6.對角矩陣

幾種特殊形式的矩陣

行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!矩陣的運(yùn)算

矩陣的加法

1.定義

2.運(yùn)算規(guī)律注：只有同型矩陣才可以加減行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!數(shù)與矩陣的乘法1.定義

數(shù)與矩陣的乘積記作或規(guī)定為注：與為同型矩陣2.運(yùn)算規(guī)律行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!矩陣與矩陣的乘法1.定義

其中注意:行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!注：矩陣的乘法一般不滿足交換律，即一般來說進(jìn)行矩陣乘法時,一定要注意乘的次序，不能隨意改變

設(shè)求與.解:

矩陣與矩陣的乘法例行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!2.運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的):(其中為數(shù))(左分配律)(右分配律)矩陣與矩陣的乘法行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!線性方程組

若設(shè)則其矩陣形式為：矩陣與矩陣的乘法例行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!2.運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的):如矩陣的轉(zhuǎn)置行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!3.定義

設(shè)矩陣為階方陣，如果滿足即

那么稱為對稱矩陣；如果滿足即

那么稱為反對稱矩陣。注：(1)對稱矩陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等；(2)反對稱矩陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對角線為軸對應(yīng)互為相反數(shù)，且主對角線元素全為零。矩陣的轉(zhuǎn)置行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!逆矩陣

逆矩陣的定義及性質(zhì)定義

設(shè)為階方陣，若存在階方陣，使，則稱方陣可逆，稱為的逆矩陣。

注：行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!解所以行列式例行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!線性方程組的一般形式稱為系數(shù)行列式(1)行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!全排列引例:

用1,2,3三個數(shù)字,可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這是一個大家熟知的問題，答案是：3!=6。123 132 213 231 312 321定義:

把n個不同的元素排成一列,叫做這n個元素的全排列(或排列)。n個不同的元素的所有排列的種數(shù),通常用Pn

表示,稱為排列數(shù)。

Pn=n

(n–1)(n–2)···21=n!

行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!三級排列的逆序和逆序數(shù)排列逆序逆序數(shù)排列的奇偶性123無0偶排列132321奇排列213211奇排列23121，312偶排列31231，322偶排列32132，31，213奇排列排列的逆序和逆序數(shù)行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!

解：例三階行列式行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!行列式的性質(zhì)1.

行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。2.

互換行列式的兩行(列)，行列式變號。推論：如果行列式D有兩行(列)相同，則D=0。3.行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一數(shù)K，等于用數(shù)K乘此行列式。推論2：如果行列式D有一行(列)的元素全為零，則D=0推論3：如果行列式D有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則D=0推論1：行列式中某一行（列）的元素的公因數(shù)可以提到行列式符號的

外面。行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!矩陣是一個矩形的矩陣“數(shù)表”，行列式是在一個方形數(shù)表中根據(jù)定義規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)式，結(jié)果是一個數(shù)值。行列式n行n列，矩陣m行n列矩陣與行列式的區(qū)別行列式矩陣行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!3.零矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣.記作注意：不同型的零矩陣是不同的.或4.方陣行數(shù)與列數(shù)都等于

的矩陣稱為階矩陣或階方陣階方陣的元素稱為主對角線元素幾種特殊形式的矩陣

行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!7.單位矩陣

幾種特殊形式的矩陣

行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!3.負(fù)矩陣

4.矩陣的減法

例1矩陣的運(yùn)算

行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!設(shè)求解:

數(shù)與矩陣的乘法例行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!設(shè)求解:

記則設(shè)則:矩陣的乘法例行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!

設(shè)求與解:

注意:矩陣與矩陣的乘法例行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!3.矩陣的冪為正整數(shù).矩陣的冪滿足下列運(yùn)算規(guī)律:注:一般來說矩陣與矩陣的乘法行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!矩陣的轉(zhuǎn)置1.定義

設(shè)稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。即把矩陣的行換成同序號的列得到的一個新矩陣。

行列式和矩陣學(xué)生自學(xué)共39頁，您現(xiàn)在瀏覽的是