第三章控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析

線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法引言一階系統(tǒng)時(shí)域分析二階系統(tǒng)時(shí)域分析第三章控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法引言一階3.1時(shí)域分析的提法

3.1.1時(shí)域分析的基本思想

時(shí)域分析問(wèn)題是指在時(shí)間域內(nèi)對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析，是通過(guò)系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下的時(shí)域響應(yīng)，來(lái)建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與系統(tǒng)的性能的定量關(guān)系。

3.1.2系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)通常人們關(guān)心的和便于直觀分析的往往是系統(tǒng)對(duì)于外加作用的反應(yīng)情況，也就是當(dāng)系統(tǒng)受外加作用所引起的輸出（即x(t)）隨時(shí)間的變化規(guī)律，我們稱其為系統(tǒng)的“時(shí)域響應(yīng)”。系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)由兩部分組成：瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。（這是從穩(wěn)定性角度分析）。

瞬態(tài)響應(yīng)是指在輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到達(dá)到一個(gè)新的穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程（亦稱為動(dòng)態(tài)響應(yīng)），又稱過(guò)渡過(guò)程。它還可以細(xì)分為狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，通常用瞬態(tài)性能指標(biāo)描述，它反映了系統(tǒng)的品質(zhì)。

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)的精度。3.1時(shí)域分析的提法3.1.1時(shí)域分析的基本思想3.1時(shí)域分析的提法

系統(tǒng)產(chǎn)生瞬態(tài)響應(yīng)的原因是，由于系統(tǒng)包含一些儲(chǔ)能元件，所以當(dāng)輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)，輸出量不能立即跟隨輸入信號(hào)而變化。而是在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之前逐漸趨近于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的變化過(guò)程。

值得指出的是，通常人們只討論穩(wěn)定系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，而且往往通過(guò)在典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)輸出的運(yùn)動(dòng)狀況對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行分析。

3.2時(shí)間響應(yīng)及其組成

（從外作用力與系統(tǒng)本身固有特性對(duì)微分方程的解的影響分析）。（講解）3.1時(shí)域分析的提法系統(tǒng)產(chǎn)生瞬

3.3典型輸入信號(hào)

在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，我們需要有一個(gè)對(duì)各種控制系統(tǒng)性能進(jìn)行分析的基礎(chǔ)。這種基礎(chǔ)可以這樣來(lái)實(shí)現(xiàn)：預(yù)先規(guī)定一些特殊的試驗(yàn)輸入信號(hào)（我們稱之為典型輸入信號(hào)），然后比較各種系統(tǒng)對(duì)這些輸入信號(hào)的響應(yīng)。(輸入分為確定性信號(hào)和非確定性信號(hào))。許多控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是建立在這些信號(hào)的基礎(chǔ)上。因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)特性與系統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性之間存在一定的關(guān)系，所以采用典型輸入信號(hào)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能是合理的。選擇典型輸入信號(hào)的原則是：

常用的典型輸入信號(hào)有下面幾種：1)反映最惡劣的工作情況；

2)反映實(shí)際的工作情況；

3)在數(shù)學(xué)上和實(shí)驗(yàn)中比較容易得到。3.3典型輸入信號(hào)在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)

3.3典型輸入信號(hào)

1．脈沖函數(shù)

脈沖函數(shù)的定義為

（3.3.1）其中，A為脈沖函數(shù)的階躍值，A=1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，是狄拉克－函數(shù)，它的定義為（3.3.2）

工程中常常用實(shí)際脈沖近似地表示理想脈沖。如圖3.1所示，實(shí)際的單位脈沖的數(shù)學(xué)關(guān)系為

（3.3.3）

3.3典型輸入信號(hào)1．脈沖函數(shù)

3.3典型輸入信號(hào)

其中,顯然，當(dāng)時(shí)，實(shí)際脈沖的極限即為理想脈沖。r(t)

t

圖3.1

實(shí)際單位脈沖函數(shù)3.3典型輸入信號(hào)

3.3典型輸入信號(hào)

單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為1，即

L2．階躍函數(shù)

階躍函數(shù)的定義為（3.3.4）

其中，A為階躍函數(shù)的階躍值（見(jiàn)圖3.2）。A＝1的階躍函數(shù)為單位階躍函數(shù)，記為1(t)，其一次微分為

圖3.2

階躍函數(shù)3.3典型輸入信號(hào)單

3.3典型輸入信號(hào)

單位階躍函數(shù)的拉氏變換為3．斜坡函數(shù)（或速度階躍函數(shù)）

斜坡函數(shù)的定義為（3.3.5）

其中，B為速度階躍值（見(jiàn)圖3.3）。B＝1的斜坡函數(shù)為單位斜坡函數(shù)，其一次微分為單位階躍函數(shù)。圖3.3

斜坡函數(shù)3.3典型輸入信號(hào)單

3.3典型輸入信號(hào)

單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為4．拋物線函數(shù)（或加速度階躍函數(shù)）拋物線函數(shù)的定義為（3.3.6）

