ACourseinLogic主講人：何向東--進(jìn)入--邏輯學(xué)教程12/23/20221ACourseinLogic主講人：何向東--進(jìn)入--

莎士比亞在《威尼斯商人》里說(shuō)，有一位品貌出眾的富家姑娘叫鮑西霞，許多王孫公子為之傾倒，但她遵循已故父親的遺囑，必須猜匣為婚。鮑西霞身邊有金、銀、鉛三只匣子，其中只有一只匣子里放著她的肖像，這三只匣上面各刻著一句話：金匣子上刻的是“肖像不在此匣中”，銀匣子上刻了“肖像在金匣中”，鉛匣子上刻了“肖像不在此匣中”，這三句話只有一句是真話。誰(shuí)能根據(jù)這些情況猜中肖像放在哪只匣子里，她就嫁給誰(shuí)。這里，如果誰(shuí)能準(zhǔn)確地運(yùn)用排中思維，那他就是漂亮賢淑的鮑西霞的夫婿了。因?yàn)?，金匣上刻的話就是說(shuō)肖像不在金匣中，這與銀匣上刻的“肖像在金匣中”正好構(gòu)成矛盾關(guān)系，兩者必有一真。為了確保只有一句真話，那么鉛匣上的“肖像不在此匣中”必須是假話，由此可以判定鮑西霞的肖像就在鉛匣中。

12/23/2022212/21/20222第一章緒論第一節(jié)邏輯學(xué)的對(duì)象第一章緒論第一節(jié)邏輯學(xué)的對(duì)象“邏輯”的含義“邏輯”是一個(gè)外來(lái)詞，它是英文Logic的音譯，而英文Logic又源于希臘文λσγοs（邏各斯），其原意是指思想、言辭、理性、規(guī)律性等?！斑壿嫛背Ｒ?jiàn)的四種含義：1、指客觀事物的規(guī)律。例如：“搗蛋，失敗，再搗蛋，再失敗，直至滅亡——這是帝國(guó)主義和世界上一切反動(dòng)派對(duì)待人民事業(yè)的邏輯。”2、指某種特殊的理論、觀點(diǎn)或看問(wèn)題的方法。例如：“侵略者奉行的是強(qiáng)盜邏輯”3、指思維的規(guī)律、規(guī)則。例如：“寫(xiě)文章要講邏輯”，

“概念要明確，判斷要恰當(dāng)，推理要合乎邏輯?！?、指邏輯學(xué)這門科學(xué)。例如：“大學(xué)生要學(xué)點(diǎn)邏輯”12/23/20224“邏輯”的含義“邏輯”是一個(gè)外來(lái)詞，它是英文Logic的音思維思維的三種類型：概念、命題、推理。思維的主要特點(diǎn)：1、思維的概括性指思維能反映事物共有的本質(zhì)屬性。如：“商品”這一概念，就是人們對(duì)“用來(lái)交換的勞動(dòng)產(chǎn)品”這一類事物共有的本質(zhì)屬性的反映。2、思維的間接性指思維能夠在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)那些僅憑感性認(rèn)識(shí)不能或難以真正認(rèn)識(shí)的事物。思維是認(rèn)識(shí)的理性階段，在這個(gè)階段，人們?cè)诟行哉J(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，形成概念，并用其構(gòu)成判斷（命題）、推理和論證。12/23/20225思維思維的三種類型：概念、命題、推理。思維是認(rèn)識(shí)的理性階段，思維和語(yǔ)言思維和語(yǔ)言的關(guān)系：

1、思維對(duì)客觀事物概括而間接的反映,是通過(guò)語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)的。2、作為思維類型的概念、命題、推理，必須依靠相應(yīng)的語(yǔ)言單位才能表達(dá)和交流。語(yǔ)言是思維的物質(zhì)外殼。3、語(yǔ)言也離不開(kāi)思維，沒(méi)有思維也就沒(méi)有語(yǔ)言，語(yǔ)言的發(fā)展依賴于思維的發(fā)展。語(yǔ)言的分類：自然語(yǔ)言和人工語(yǔ)言自然語(yǔ)言是人們?cè)谒季S和交際中使用的語(yǔ)言；人工語(yǔ)言是為了某種目的而創(chuàng)制的表意符號(hào)系統(tǒng)。

