1如圖，已知等邊△ABC，CENDABM圖①CAEMBDN圖②ABCEDOPQAGFCBDE（圖１）ABCEDOPQADBECFADBECFABCDEFAECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2FABCDFE圖2DBEACABCDEBAC圖2DOPAMNEBCDFACEFBD圖①CENDABM圖①CAEMBDN圖②ABCEDOPQAGFCBDE（圖１）ABCEDOPQADBECFADBECFABCDEFAECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2FABCDFE圖2DBEACABCDEBAC圖2DOPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③ADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖3（1）如果點(diǎn)/的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)DCBAEH，求BD的長(zhǎng)．DCBAEH6．如圖，兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠ABC=30°，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接ME、MC，試判斷△EMC的形狀，并說明理由．，CF是△ABC的高，且BABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖ABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖3探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明．4．如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且∠DAE=∠FAE求證：AF=AD-CF5．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ADB=60°，E是AD上一點(diǎn)，且DE=DB，求證：AC=BEBC6、在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求證：BE＋CF＞EF．旋轉(zhuǎn)已知，如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A、B作的垂線，即AD⊥CE，BE⊥CE，（1）如圖1，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證：△ADC≌△CEB；（2）如圖2，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，求證：ED=BE-AD；（3）如圖3，當(dāng)CE在△ABC的外部時(shí)，試猜想ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題；探究型．分析：（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB．（2）根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB后，得其對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而得到ED=BE-AD．（3）根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CEDC，進(jìn)而得到ED=ADBE．解答：（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD∠ECB=90°，∠CAD∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC與△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD∠ECB=90°，∠CAD∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC與△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CD-CE，∴ED=BE-AD．（3）ED=ADBE．證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD∠ECB=90°，∠CAD∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC與△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CEDC，∴ED=ADBE．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量交換，證明線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是一種很重要的方法，注意掌握3如圖1、圖2、圖3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90o，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系請(qǐng)說明理由。（2）若△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖2的位置，請(qǐng)問AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎為什么（3）若△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖3的位置，請(qǐng)問AC與BD還相等嗎還具有上問中的位置關(guān)系嗎為什么考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩腰相等進(jìn)行解答．（2）證明△DOB≌△COA，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行說明．解答：解：（1）相等．在圖1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OA=OB，OC=OD，∴0A-0C=0B-OD，∴AC=BD；（2）相等．在圖2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA，∴BD=AC．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問題，在旋轉(zhuǎn)的過程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角．4（最新河南）．（9分）復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖①，已知在△ABC中，AB=AC，⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。若AB=2，求四邊形DECF的面積?？键c(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．專題：計(jì)算題．分析：（1）連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，則∠BCD=45°，∠CDA=90°，由∠DM⊥DN得∠EDF=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根據(jù)全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到結(jié)論；（2）由△DCE≌△ADF，則S△DCE=S△ADF，于是四邊形DECF的面積=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根據(jù)三角形的面積公式易求得S△ACD，從而得到四邊形DECF的面積．解答：解：（1）連CD，如圖，∵D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，∵∠DM⊥DN，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，（圖1）（圖2）（圖1）（圖2）（圖3）∠DCE=∠DAFDC=DA∠CDE=∠ADF，∴△DCE≌△ADF，∴DE=DF；（2）∵△DCE≌△ADF，∴S△DCE=S△ADF，∴四邊形DECF的面積=S△ACD，而AB=2，∴CD=DA=1，∴四邊形DECF的面積=S△ACD=12CD?DA=12．點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．1、已知四邊形中，，，，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．2、（西城09年一模）已知:、N，D為外一點(diǎn)，且,,BD=DC探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．圖1圖2圖3（=1\*ROMANI）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；（=2\*ROMANII）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（=1\*ROMANI）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎寫出你的猜想并加以證明；（=3\*ROMANIII）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q=（用、L表示）．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD=BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BMNC=MN，此時(shí)QL=23；（2）在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1=BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易證得∠CDN=∠MDN=60°，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1=BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后證得∠CDN=∠MDN=60°，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NC-BM=MN．