其中，C為加速度階躍值（見(jiàn)圖3.4），C＝1的拋物線函數(shù)為單位拋物線函數(shù)，其一次微分為單位斜坡函數(shù)。

圖3.4

拋物線函數(shù)

3.3典型輸入信號(hào)單

3.3典型輸入信號(hào)

單位拋物線函數(shù)的拉氏變換為5．正弦函數(shù)正弦函數(shù)的定義為

（3.3.7）

其中，A為正弦函數(shù)的階躍值；為頻率（見(jiàn)圖3.5）。A＝1的正弦函數(shù)為單位正弦函數(shù)。

圖3.5

正弦函數(shù)3.3典型輸入信號(hào)單

3.3典型輸入信號(hào)

單位正弦函數(shù)的拉氏變換為

通常，我們用單位階躍函數(shù)作為典型輸入信號(hào)，則可以在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。3.3典型輸入信號(hào)單

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

對(duì)于任何一個(gè)控制系統(tǒng)，如果其數(shù)學(xué)模型及初始條件、外界輸入給定，我們總可以通過(guò)求出其時(shí)域響應(yīng)表達(dá)式來(lái)對(duì)其瞬態(tài)響應(yīng)特性和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性進(jìn)行分析。粗略地說(shuō)，在控制系統(tǒng)的全部響應(yīng)過(guò)程里，系統(tǒng)的瞬態(tài)性能表現(xiàn)在過(guò)渡過(guò)程完結(jié)之前的響應(yīng)中。系統(tǒng)性能的分析，又以準(zhǔn)確的定量方式來(lái)描述而被稱為系統(tǒng)的性能指標(biāo)。在系統(tǒng)分析中，無(wú)論是本章介紹的時(shí)域分析法，還是后面各章的其它系統(tǒng)分析方法，都是緊密地圍繞系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)分析控制系統(tǒng)的。需要指出的是，只有穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)于其瞬態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性的研究才是有意義的。本節(jié)將討論控制系統(tǒng)的瞬能性能分析，下一節(jié)介紹穩(wěn)態(tài)性能分析。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1

瞬態(tài)性能指標(biāo)瞬態(tài)響應(yīng)指的是一個(gè)控制系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程中的狀態(tài)和輸出的行為。所謂過(guò)渡過(guò)程，是指系統(tǒng)在外力的作用下從一個(gè)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的過(guò)程。下面我們著重分析零狀態(tài)下，線性定常連續(xù)系統(tǒng)受到單位階躍函數(shù)輸入作用時(shí)，輸出響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。在控制系統(tǒng)中，把階躍信號(hào)當(dāng)作對(duì)系統(tǒng)性能考驗(yàn)最為嚴(yán)重的輸入信號(hào)。若系統(tǒng)對(duì)該類輸入信號(hào)的響應(yīng)良好，則該系統(tǒng)對(duì)其它信號(hào)的響應(yīng)一般也是良好的。為了定量地說(shuō)明控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，通常采用一些瞬態(tài)性能指標(biāo)。一個(gè)穩(wěn)定的線性定常連續(xù)系統(tǒng)對(duì)單位階躍函數(shù)的響應(yīng)通常有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種類型。具有衰減振蕩的瞬態(tài)過(guò)程如圖3.11所示。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

圖3.11

具有衰減振蕩的單位階躍響應(yīng)

根據(jù)圖中所顯示的響應(yīng)特性，我們來(lái)定義常用的瞬態(tài)性能指標(biāo)，

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析0tσ超調(diào)量允許誤差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析0tσ超調(diào)量允許誤差±Δ10.90.50.1trtpts延遲時(shí)間td（DelayTime）：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。上升時(shí)間tr（RisingTime）:響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時(shí)間(對(duì)于無(wú)振蕩系統(tǒng))。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。對(duì)于震蕩系統(tǒng)，也可定義為由零開(kāi)始，首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。峰值時(shí)間tp（PeakTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析延遲時(shí)間td（DelayTime）：3.4調(diào)節(jié)時(shí)間ts（SettlingTime）：

響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個(gè)允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時(shí)間。用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%）作為誤差范圍;超調(diào)量Mp或σ%（MaximumOvershoot）：超出穩(wěn)態(tài)值（為1）的最大偏離量Mp

⑥

穩(wěn)態(tài)誤差ess：期望值與實(shí)際值之差。

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析調(diào)節(jié)時(shí)間ts（SettlingTime）：

或評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)，從整體上反映系統(tǒng)的快速性。直接反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

穩(wěn)定性能指標(biāo)和抗干擾能力。越小，系統(tǒng)精度越。ess

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析或評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時(shí)反映響應(yīng)速

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.