如：自然語(yǔ)言“如果天氣好，那么我們就去爬山?！笨捎萌斯ふZ(yǔ)言“p→q”表示。12/23/20226思維和語(yǔ)言思維和語(yǔ)言的關(guān)系：12/21/20226邏輯學(xué)的研究對(duì)象狹義的邏輯：

指研究推理形式的科學(xué)。廣義的邏輯：

就是研究思維的形式及其規(guī)律以及邏輯方法的科學(xué)。廣義的邏輯除研究推理形式外，也研究與推理形式相關(guān)的各種命題形式、詞項(xiàng)及其種類、關(guān)系、定義、劃分等；還研究認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)的一些邏輯方法以及邏輯理論的應(yīng)用。思維的內(nèi)容與形式：思維包括內(nèi)容和形式兩個(gè)方面。思維的內(nèi)容：當(dāng)事物及其性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律反映在思維之中，就構(gòu)成了思維的內(nèi)容。

例如：“貨幣”具有“固定充當(dāng)一般等價(jià)物的商品”的性質(zhì)，就形成了“貨幣是固定充當(dāng)一般等價(jià)物的商品”這一命題的內(nèi)容。思維的形式：思維在抽象掉具體內(nèi)容之后所具有的共同結(jié)構(gòu)，思維的形式又叫思維的邏輯形式。下面的三個(gè)命題，內(nèi)容各不相同：12/23/20227邏輯學(xué)的研究對(duì)象狹義的邏輯：指研究推理形式的科學(xué)。12/2(1)所有大學(xué)生都是學(xué)生。(2)所有金屬都是導(dǎo)電體。(3)所有商品都是用來(lái)交換的勞動(dòng)產(chǎn)品。但這三個(gè)命題有共同的邏輯形式:所有S都是P(1)如果物體發(fā)熱，那么物體就會(huì)膨脹。(2)如果明天天氣好，那么我就去郊游。

上面兩個(gè)命題也有共同的邏輯形式:如果p，那么qSPpq12/23/20228(1)所有大學(xué)生都是學(xué)生。SPpq12/21/20228（1）所有公民都是遵紀(jì)守法的人，有的人是公民，所以，有的人是遵紀(jì)守法的人。（2）所有科學(xué)都是有價(jià)值的，有的理論是科學(xué)，所以，有的理論是有價(jià)值的。這兩個(gè)推理的內(nèi)容不同，但有相同的邏輯形式:所有M是P，有S是M，所以，有S是P。所以：不同的思維內(nèi)容可以有相同的思維形式。邏輯學(xué)重點(diǎn)研究的是思維的邏輯形式，任何邏輯形式都由邏輯常項(xiàng)和邏輯變項(xiàng)組成。邏輯常項(xiàng)：是指邏輯形式中不隨思維內(nèi)容變化而變化的部分。體現(xiàn)了邏輯形式的本質(zhì)特征，是區(qū)分不同種類的邏輯形式的唯一依據(jù)。邏輯變項(xiàng)：是指邏輯形式中可變的部分。命題：(1)所有的

S

都是

P(2)如果

p，那么

q

邏輯常項(xiàng)邏輯變項(xiàng)12/23/20229（1）所有公民都是遵紀(jì)守法的人，有的人是公民，所以，有的人是推理

邏輯學(xué)研究的是思維的邏輯形式，其主體是推理形式。邏輯學(xué)對(duì)詞項(xiàng)、命題的研究，都是服務(wù)于對(duì)推理的研究。推理是從一個(gè)或多個(gè)已知命題得出一個(gè)新命題的思維過(guò)程。得出的新命題叫結(jié)論，據(jù)以得出結(jié)論的命題叫前提。所有科學(xué)都是有價(jià)值的，有的理論是科學(xué)，所以，有的理論是有價(jià)值的。

或然性推理推理必然性推理演繹推理類比推理不完全歸納推理完全歸納推理前提結(jié)論推理12/23/202210推理邏輯學(xué)研究的是思維的邏輯形式，其主體是推推理的有效性演繹推理的有效性：如果在一個(gè)演繹推理中，當(dāng)所有前提為真時(shí)，其結(jié)論必然為真。則這類推理稱為形式正確的推理，又稱為有效的推理。例：(1)所有的金屬都是導(dǎo)電體,(2)所有宣傳品都是文藝作品。塑料是金屬,標(biāo)語(yǔ)是宣傳品。所以,塑料是導(dǎo)電體。所以，標(biāo)語(yǔ)是文藝作品。這兩個(gè)有效推理的形式為:所有M是P，

