第三節(jié)空間直角坐標(biāo)系【知識點(diǎn)梳理】1、右手直角坐標(biāo)系=1\*GB3①右手直角坐標(biāo)系的建立規(guī)則：軸、軸、軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指；=2\*GB3②已知點(diǎn)的坐標(biāo)作點(diǎn)的方法與步驟（路徑法）：沿軸正方向（時）或負(fù)方向（時）移動個單位，再沿軸正方向（時）或負(fù)方向（時）移動個單位，最后沿軸正方向（時）或負(fù)方向（時）移動個單位，即可作出點(diǎn)；=3\*GB3③已知點(diǎn)的位置求坐標(biāo)的方法：過作三個平面分別與軸、軸、軸垂直于，點(diǎn)在軸、軸、軸的坐標(biāo)分別是，則就是點(diǎn)的坐標(biāo)．2、在軸上的點(diǎn)分別可以表示為；在坐標(biāo)平面，，內(nèi)的點(diǎn)分別可以表示為．3、點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)．4、已知空間兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為．5、空間兩點(diǎn)間的距離公式：已知空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)距離為，特殊地，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為．6、以為球心，為半徑的球面方程為，特殊地,以原點(diǎn)為球心，為半徑的球面方程為．【典型例題】題型一、認(rèn)識空間直角坐標(biāo)系例題1：在空間直角坐標(biāo)系中，表示（）A．軸上的點(diǎn)B．過軸的平面C．垂直于軸的平面D．平行于軸的直線【解析】選C，表示所有在軸上的投影是點(diǎn)的點(diǎn)的集合，所以表示經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的平面．【點(diǎn)評】類比平面直角坐標(biāo)系,可以幫助我們認(rèn)識空間直角坐標(biāo)系，要從滿足某些特殊條件的點(diǎn)的坐標(biāo)特征去思考問題．如：經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的平面上的點(diǎn)都可表示為．題型二、空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式與點(diǎn)的對稱問題例題2：點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為．【解析】因點(diǎn)和關(guān)于軸對稱，所以點(diǎn)和的豎坐標(biāo)相同，且在平面的射影關(guān)于原點(diǎn)對稱，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因點(diǎn)和關(guān)于平面對稱，所以點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)評】解決空間點(diǎn)的對稱問題，一要借助空間想象，二要從它們在坐標(biāo)平面的射影找關(guān)系，再類比平面直角坐標(biāo)系中的對稱關(guān)系．變式1：平行四邊形的兩個頂點(diǎn)的的坐標(biāo)為，對角線的交點(diǎn)為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【解析】由已知得線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)也是，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式易得，．題型三：利用空間兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問題例題3：已知點(diǎn)A在y軸，點(diǎn)B(0，1，2)且，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ．【解析】由題意設(shè)A(0，y，0)，則，解得：y=0或y=2，故點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，0，0)或(0，2，0)．【點(diǎn)評】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，待定系數(shù)求解．題型四、綜合運(yùn)用XAYBOZP例題4：如圖，已知點(diǎn)，對于軸正半軸上任意一點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．XAYBOZP【解題思路】轉(zhuǎn)化為距離問題，即證明．【解析】設(shè)，對于軸正半軸上任意一點(diǎn)，假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使得恒成立，則．，即，解得：．所以存在這樣的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為時，恒成立．【點(diǎn)評】類比平面直角坐標(biāo)系中的勾股定理，在空間直角坐標(biāo)系中，利用距離可以證明垂直問題．例題5：已知球面，與點(diǎn)，則球面上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的最大值與最小值分別是．【解析】球心，，球面上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的最大值與最小值分別是9和3．【點(diǎn)評】類比平面直角坐標(biāo)系中，求圓外一定點(diǎn)到圓上動點(diǎn)距離的最大值和最小值方法．【方法與技巧總結(jié)】1、解決空間點(diǎn)的對稱問題,一要借助空間想象,二要從它們在坐標(biāo)平面的射影找關(guān)系,注意數(shù)形結(jié)合；2、解決空間點(diǎn)的距離問題可以類比到平面直角坐標(biāo)系．【鞏固練習(xí)】1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，給定點(diǎn)，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則＝（）A．2B．4C．D．3．已知空間直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的直線上的動點(diǎn)，則兩點(diǎn)的最短距離是（）A．B．C．3D．4．在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．5．已知點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，則線段的長等于．6．點(diǎn)到軸的距離為．7．如圖，長方體OABC–D′A′B′C′中，OA=3，OC=4，OD′=3，A′B與AB′相交于點(diǎn)P，分別寫出點(diǎn)C、B′、P的坐標(biāo)．8．如圖，正方體ABCD–A1B1C1D1，E、F分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)，棱長為1，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)和B1關(guān)于原點(diǎn)D的對稱點(diǎn)坐標(biāo)．9．在yOz平面上求與三個已知點(diǎn)A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C(0，5，1)等距離的點(diǎn)的坐標(biāo)．10．對于任意實(shí)數(shù)，求的最小值．鞏固練習(xí)答案1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】B，因?yàn)辄c(diǎn)B在平面內(nèi)的直線上，故可設(shè)點(diǎn)B為，所以，所以當(dāng)時，AB取得最小值，此時點(diǎn)B為．4．【答案】5．【答案】56．【解析】借助長方體來思考，以點(diǎn)為長方體對角線的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為長方體一條面對角線的長度，其值為．7．【解析】C在y軸正半軸上，坐標(biāo)C(0，4，0)，B′的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)相同，縱坐標(biāo)與C點(diǎn)相同，豎坐標(biāo)與D′點(diǎn)相同，所以B′（3，4，3）．P為正方形的對角線交點(diǎn)，坐標(biāo)為．8．【解析】由B(1，1，0)，B1(1，1，1)，則中點(diǎn)E為，由B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，則中點(diǎn).設(shè)B1關(guān)于點(diǎn)D的對稱點(diǎn)M(x0，y0，z0)，即D為B1M的中點(diǎn)，因?yàn)镈(0，0，0)，所以，所以M(–1，–1，–1)．9．【解析】設(shè)P(0，y，z)，由題意所以即，所以，所以P的坐標(biāo)是(0，1，–2)．10．【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，表示空間點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和，它的最小值就是點(diǎn)與點(diǎn)之間的線段長，所以的最小值為．【課后作業(yè)】1．點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．2．已知，記到軸的距離為，到軸的距離為，到軸的距離為，則（）A．B．C．D．3．三棱錐中，此三棱錐的體積為（）A．1B．2C．3D．64．設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則|AB|等于（）A．10B．C．D．385．已知，當(dāng)兩點(diǎn)間距離取得最小值時，的值為（）A．19B．C．D．6．點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則=．7．正方體不在同一表面上的兩頂點(diǎn)P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），則正方體的體積是．8．已知正四棱柱的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則的坐標(biāo)為．課后作業(yè)答案1．【解析】兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變，選B．2．【解析】借助長方體來思考，、