1一階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

典型一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3.12（a）所示。在物理上，這個(gè)系統(tǒng)可以表示一個(gè)R－C電路，也可以表示一個(gè)熱系統(tǒng)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

（3.4.1）其中，稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，－K為系統(tǒng)的極點(diǎn)值。凡是具有（3.4.1）式形式傳遞函數(shù)的系統(tǒng)為一階慣性系統(tǒng)，它在S平面上的極點(diǎn)分布為如圖3.12（b）所示。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可由下式求出

（3.4.2）

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.

1一階系統(tǒng)瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析圖3.12（c）為一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線。

(a)

(b)

(c)

圖3.12

一階系統(tǒng)及其單位階級(jí)階躍響應(yīng)曲線

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析圖3.12（c）為一階

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

根據(jù)響應(yīng)曲線，我們可以得到一階系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)的瞬態(tài)性能指標(biāo)以及定量描述。首先分析快速性。描述系統(tǒng)的快速性使用的是時(shí)間指標(biāo)。因?yàn)橐浑A系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是單調(diào)的，只考慮調(diào)節(jié)時(shí)間ts即可。一階系統(tǒng)只有一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)T，即系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)。當(dāng)以時(shí)間常數(shù)T為參變量來(lái)考查系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由圖3.12(c)，可以得到下列結(jié)論：

（3.4.3）

另外，我們還可以根據(jù)時(shí)間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出的數(shù)值。例如,t=T時(shí)，，而當(dāng)t分別等于2T、3T、4T時(shí)，

數(shù)值將分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的86.5％，95％和98％。根據(jù)這一特點(diǎn)，可以用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，或者判定所測(cè)系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析根據(jù)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

其次分析平穩(wěn)性。

平穩(wěn)性的指標(biāo)為超調(diào)量δ％。因?yàn)橐浑A系統(tǒng)是沒(méi)有超調(diào)量的，因此認(rèn)為其平穩(wěn)性是好的。

最后來(lái)看準(zhǔn)確性。

由于時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，輸出響應(yīng)可以趨于穩(wěn)態(tài)值。雖然在理論是永遠(yuǎn)達(dá)不到的，但是在給定了允許誤差范圍后，即認(rèn)為過(guò)了調(diào)節(jié)時(shí)間ts之后，系統(tǒng)就進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)，所以一階系統(tǒng)的準(zhǔn)確性也是可以滿足的。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析其次分

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析一階系統(tǒng)的單位脈

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

一階系統(tǒng)的單位斜坡（速度）響應(yīng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析一階系統(tǒng)的單位斜

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析一階系統(tǒng)的單位加閉環(huán)傳遞函數(shù)輸入信號(hào)時(shí)域輸出響應(yīng)ess01(t)0t

T無(wú)窮大等價(jià)關(guān)系：

1)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)；

2)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分。

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析閉環(huán)傳遞輸入信號(hào)輸出響應(yīng)ess01(t)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1.2

典型二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二階系統(tǒng)的研究具有重要意義，它不僅在工程實(shí)際中比較常見(jiàn)，而且許多高階系統(tǒng)在一定的條件下也可以近似為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況，可以滿足不同系統(tǒng)的要求。此外，工程上還采用所謂二階系統(tǒng)的最佳工程參數(shù)作為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。一、典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)設(shè)有一隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3.15所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

圖3.15

隨動(dòng)系統(tǒng)方塊圖3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.2

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1.2

典型二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

（3.4.4）其中，K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，T為執(zhí)行電動(dòng)機(jī)的時(shí)間常數(shù)。由（3.4.4）式可以求得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

（3.4.5）

控制系統(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間的關(guān)系，凡可用如（3.4.5）式的二階微分方程描述的，均稱為二階系統(tǒng)。上述隨動(dòng)系統(tǒng)就是一個(gè)二階系統(tǒng)。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.2

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1.2

典型二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析為了分析方便，常常把二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即

(3.4.6)

其中

－自然頻率（或無(wú)阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.2

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1.2

典型二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析通常把（3.4.6）式稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。將上述隨動(dòng)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即有

其中3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.2

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1.2

典型二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析此時(shí)圖3.15可以變換為圖3.16。這樣，二階系統(tǒng)的的過(guò)渡過(guò)程，就可以用n和這兩個(gè)參數(shù)來(lái)加以描述。

圖3.16

典型二階系統(tǒng)方塊圖3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.2

圖二階系統(tǒng)極點(diǎn)分布左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個(gè)相等根jωnξ=0ωd=ωnσjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1兩個(gè)不等根0特征方程：特征根：

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析從而解得兩個(gè)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）為：

（3.4.10）

圖二階系統(tǒng)極點(diǎn)分布左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個(gè)相等根j

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

（3.4.10）式表明，隨著阻尼比取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根也不相同。下面逐一加以說(shuō)明。1、

欠阻尼（0＜＜1）當(dāng)0＜＜1時(shí)，兩個(gè)特征根為是一對(duì)共軛復(fù)根，如圖3.17（a）所示.2、臨界阻尼（）當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根，即此時(shí)的如圖3.17（b）所示