所有S是M，所以，所有S是P。正確推理只需要一個(gè)條件:推理符合規(guī)則,也就是推理形式正確，而與前提的真實(shí)性無(wú)關(guān)。盡管上述兩個(gè)推理的前提并不都是真實(shí)的。但從形式方面來(lái)講，其結(jié)論是由前提推出來(lái)的。因此，這個(gè)推理是正確(有效)的。歸納推理的有效性：歸納推理（不完全歸納）具有或然性,也就是講前提對(duì)結(jié)論只有一定強(qiáng)度的支持，當(dāng)前提為真，結(jié)論也可能是假的。歸納推理前提斷定的范圍越接近結(jié)論斷定的范圍，對(duì)結(jié)論的支持強(qiáng)度就越大。12/23/202211推理的有效性演繹推理的有效性：如果在一個(gè)演繹推理中，當(dāng)所有前邏輯的發(fā)展階段按邏輯學(xué)發(fā)展的歷程，邏輯可分為傳統(tǒng)邏輯和現(xiàn)代邏輯兩大階段。傳統(tǒng)邏輯包括傳統(tǒng)演繹邏輯和傳統(tǒng)歸納邏輯。其中傳統(tǒng)演繹邏輯主要指古希臘亞里士多德創(chuàng)立的詞項(xiàng)邏輯和斯多葛派奠定的命題邏輯；而傳統(tǒng)歸納邏輯是英國(guó)培根創(chuàng)建的，主要研究了實(shí)驗(yàn)科學(xué)中運(yùn)用的一些推理和方法。現(xiàn)代邏輯指從布爾開(kāi)始到如今以數(shù)理邏輯為主的邏輯理論,也分為現(xiàn)代演繹邏輯和現(xiàn)代歸納邏輯?，F(xiàn)代演繹邏輯以命題邏輯、謂詞邏輯為基礎(chǔ)內(nèi)容，包括集合論、證明論、遞歸論、模型論，也包括多值邏輯、模態(tài)邏輯等非標(biāo)準(zhǔn)邏輯，還包括問(wèn)題邏輯、規(guī)范邏輯等應(yīng)用邏輯?，F(xiàn)代歸納邏輯以兩個(gè)演算和概率論為工具，進(jìn)行形式化的處理，對(duì)歸納結(jié)論的概然性作出精確計(jì)算，求得前提對(duì)結(jié)論的支持強(qiáng)度的概率。傳統(tǒng)邏輯現(xiàn)代邏輯12/23/202212邏輯的發(fā)展階段按邏輯學(xué)發(fā)展的歷程，邏輯可分為傳統(tǒng)邏輯和現(xiàn)代邏第一章緒論第二節(jié)邏輯學(xué)的性質(zhì)及作用第一章緒論第二節(jié)邏輯學(xué)的性質(zhì)邏輯學(xué)的性質(zhì)全人類性基礎(chǔ)性工具性規(guī)范性各民族的語(yǔ)言所表達(dá)的思維形式，特別是推理形式是相同的，推出關(guān)系遵循的規(guī)律是相同的。這種性質(zhì)決定了邏輯學(xué)具有全人類性。任何學(xué)科都必須使用邏輯學(xué)，邏輯學(xué)是一門基礎(chǔ)性學(xué)科。二十世紀(jì)八十年代，聯(lián)合國(guó)教科文組織把邏輯學(xué)列為七大基礎(chǔ)學(xué)科之一。邏輯學(xué)提供的關(guān)于詞項(xiàng)、命題、推理、論辯、邏輯方法的理論，為人們學(xué)習(xí)、理解、掌握和研究其他科學(xué)提供了有力工具。邏輯學(xué)研究思維的形式結(jié)構(gòu)，具有很強(qiáng)的規(guī)范性。邏輯規(guī)律或規(guī)則，是人們進(jìn)行正確思維和成功交際必須遵循的規(guī)范。12/23/202214邏輯學(xué)的性質(zhì)邏輯學(xué)的性質(zhì)全人類性基礎(chǔ)性工具性規(guī)范邏輯學(xué)的作用1、學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，有助于培養(yǎng)和提高認(rèn)知自學(xué)能力