解答：解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BMNC=MN．此時(shí)QL=23．（2分）．理由：∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BDC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°，∵DM=DN，BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，∴DM=2BM，DN=2CN，∴MN=2BM=2CN=BMCN；∴AM=AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB=AMBM，∴AM：AB=2：3，∴QL=23；（2）猜想：結(jié)論仍然成立．（3分）．證明：在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1=BM，連接DM1．（4分）∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1CNC=BMNC，∴△AMN的周長(zhǎng)為：AMMNAN=AMBMCNAN=ABAC，∴QL=23；（3）證明：在CN上截取CM1=BM，連接DM1．（4分）可證△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，（5分）可證∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，（7分）．∴NC-BM=MN．（8分）．點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．例8．（最新年馬尾）用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，（如圖13—1），通過觀察或測(cè)量BE，CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)（如圖13—2），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎簡(jiǎn)要說明理由考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．分析：（1）利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案；（2）根據(jù)已知可以得出∠BAE=∠CAF，進(jìn)而求出△ABE≌△ACF即可；（3）利用四邊形AECF的面積S=S△AECS△ACF=S△AECS△ABE=S△ABC求出即可．解答：解：（1）得出結(jié)論是：BE=CF，證明：∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即：∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，∴∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF，（2）還成立，證明：∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAC∠EAC=∠EAF∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，即∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF，（3）證明：∵△ABE≌△ACF，∴S△ABE=S△ACF，∴四邊形AECF的面積S=S△AECS△ACF=S△AECS△ABE=S△ABC；而S△ABC=12S菱形ABCD，∴S=12S菱形ABCD．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出是解題關(guān)鍵．解：（1）BE=CF證明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE∠EAC=∠CAF∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）∴BE=CF（2）BE=CF仍然成立根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明△ABE和△ACF旋轉(zhuǎn)型FEDCABGH1、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEFFEDCABGH求證：①△BCG≌△DCE②BH⊥DE考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．專題：動(dòng)點(diǎn)型．分析：（1）根據(jù)正方形的邊的性質(zhì)和直角可通過SAS判定△BCG≌△DCE，從而利用全等的性質(zhì)得到∠BGC=∠DEC；（2）連接BD，解題關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得出BD=BE，從而找到BD=2，CE=BE-BC=2-1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD、GCEF都是正方形，∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，GC=EC∴△BCG≌△DCE（3分）∴∠BGC=∠DEC（4分）（2）連接BD如果BH垂直平分DE，則有BD=BE（6分）∵BC=CD=1，∴BD=2（8分）∴CE=BE-BC=2-1（9分）∴CG=CE=2-1即當(dāng)CG=2-1時(shí)，BH垂直平分DE．（10分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．特殊圖形的特殊性質(zhì)要熟練掌握．2、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC．（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：DC⊥BE．考點(diǎn)：圖圖1圖2DCEABCBOD圖7AEBAODCECBOD圖7AEBAODCE圖8AEBMCF①當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。②若AB=2，求四邊形DECF的面積。10、如圖，已知AB=CD=AE=BCDE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五邊形ABCDE的面積考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：應(yīng)用題．分析：可延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，可得△ABC≌△AEF，連AC，AD，AF，可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)△ADF的面積，進(jìn)而求出結(jié)論．解答：解：延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，連AC，AD，AF，∵AB=CD=AE=BCDE，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EFDE=DF，在Rt△ABC與Rt△AEF中，∵AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF∴Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD與△AFD中，∵AC=AFCD=DFAD=AD∴△ACD≌△AFD（SSS），∴SABCDE=2S△ADF=2×12?DF?AE=2×12×2×2=4．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算，應(yīng)熟練掌握五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BEDF=EF，求∠EAF的度數(shù)將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GBBE=DFBE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE∠GAB=∠BAE∠DAF又∠EAF∠BAE∠DAF=90所以∠EAF=45度（1）如圖1，現(xiàn)有一正方形ABCD，將三角尺的指直角頂點(diǎn)放在A點(diǎn)處，兩條直角邊也與CB的延長(zhǎng)線、DC分別交于點(diǎn)E、F．請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量，判斷AE與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）將三角尺沿對(duì)角線平移到圖2的位置，⊥BC于M，E≌△⊥BC于M，=E≌△⊥BC于M，E≌△⊥BC于M，=E≌△上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB或它們的反向延長(zhǎng)線相交于D、E。當(dāng)三角形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），易證：CD=CE當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖2圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明。10、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以C為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長(zhǎng)線于H。（1）說明：△BCG≌△DCE；（2）BG與CD有何關(guān)系為什么（3）將正方形GCEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）、（2）中的結(jié)論還成立嗎畫出一個(gè)圖形，直接回答，不必說明理由。如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AMBMCM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．試說明這種作法的依據(jù)．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB；（2）連接MN，由（1）的結(jié)論證明△BMN為等邊三角形，所以BM=MN，即AMBMCM=ENMNCM，