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析（3.4.10）

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3、過(guò)阻尼（）當(dāng)時(shí)，兩個(gè)特征根為是兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根，如圖3.17（c），所示。4.無(wú)阻尼（）當(dāng)時(shí)，特征方程具有一對(duì)共軛純虛根，如圖3.17（d）所示，這是欠阻尼的特殊情況。

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3、過(guò)阻尼（

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

(a)0＜＜1(b)=1(c)＞1(d)=0圖3.17

典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

(a)0

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由（3.4.6）式可求得典型二階系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下輸出信號(hào)的拉氏變換，即

（3.4.10）

方程：的根，即：閉環(huán)極點(diǎn)：

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由（3.4.6）式可求得典型二階系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下

1、

欠阻尼（0＜＜1）在這種情況下，（3.4.10）式可以展開(kāi)成如下的部分分式：（3.4.11）

其中，稱為阻尼振蕩頻率。對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

（3.4.12）上式還可以改寫成

（3.4.13）

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

其中，如圖3.18所示

.

圖3.18欠阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布及￠

角的定義3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

在控制工程中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

從（3.4.13）式可以看出，對(duì)應(yīng)于時(shí)的動(dòng)態(tài)過(guò)程c（t）為一衰減的正弦振蕩曲線（見(jiàn)圖3.19），其衰減速度取決于值的大小，而衰減振蕩的周期為

2、

無(wú)阻尼（）將代入（3.4.13）式，可直接得到：

（3.4.14）

從上式可以看出，無(wú)阻尼（）時(shí)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是等幅正弦振蕩（見(jiàn)圖3.20）振蕩頻率為。

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖3.20

無(wú)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是當(dāng)無(wú)阻尼（）時(shí)二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程為等幅正弦振蕩的角頻率；是欠阻尼（）時(shí)二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程為衰減正弦振蕩的角頻率。這就是它們分別被稱為無(wú)阻尼振蕩頻率和阻尼振蕩頻率的原因。而，顯然＜，并且隨著值的增大，的值將減小。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

3、臨界阻尼（＝1）此時(shí)，（3.4.10）式可以展開(kāi)成如下部分分式（3.4.15）對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得

（3.4.16）是一條無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升的曲線，如圖3.21所示。

圖3.21

臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

4、過(guò)阻尼（＞1）這時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根，即于是，（3.4.10）式可以展開(kāi)成如下的部分分式取上式的拉氏反變換，得3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

4、過(guò)阻尼（＞1）

當(dāng)遠(yuǎn)大于1時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)s1將比s2到虛軸的距離遠(yuǎn)得多。在（3.4.18）式的兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)中，包含s1的項(xiàng)要比包含s2的項(xiàng)衰減快得多，所以s1對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響，要比s2對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響小得多。因此,在求取輸出信號(hào)c(t)的近似解時(shí)，可以忽略s1對(duì)系統(tǒng)的影響，把二階系統(tǒng)近似地看成一階系統(tǒng)，近似一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:（3.4.18）3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

4、過(guò)阻尼（＞1）

可以得到近似一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

此時(shí)二階系統(tǒng)就近似與一個(gè)慣性系統(tǒng)，單位階躍的瞬態(tài)響應(yīng)無(wú)超調(diào)，無(wú)振蕩，過(guò)渡過(guò)程比臨界阻尼時(shí)長(zhǎng)。（3.4.19）（3.4.20）3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二、典型二階系統(tǒng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析上圖中畫出了對(duì)應(yīng)于不同阻尼比的一簇曲線。應(yīng)當(dāng)指出，在圖3.23中，橫坐標(biāo)不是時(shí)間t，而是相對(duì)時(shí)間，因而曲線只是的函數(shù)。這樣取標(biāo)度是為了更好地反映對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的影響?？梢钥闯觯枘岜仍叫?，超調(diào)量越大，上升時(shí)間越短，振蕩程度越加嚴(yán)重，

1)當(dāng)＝0時(shí)出現(xiàn)等幅不衰減振蕩

;2)當(dāng)時(shí)，動(dòng)態(tài)過(guò)程具有單調(diào)上升的特性;

3)在欠阻尼（0＜＜1)系統(tǒng)中，對(duì)應(yīng)于＝0.4～0.8的動(dòng)態(tài)過(guò)程，不僅具有比＝1時(shí)更短的調(diào)節(jié)時(shí)間，而且振蕩程度也不嚴(yán)重。

因此，在一般情況下，希望二階系統(tǒng)工作在＝0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)。因?yàn)樵谶@種狀態(tài)下系統(tǒng)將有一個(gè)振蕩特性適度、持續(xù)時(shí)間較短的瞬態(tài)過(guò)程。而對(duì)于有些不允許瞬態(tài)過(guò)程出現(xiàn)超調(diào)的情況（例如指示儀表系統(tǒng)和記錄儀表系統(tǒng)），則需要采用臨界阻尼系統(tǒng)或過(guò)阻尼系統(tǒng)。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析上圖中畫出了對(duì)應(yīng)于不同阻第-三-章--控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析課件5、負(fù)阻尼情況（）