①樹(shù)立終身教育理念，不斷學(xué)習(xí)，是現(xiàn)代社會(huì)對(duì)人們提出的共同要求，而邏輯思維能力直接決定認(rèn)知自學(xué)能力。②邏輯思維能力的重要表征之一是運(yùn)用符號(hào)尤其是人工語(yǔ)言的能力。通過(guò)對(duì)邏輯學(xué)的學(xué)習(xí)，能培養(yǎng)和提高對(duì)人工語(yǔ)言的運(yùn)用能力，提高邏輯思維能力。③邏輯學(xué)提供人們關(guān)于思維的邏輯形式正確性的知識(shí)。2、學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，有助于培養(yǎng)與提高理論素養(yǎng)

在學(xué)習(xí)型社會(huì)，每個(gè)人都應(yīng)提高其自身的理論素養(yǎng)，理論素養(yǎng)首要的是哲學(xué)素養(yǎng)。學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，可以培養(yǎng)我們的哲學(xué)素養(yǎng)，完善我們的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高我們的文化素質(zhì)。12/23/202215邏輯學(xué)的作用1、學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，有助于培養(yǎng)和提高認(rèn)知自學(xué)能力12邏輯學(xué)的作用3、學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，有助于培養(yǎng)和提高科學(xué)研究能力

科學(xué)研究需要理論素養(yǎng)，需要較強(qiáng)的認(rèn)知能力，尤其需要?jiǎng)?chuàng)新思維與創(chuàng)新能力，需要科學(xué)的方法和工具。邏輯學(xué)所提供的一系列理論、規(guī)律、方法，可以提高我們的認(rèn)知能力，使我們的思維更加敏捷，也給我們提供了科學(xué)研究的工具，促進(jìn)知識(shí)創(chuàng)新能力的提高。4、學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，有助于培養(yǎng)和提高思維素質(zhì)

思維素質(zhì)是人的基本素質(zhì)。邏輯學(xué)作為思維科學(xué)，專門研究思維的邏輯形式及規(guī)律，研究認(rèn)識(shí)事物的簡(jiǎn)單的邏輯方法，尤其是研究推理有效性的理論、規(guī)律與方法。學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，人們可以使思維得到規(guī)范，使思維更加敏捷，思維素質(zhì)大大提高。12/23/202216邏輯學(xué)的作用3、學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，有助于培養(yǎng)和提高科學(xué)研究能力12邏輯學(xué)的分類用12/23/202217邏輯學(xué)的分類用12/21/202217第一章緒論第三節(jié)邏輯學(xué)的研究與學(xué)習(xí)方法第一章緒論第三節(jié)邏輯學(xué)的研究方法非形式化的方法邏輯學(xué)的研究方法形式化的方法公理化方法自然演繹方法12/23/202219邏輯學(xué)的研究方法非形式化的方法邏輯學(xué)的研究方法形式化的方法公邏輯學(xué)的學(xué)習(xí)方法