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析5、負(fù)阻尼情況（）3.4

控制系統(tǒng)第-三-章--控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析課件

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)對(duì)于不允許產(chǎn)生振蕩的控制系統(tǒng)，應(yīng)工作在過(guò)阻尼狀態(tài)，它的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)類似一階系統(tǒng)，可參考之。對(duì)于大多控制系統(tǒng)通常允許有適度的振蕩特性，因此系統(tǒng)經(jīng)常工作在欠阻尼狀態(tài)。下面是二階系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。1、上升時(shí)間tr

t=tr時(shí)，c(t)=1。即3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)因?yàn)樗裕╧=1，2，…；)3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)由上圖即：

,由于為第一次達(dá)到輸出穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，所以k=1。得：

上升時(shí)間

阻尼比一定時(shí)，要求上升時(shí)間tr較短，則無(wú)阻尼自然頻率ωn應(yīng)較高。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

2、峰值時(shí)間

t=tp時(shí)，c’(t)=0

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

2、峰值時(shí)間因?yàn)榉逯禃r(shí)間對(duì)應(yīng)于第一個(gè)峰值的超調(diào)量，又tp≠0，所以：k=1得可見(jiàn)峰值時(shí)間tp為阻尼振蕩周期的Td一半，它的變化趨勢(shì)與上升時(shí)間相同。3．

最大超調(diào)量Mp：最大超調(diào)量發(fā)生在峰值時(shí)間當(dāng)有最大值

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)3．

最大超調(diào)量Mp：最大超調(diào)量發(fā)生在峰值時(shí)間

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)3．

最大超調(diào)量Mp：最大超調(diào)量發(fā)生在峰值時(shí)間

可見(jiàn)最大超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)，與無(wú)阻尼自然頻率無(wú)關(guān)，阻尼比越小，超調(diào)量越大，ζ=1時(shí)，Mp=0。ζ=0時(shí)，Mp=1。

若系統(tǒng)的超調(diào)量已經(jīng)確定，則系統(tǒng)的阻尼比就可以被相應(yīng)地計(jì)算出來(lái)，通常取控制系統(tǒng)的最大超調(diào)量

％＝25％~1.5％，所以阻尼比為=0.4~0.8。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)4．調(diào)節(jié)時(shí)間ts

根據(jù)定義，當(dāng)t≥ts時(shí)，應(yīng)有為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們用的包絡(luò)線近似地代替作為求的第一次近似，由圖可見(jiàn)，的曲線總在一對(duì)包絡(luò)線內(nèi)。包絡(luò)線為3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)4．調(diào)節(jié)時(shí)間ts

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)4．調(diào)節(jié)時(shí)間ts當(dāng)t=時(shí)，有

用近似表示，得當(dāng)較小時(shí)，可取作為第二次近似，有（取Δ＝2）（取Δ＝5）3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)4．調(diào)節(jié)時(shí)間ts

ts與ζωn成反比，當(dāng)ωn一定時(shí)，ζ越大ts越小，這一點(diǎn)與上升時(shí)間和最大超調(diào)時(shí)間的變化相反。

5、振蕩次數(shù)根據(jù)定義，有（取Δ＝2）（取Δ＝5）3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

是系統(tǒng)的阻尼振蕩周期。取Δ＝2時(shí)，，有

取Δ＝5時(shí)，，有

若已知，考慮到，即從而可以求得振蕩次數(shù)與超調(diào)量的關(guān)系為3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

取Δ＝2時(shí)

取Δ＝5時(shí)振蕩次數(shù)N只與阻尼比有關(guān)，

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

6．

結(jié)論：

a)

二階系統(tǒng)的瞬態(tài)指標(biāo)由ζ和ωn共同決定，綜合考慮它們的影響來(lái)進(jìn)行選擇。

b)

增大無(wú)阻尼自然頻率ωn，可提高系統(tǒng)的快速響應(yīng)性能，而不會(huì)改變超調(diào)量。

c)

增大阻尼比，可減小最大超調(diào)量，減弱系統(tǒng)的振蕩性能，使系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性增加，但會(huì)使系統(tǒng)的快速性變差，當(dāng)允許誤差范圍為0.02--0.05時(shí)調(diào)整時(shí)間在ζ=0.7左右時(shí)最小。因此稱ζ=0.707為最佳阻尼比。一般綜合考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性能，選擇在ζ=0.4～0.8的范圍內(nèi)。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

三．二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

7．

解題思路：

物理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

兩階標(biāo)準(zhǔn)型 3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析三．二階系統(tǒng)的瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

四．舉例

例1磁懸浮列車線圈電流間隙的大小求K=100時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)?！?(sE×3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析四．舉例例1第-三-章--控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析課件第三章控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析

線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法引言一階系統(tǒng)時(shí)域分析二階系統(tǒng)時(shí)域分析第三章控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法引言一階3.1時(shí)域分析的提法