1、明確邏輯學(xué)的對(duì)象，樹(shù)立形式化觀念。2、把握邏輯學(xué)的脈絡(luò)，突出學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。3、根據(jù)邏輯學(xué)的特點(diǎn)，注重方法的學(xué)習(xí)。4、認(rèn)識(shí)邏輯學(xué)的性質(zhì)，理論聯(lián)系實(shí)際。12/23/202220邏輯學(xué)的學(xué)習(xí)方法12/21/202220第一章緒論第四節(jié)邏輯學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史第一章緒論第四節(jié)邏輯學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史古希臘邏輯學(xué)古希臘哲學(xué)家、邏輯學(xué)家亞里士多德（前384----前322）在歷史上建立了第一個(gè)初級(jí)的演繹推理系統(tǒng)。亞里士多德主要研究的內(nèi)容:1、研究了關(guān)于概念和判斷的理論以及直言判斷和模態(tài)命題；2、提出了邏輯的三大思維規(guī)律：矛盾律、排中律、同一律；3、主要貢獻(xiàn)是對(duì)三段論的系統(tǒng)研究；4、總結(jié)了很多關(guān)于論證、反駁謬誤和詭辯的方法。12/23/202222古希臘邏輯學(xué)古希臘哲學(xué)家、邏輯學(xué)家亞里士多德（前384---傳統(tǒng)邏輯的發(fā)展斯多葛學(xué)派：發(fā)展了演繹邏輯，對(duì)命題理論有新的突破；在推論形式的多樣化、形式化也有進(jìn)展；對(duì)悖論作了一些研究。伊壁鳩魯派：提出了歸納法，發(fā)展了歸納理論。中世紀(jì)的研究成就：元邏輯的研究取得一定的成果；創(chuàng)立了推演學(xué)說(shuō)，研究了語(yǔ)義悖論及解決方法；邏輯學(xué)知識(shí)被高度重視，西班牙邏輯學(xué)家彼得的《邏輯大全》被各類學(xué)校廣泛采用。12/23/202223傳統(tǒng)邏輯的發(fā)展斯多葛學(xué)派：發(fā)展了演繹邏輯，對(duì)命題理論有新的突傳統(tǒng)邏輯的發(fā)展——西方邏輯學(xué)早期狀況英國(guó)哲學(xué)家培根系統(tǒng)地總結(jié)和研究了實(shí)驗(yàn)科學(xué)方法，奠定了歸納邏輯的基礎(chǔ)并使之蓬勃發(fā)展。其著作《新工具》主要內(nèi)容：1、提出了整理、分析、比較等科學(xué)歸納的“三表法”：“本質(zhì)和具有表”、“差異表”、“程度表”或“比較表”。2、提出了確定現(xiàn)象因果聯(lián)系的方法，初步建立了歸納推理的理論體系。英國(guó)哲學(xué)家穆勒提出了探求因果聯(lián)系的五種方法，也就是“穆勒五法”。12/23/202224傳統(tǒng)邏輯的發(fā)展——西方邏輯學(xué)早期狀況英國(guó)哲學(xué)家培根系統(tǒng)地總結(jié)邏輯學(xué)的現(xiàn)代概況17世紀(jì)末德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茨提出把邏輯推理變成數(shù)學(xué)演算的思想。英國(guó)邏輯學(xué)家漢密爾頓創(chuàng)立了謂項(xiàng)量化理論，使邏輯學(xué)向形式化邁出了新的一步。英國(guó)邏輯學(xué)家布爾建立了“邏輯代數(shù)”，首先實(shí)現(xiàn)萊布尼茲的設(shè)想。德國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家弗雷格較嚴(yán)格的構(gòu)建了一個(gè)邏輯演算系統(tǒng)。英國(guó)著名的哲學(xué)家、邏輯學(xué)家羅素建立了謂詞演算系統(tǒng)。羅素和懷特海在《數(shù)學(xué)原理》中總結(jié)了前人的成果，使數(shù)理邏輯成為一個(gè)新學(xué)科。12/23/202225邏輯學(xué)的現(xiàn)代概況17世紀(jì)末德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茨提出把邏邏輯學(xué)三項(xiàng)劃時(shí)代的重大成果1931年德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德?tīng)柼岢隽瞬煌耆远ɡ?，它證明了包括數(shù)論在內(nèi)的一致的形式系統(tǒng)都是不完全的，提出了形式系統(tǒng)的局限性。1933年波蘭邏輯學(xué)家塔爾斯基建立了邏輯語(yǔ)義學(xué)，在其理論中，區(qū)分了元語(yǔ)言和對(duì)象語(yǔ)言，確立了真謂詞的邏輯原則。1937年英國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家圖靈建立了“圖靈機(jī)理論”，第一次為人類提出了計(jì)算機(jī)應(yīng)用的理想模型，標(biāo)志著人工智能時(shí)代的到來(lái)。12/23/202226邏輯學(xué)三項(xiàng)劃時(shí)代的重大成果1931年德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德?tīng)柼岢隽瞬槐菊滦〗Y(jié)基本內(nèi)容邏輯學(xué)的基本概念、思維的內(nèi)容與形式。邏輯學(xué)的性質(zhì)，學(xué)習(xí)邏輯學(xué)的作用。邏輯學(xué)的研究方法以及學(xué)習(xí)方法。邏輯學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史。重難點(diǎn)思維的內(nèi)容與形式。有效(形式正確)的推理。形式化、公理化方法。12/23/202227本章小結(jié)基本內(nèi)容12/21/202227形式化方法形式化方法的作用:主要是能克服自然語(yǔ)言的歧義性。形式化方法的內(nèi)容:

1、把自然語(yǔ)言符號(hào)化，抽象和概括為形式語(yǔ)言。形式語(yǔ)言由兩部分組成：初始符號(hào)和形成規(guī)則。2、對(duì)直觀意義的推理關(guān)系進(jìn)行語(yǔ)形和語(yǔ)義的雙重刻畫(huà)。3、證明對(duì)推理關(guān)系的雙重刻畫(huà)的重合性。形式化方法是指用一套特制的符號(hào),去表示詞項(xiàng)、命題、推理，從而對(duì)詞項(xiàng)、命題、推理的形式的研究，轉(zhuǎn)化為對(duì)形式符號(hào)表達(dá)式系統(tǒng)的研究的方法。12/23/202228形式化方法形式化方法的作用:主要是能克服自然語(yǔ)言的歧義性。公理化方法公理系統(tǒng)是從一些公理出發(fā)，根據(jù)一定的規(guī)則，推演出一系列定理，它由初始概念、公理、定義、推理規(guī)則和定理構(gòu)成的演繹系統(tǒng)。建立公理化系統(tǒng)的具體步驟：1、把一組概念作為不加定義的初始概念，而其余概念叫導(dǎo)出概念，它們都由初始概念通過(guò)定義引入。2、從一組不加證明的公理出發(fā)，通過(guò)邏輯推理規(guī)則可推演出一系列的命題，這些命題叫定理，其推理過(guò)程叫證明。公理化方法是從初始概念和公理出發(fā)，利用它們定義其它一切概念以及推演出其它一切定理的演繹方法，也就是運(yùn)用形式化手段建立公理系統(tǒng)的方法。12/23/202229公理化方法公理系統(tǒng)是從一些公理出發(fā)，根據(jù)一定的規(guī)則，推演出一自然演繹方法自然演繹方法與公理化方法的不同點(diǎn)：（1）沒(méi)有公理；（2）只有推演規(guī)則；（3）系統(tǒng)的建立，以接近日常推理為考慮的重點(diǎn)。自然演繹方法是一種強(qiáng)調(diào)推理規(guī)則的重要性，既可以從真前提推出真語(yǔ)句，也可從假設(shè)得出推斷的形式化方法。12/23/202230自然演繹方法自然演繹方法與公理化方法的不同點(diǎn)：自然演繹方法是12/23/20223112/21/202231第二章命題邏輯第一節(jié)命題邏輯概述12/23/202232第二章命題邏輯第一節(jié)12/21/202232命題（1）西南大學(xué)在重慶。（2）閃光的東西都是金子。（3）如果小王有作案動(dòng)機(jī)，那么他就會(huì)作案。符合實(shí)際的命題是真命題，不符合實(shí)際的命題是假命題。上述（1）是真命題;而（2）、（3）是假命題。命題是通過(guò)語(yǔ)句來(lái)反映事物情況的思維形態(tài)。例如：命題的主要特征：命題有真假12/23/202233命題（1）西南大學(xué)在重慶。命題是通過(guò)語(yǔ)句來(lái)反映事物情況的思維命題和語(yǔ)句首先，有的語(yǔ)句不能直接表達(dá)命題，如：（1）西南大學(xué)在重慶嗎?（2）請(qǐng)把門關(guān)上！一般來(lái)講：陳述句與反詰句可以直接表達(dá)命題。其次，同一命題可以用不同的語(yǔ)句來(lái)表達(dá)，如：“所有的鳥(niǎo)都會(huì)飛”與“沒(méi)有鳥(niǎo)不會(huì)飛”表達(dá)了相同的命題。

此外，同一命題可用不同的民族語(yǔ)言的語(yǔ)句來(lái)表達(dá)。再次，同一語(yǔ)句，可以表達(dá)不同的命題，如：小張將書(shū)還給小王，因?yàn)樗丶伊恕?/p>