3.1.1時(shí)域分析的基本思想

時(shí)域分析問(wèn)題是指在時(shí)間域內(nèi)對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析，是通過(guò)系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下的時(shí)域響應(yīng)，來(lái)建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與系統(tǒng)的性能的定量關(guān)系。

3.1.2系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)通常人們關(guān)心的和便于直觀分析的往往是系統(tǒng)對(duì)于外加作用的反應(yīng)情況，也就是當(dāng)系統(tǒng)受外加作用所引起的輸出（即x(t)）隨時(shí)間的變化規(guī)律，我們稱其為系統(tǒng)的“時(shí)域響應(yīng)”。系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)由兩部分組成：瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。（這是從穩(wěn)定性角度分析）。

瞬態(tài)響應(yīng)是指在輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到達(dá)到一個(gè)新的穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程（亦稱為動(dòng)態(tài)響應(yīng)），又稱過(guò)渡過(guò)程。它還可以細(xì)分為狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，通常用瞬態(tài)性能指標(biāo)描述，它反映了系統(tǒng)的品質(zhì)。

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)的精度。3.1時(shí)域分析的提法3.1.1時(shí)域分析的基本思想3.1時(shí)域分析的提法

系統(tǒng)產(chǎn)生瞬態(tài)響應(yīng)的原因是，由于系統(tǒng)包含一些儲(chǔ)能元件，所以當(dāng)輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)，輸出量不能立即跟隨輸入信號(hào)而變化。而是在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之前逐漸趨近于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的變化過(guò)程。

值得指出的是，通常人們只討論穩(wěn)定系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，而且往往通過(guò)在典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)輸出的運(yùn)動(dòng)狀況對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行分析。

3.2時(shí)間響應(yīng)及其組成

（從外作用力與系統(tǒng)本身固有特性對(duì)微分方程的解的影響分析）。（講解）3.1時(shí)域分析的提法系統(tǒng)產(chǎn)生瞬

3.3典型輸入信號(hào)

在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，我們需要有一個(gè)對(duì)各種控制系統(tǒng)性能進(jìn)行分析的基礎(chǔ)。這種基礎(chǔ)可以這樣來(lái)實(shí)現(xiàn)：預(yù)先規(guī)定一些特殊的試驗(yàn)輸入信號(hào)（我們稱之為典型輸入信號(hào)），然后比較各種系統(tǒng)對(duì)這些輸入信號(hào)的響應(yīng)。(輸入分為確定性信號(hào)和非確定性信號(hào))。許多控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是建立在這些信號(hào)的基礎(chǔ)上。因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)特性與系統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性之間存在一定的關(guān)系，所以采用典型輸入信號(hào)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能是合理的。選擇典型輸入信號(hào)的原則是：

常用的典型輸入信號(hào)有下面幾種：1)反映最惡劣的工作情況；

2)反映實(shí)際的工作情況；

3)在數(shù)學(xué)上和實(shí)驗(yàn)中比較容易得到。3.3典型輸入信號(hào)在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)

3.3典型輸入信號(hào)

1．脈沖函數(shù)

脈沖函數(shù)的定義為

（3.3.1）其中，A為脈沖函數(shù)的階躍值，A=1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，是狄拉克－函數(shù)，它的定義為（3.3.2）

工程中常常用實(shí)際脈沖近似地表示理想脈沖。如圖3.1所示，實(shí)際的單位脈沖的數(shù)學(xué)關(guān)系為

（3.3.3）

3.3典型輸入信號(hào)1．脈沖函數(shù)

3.3典型輸入信號(hào)

其中,顯然，當(dāng)時(shí)，實(shí)際脈沖的極限即為理想脈沖。r(t)

t

圖3.1

實(shí)際單位脈沖函數(shù)3.3典型輸入信號(hào)

3.3典型輸入信號(hào)

單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為1，即

L2．階躍函數(shù)

階躍函數(shù)的定義為（3.3.4）

其中，A為階躍函數(shù)的階躍值（見(jiàn)圖3.2）。A＝1的階躍函數(shù)為單位階躍函數(shù)，記為1(t)，其一次微分為

圖3.2

階躍函數(shù)3.3典型輸入信號(hào)單

3.3典型輸入信號(hào)

單位階躍函數(shù)的拉氏變換為3．斜坡函數(shù)（或速度階躍函數(shù)）

斜坡函數(shù)的定義為（3.3.5）

其中，B為速度階躍值（見(jiàn)圖3.3）。B＝1的斜坡函數(shù)為單位斜坡函數(shù)，其一次微分為單位階躍函數(shù)。圖3.3

斜坡函數(shù)3.3典型輸入信號(hào)單

3.3典型輸入信號(hào)

單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為4．拋物線函數(shù)（或加速度階躍函數(shù)）拋物線函數(shù)的定義為（3.3.6）

其中，C為加速度階躍值（見(jiàn)圖3.4），C＝1的拋物線函數(shù)為單位拋物線函數(shù)，其一次微分為單位斜坡函數(shù)。

圖3.4

拋物線函數(shù)

3.3典型輸入信號(hào)單

3.3典型輸入信號(hào)

單位拋物線函數(shù)的拉氏變換為5．正弦函數(shù)正弦函數(shù)的定義為

（3.3.7）

其中，A為正弦函數(shù)的階躍值；為頻率（見(jiàn)圖3.5）。A＝1的正弦函數(shù)為單位正弦函數(shù)。

圖3.5

正弦函數(shù)3.3典型輸入信號(hào)單

3.3典型輸入信號(hào)

單位正弦函數(shù)的拉氏變換為

通常，我們用單位階躍函數(shù)作為典型輸入信號(hào)，則可以在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。3.3典型輸入信號(hào)單

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

對(duì)于任何一個(gè)控制系統(tǒng)，如果其數(shù)學(xué)模型及初始條件、外界輸入給定，我們總可以通過(guò)求出其時(shí)域響應(yīng)表達(dá)式來(lái)對(duì)其瞬態(tài)響應(yīng)特性和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性進(jìn)行分析。粗略地說(shuō)，在控制系統(tǒng)的全部響應(yīng)過(guò)程里，系統(tǒng)的瞬態(tài)性能表現(xiàn)在過(guò)渡過(guò)程完結(jié)之前的響應(yīng)中。系統(tǒng)性能的分析，又以準(zhǔn)確的定量方式來(lái)描述而被稱為系統(tǒng)的性能指標(biāo)。在系統(tǒng)分析中，無(wú)論是本章介紹的時(shí)域分析法，還是后面各章的其它系統(tǒng)分析方法，都是緊密地圍繞系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)分析控制系統(tǒng)的。需要指出的是，只有穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)于其瞬態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性的研究才是有意義的。本節(jié)將討論控制系統(tǒng)的瞬能性能分析，下一節(jié)介紹穩(wěn)態(tài)性能分析。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1

瞬態(tài)性能指標(biāo)瞬態(tài)響應(yīng)指的是一個(gè)控制系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程中的狀態(tài)和輸出的行為。所謂過(guò)渡過(guò)程，是指系統(tǒng)在外力的作用下從一個(gè)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的過(guò)程。下面我們著重分析零狀態(tài)下，線性定常連續(xù)系統(tǒng)受到單位階躍函數(shù)輸入作用時(shí)，輸出響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。在控制系統(tǒng)中，把階躍信號(hào)當(dāng)作對(duì)系統(tǒng)性能考驗(yàn)最為嚴(yán)重的輸入信號(hào)。若系統(tǒng)對(duì)該類輸入信號(hào)的響應(yīng)良好，則該系統(tǒng)對(duì)其它信號(hào)的響應(yīng)一般也是良好的。為了定量地說(shuō)明控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，通常采用一些瞬態(tài)性能指標(biāo)。一個(gè)穩(wěn)定的線性定常連續(xù)系統(tǒng)對(duì)單位階躍函數(shù)的響應(yīng)通常有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種類型。具有衰減振蕩的瞬態(tài)過(guò)程如圖3.11所示。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

圖3.11

具有衰減振蕩的單位階躍響應(yīng)

根據(jù)圖中所顯示的響應(yīng)特性，我們來(lái)定義常用的瞬態(tài)性能指標(biāo)，

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析0tσ超調(diào)量允許誤差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析0tσ超調(diào)量允許誤差±Δ10.90.50.1trtpts延遲時(shí)間td（DelayTime）：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。上升時(shí)間tr（RisingTime）:響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時(shí)間(對(duì)于無(wú)振蕩系統(tǒng))。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。對(duì)于震蕩系統(tǒng)，也可定義為由零開(kāi)始，首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。峰值時(shí)間tp（PeakTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析延遲時(shí)間td（DelayTime）：3.4調(diào)節(jié)時(shí)間ts（SettlingTime）：

響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個(gè)允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時(shí)間。用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%）作為誤差范圍;超調(diào)量Mp或σ%（MaximumOvershoot）：超出穩(wěn)態(tài)值（為1）的最大偏離量Mp

⑥

穩(wěn)態(tài)誤差ess：期望值與實(shí)際值之差。

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析調(diào)節(jié)時(shí)間ts（SettlingTime）：

或評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)，從整體上反映系統(tǒng)的快速性。直接反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

穩(wěn)定性能指標(biāo)和抗干擾能力。越小，系統(tǒng)精度越。ess

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析或評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時(shí)反映響應(yīng)速

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.

1一階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

典型一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3.12（a）所示。在物理上，這個(gè)系統(tǒng)可以表示一個(gè)R－C電路，也可以表示一個(gè)熱系統(tǒng)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

（3.4.1）其中，稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，－K為系統(tǒng)的極點(diǎn)值。凡是具有（3.4.1）式形式傳遞函數(shù)的系統(tǒng)為一階慣性系統(tǒng)，它在S平面上的極點(diǎn)分布為如圖3.12（b）所示。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可由下式求出

（3.4.2）

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.