任何命題都是通過(guò)語(yǔ)句來(lái)表達(dá)的，但語(yǔ)句和命題并非一一對(duì)應(yīng)：語(yǔ)句(陳述句和反詰句)有內(nèi)涵也有外延:語(yǔ)句的內(nèi)涵即它表達(dá)的命題；語(yǔ)句的外延即真、假這兩個(gè)真值。采用這種觀點(diǎn)的邏輯理論，稱為二值外延邏輯或經(jīng)典邏輯。邏輯學(xué)上所說(shuō)的命題，一般指這種或者為真或者為假的抽象語(yǔ)句。12/23/202234命題和語(yǔ)句首先，有的語(yǔ)句不能直接表達(dá)命題，如：任何命命題和判斷一個(gè)命題是否能成為判斷，與斷定者的知識(shí)、立場(chǎng)等有關(guān)。如：“杜甫是偉大的詩(shī)人”能否被斷定就與斷定者的知識(shí)水平有很大關(guān)系。充分假言命題被斷定是前后件的關(guān)系，而不是支命題。如：“如果物體受到摩擦，那么物體發(fā)熱”這個(gè)命題，我們既沒(méi)有斷定“物體受到摩擦”，也沒(méi)有斷定“物體發(fā)熱”，我們所斷定的只是前件是后件的充分條件。判斷：就是被斷定者斷定了的命題。判斷的主要特征：有所斷定。12/23/202235命題和判斷一個(gè)命題是否能成為判斷，與斷定者的知識(shí)、立場(chǎng)等有命題的分類模態(tài)命題命題非模態(tài)命題簡(jiǎn)單命題復(fù)合命題12/23/202236命題的分類模態(tài)命題命題非模態(tài)命題簡(jiǎn)單命題復(fù)合命題12/21/命題分析的層次將聯(lián)結(jié)詞所聯(lián)結(jié)的命題作為一個(gè)完整的單位來(lái)看待——研究關(guān)于聯(lián)結(jié)詞的推理(命題邏輯)深入到命題內(nèi)部，把命題分析為主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)——研究關(guān)于量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)的推理(傳統(tǒng)詞項(xiàng)邏輯)深入到命題內(nèi)部，把命題分析為個(gè)體詞、謂詞、量詞及聯(lián)結(jié)詞——研究關(guān)于量詞的推理(現(xiàn)代謂詞邏輯)把命題中包含的模態(tài)詞分析出來(lái)——研究關(guān)于模態(tài)詞的推理(模態(tài)邏輯)12/23/202237命題分析的層次將聯(lián)結(jié)詞所聯(lián)結(jié)的命題作為一個(gè)完整的單位來(lái)看待1邏輯語(yǔ)形學(xué)與邏輯語(yǔ)義學(xué)邏輯語(yǔ)形(語(yǔ)法)學(xué):研究符號(hào)與符號(hào)關(guān)系的邏輯理論。邏輯語(yǔ)義學(xué):研究符號(hào)及其解釋的邏輯理論，如:把p、q、r解釋為取真假值的命題變?cè)?，把∧、∨、→解釋為真值集上的運(yùn)算，把p∧q、p∨q、p→q解釋為真值函數(shù)的表達(dá)式。推理是由前提和結(jié)論組成的，前提和結(jié)論之間的關(guān)系稱為推出（推論、推理）關(guān)系。例如：

小王既有缺點(diǎn)，又有優(yōu)點(diǎn)，所以，小王有優(yōu)點(diǎn)。在推理中，前提是“小王既有缺點(diǎn)，又有優(yōu)點(diǎn)”，結(jié)論是“小王有優(yōu)點(diǎn)”，“所以”標(biāo)志前提和結(jié)論之間的推出關(guān)系。

推理形式：p且q，所以，q。邏輯學(xué)是從語(yǔ)形和語(yǔ)義兩個(gè)方面來(lái)研究推理的：(1)從前提和結(jié)論的形式方面進(jìn)行(2)從前提和結(jié)論的真假方面進(jìn)行