1一階系統(tǒng)瞬

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析圖3.12（c）為一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線。

(a)

(b)

(c)

圖3.12

一階系統(tǒng)及其單位階級(jí)階躍響應(yīng)曲線

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析圖3.12（c）為一階

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

根據(jù)響應(yīng)曲線，我們可以得到一階系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)的瞬態(tài)性能指標(biāo)以及定量描述。首先分析快速性。描述系統(tǒng)的快速性使用的是時(shí)間指標(biāo)。因?yàn)橐浑A系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是單調(diào)的，只考慮調(diào)節(jié)時(shí)間ts即可。一階系統(tǒng)只有一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)T，即系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)。當(dāng)以時(shí)間常數(shù)T為參變量來(lái)考查系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由圖3.12(c)，可以得到下列結(jié)論：

（3.4.3）

另外，我們還可以根據(jù)時(shí)間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出的數(shù)值。例如,t=T時(shí)，，而當(dāng)t分別等于2T、3T、4T時(shí)，

數(shù)值將分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的86.5％，95％和98％。根據(jù)這一特點(diǎn)，可以用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，或者判定所測(cè)系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析根據(jù)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

其次分析平穩(wěn)性。

平穩(wěn)性的指標(biāo)為超調(diào)量δ％。因?yàn)橐浑A系統(tǒng)是沒(méi)有超調(diào)量的，因此認(rèn)為其平穩(wěn)性是好的。

最后來(lái)看準(zhǔn)確性。

由于時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，輸出響應(yīng)可以趨于穩(wěn)態(tài)值。雖然在理論是永遠(yuǎn)達(dá)不到的，但是在給定了允許誤差范圍后，即認(rèn)為過(guò)了調(diào)節(jié)時(shí)間ts之后，系統(tǒng)就進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)，所以一階系統(tǒng)的準(zhǔn)確性也是可以滿足的。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析其次分

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析一階系統(tǒng)的單位脈

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

一階系統(tǒng)的單位斜坡（速度）響應(yīng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析一階系統(tǒng)的單位斜

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析一階系統(tǒng)的單位加閉環(huán)傳遞函數(shù)輸入信號(hào)時(shí)域輸出響應(yīng)ess01(t)0t

T無(wú)窮大等價(jià)關(guān)系：

1)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)；

2)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分。

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析閉環(huán)傳遞輸入信號(hào)輸出響應(yīng)ess01(t)

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1.2

典型二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析二階系統(tǒng)的研究具有重要意義，它不僅在工程實(shí)際中比較常見(jiàn)，而且許多高階系統(tǒng)在一定的條件下也可以近似為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況，可以滿足不同系統(tǒng)的要求。此外，工程上還采用所謂二階系統(tǒng)的最佳工程參數(shù)作為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。一、典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)設(shè)有一隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3.15所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

圖3.15

隨動(dòng)系統(tǒng)方塊圖3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.2

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1.2

典型二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

（3.4.4）其中，K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，T為執(zhí)行電動(dòng)機(jī)的時(shí)間常數(shù)。由（3.4.4）式可以求得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

（3.4.5）

控制系統(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間的關(guān)系，凡可用如（3.4.5）式的二階微分方程描述的，均稱為二階系統(tǒng)。上述隨動(dòng)系統(tǒng)就是一個(gè)二階系統(tǒng)。3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.2

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1.2

典型二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析為了分析方便，常常把二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即

(3.4.6)

其中

－自然頻率（或無(wú)阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.2

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1.2

典型二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析通常把（3.4.6）式稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。將上述隨動(dòng)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即有

其中3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.2

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3.4.1.2

典型二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析此時(shí)圖3.15可以變換為圖3.16。這樣，二階系統(tǒng)的的過(guò)渡過(guò)程，就可以用n和這兩個(gè)參數(shù)來(lái)加以描述。

圖3.16

典型二階系統(tǒng)方塊圖3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析3.4.1.2

圖二階系統(tǒng)極點(diǎn)分布左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個(gè)相等根jωnξ=0ωd=ωnσjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1兩個(gè)不等根0特征方程：特征根：

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析從而解得兩個(gè)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）為：

（3.4.10）

圖二階系統(tǒng)極點(diǎn)分布左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個(gè)相等根j

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

（3.4.10）式表明，隨著阻尼比取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根也不相同。下面逐一加以說(shuō)明。1、

欠阻尼（0＜＜1）當(dāng)0＜＜1時(shí)，兩個(gè)特征根為是一對(duì)共軛復(fù)根，如圖3.17（a）所示.2、臨界阻尼（）當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根，即此時(shí)的如圖3.17（b）所示

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析（3.4.10）

3.4

控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

3、過(guò)阻尼（）當(dāng)時(shí)，兩個(gè)特征根為是兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根，如圖3.17（c），所示。4.無(wú)阻尼（）當(dāng)時(shí)，特征方程具有一對(duì)