語(yǔ)形和語(yǔ)義對(duì)推出關(guān)系的雙重刻畫(huà)12/23/202238邏輯語(yǔ)形學(xué)與邏輯語(yǔ)義學(xué)邏輯語(yǔ)形(語(yǔ)法)學(xué):研究符號(hào)與符號(hào)關(guān)系第二章命題邏輯第二節(jié)復(fù)合命題及其推理12/23/202239第二章命題邏輯第二節(jié)12/21/202239負(fù)命題(1)并非選修邏輯的學(xué)生都是文科生。(2)這個(gè)班的學(xué)生不都學(xué)英語(yǔ)。(3)如果它是三角形，則內(nèi)角和等于180°，這個(gè)觀點(diǎn)不對(duì)。注：負(fù)命題的支命題可以是簡(jiǎn)單命題，也可以是復(fù)合命題。負(fù)命題的形式:?p。其中p稱為?的轄域。負(fù)命題的邏輯性質(zhì)：負(fù)命題的真假與被否定的命題的真假是相反的。負(fù)命題由否定聯(lián)結(jié)詞(如“并非”)聯(lián)結(jié)支命題而形成的復(fù)合命題。例如：12/23/202240負(fù)命題(1)并非選修邏輯的學(xué)生都是文科生。負(fù)命題由否定聯(lián)結(jié)詞負(fù)命題真值表：真值集合只有兩個(gè)元素｛T，F(xiàn)｝，其中T表示命題為真，而F表示命題為假。因此，可用列表的方式表示真值運(yùn)算的過(guò)程，這種表稱為真值表。真值函數(shù)：當(dāng)p在真值集合｛T，F(xiàn)｝上取真值后，p的真值也唯一確定。所以，p是p的函數(shù)，表達(dá)形式為f(p)=p，這種函數(shù)稱真值函數(shù)。的真值表如下：FT?pp

根據(jù)這個(gè)真值表，也可以給f(p)=p這個(gè)一元真值函數(shù)作如下定義：p為真當(dāng)且僅當(dāng)p為假；p為假當(dāng)且僅當(dāng)p為真。TF真值表的作用12/23/202241負(fù)命題真值表：真值集合只有兩個(gè)元素｛T，F(xiàn)｝，其中T表示命題負(fù)命題根據(jù)負(fù)命題的邏輯性質(zhì)，可對(duì)?p再否定得到??p，其真值與p相同，真值表如下：FTFTFT??p?pp由上真值表知，對(duì)任意公式A，有等值關(guān)系：A

??A負(fù)命題的推導(dǎo)規(guī)則:雙重否定引入規(guī)則（??+）：從A可推出A。圖示：A——??A雙重否定消去規(guī)則（??-）：從A可推出A。圖示：??A——A12/23/202242負(fù)命題根據(jù)負(fù)命題的邏輯性質(zhì)，可對(duì)?p再否定得到??p，其真值聯(lián)言命題（1）小張歌唱得好并且舞跳得好。（2）這樣建立的邏輯系統(tǒng)既有可靠性，又有完全性。聯(lián)言命題的形式：p并且q（p∧q）。p稱為∧的左轄域，q稱為∧的右轄域。p∧q是二元真值函數(shù)：f(p,q)=p∧q?！氖窃趦蓚€(gè)真值變?cè)猵和q上進(jìn)行運(yùn)算的二元運(yùn)算。聯(lián)言命題是由聯(lián)言聯(lián)結(jié)詞(如“并且”)聯(lián)結(jié)支命題而形成的復(fù)合命題，又稱合取命題。例如：12/23/202243聯(lián)言命題（1）小張歌唱得好并且舞跳得好。聯(lián)言命題是由聯(lián)言聯(lián)結(jié)FFTFFTTTp∧qqp從上表可以得出聯(lián)言命題的邏輯性質(zhì)：當(dāng)p、q同時(shí)為真時(shí)，p∧q才為真；只要p、q其中一個(gè)為假，則p∧q為假。合取詞∧的真值表TFFF由∧的真值表,可得出∧運(yùn)算的規(guī)律:（1）∧的交換律：p∧qq∧p（2）∧的結(jié)合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r（3）∧的重言（冪等）律：p∧pp12/23/202244FFTFFTTTp∧qqp從上表可以得出聯(lián)言命題的邏輯性質(zhì)：合取引入規(guī)則（∧+）：從A和B可推出A∧B。圖示如下：AB——A∧B合取消去規(guī)則（∧-）：從A∧B可推出A，從A∧B可推出B。圖示如下：A∧BA∧B————AB小張喜愛(ài)音樂(lè)，小張喜愛(ài)體育，所以，小張不但喜愛(ài)音樂(lè)，也喜愛(ài)體育。根據(jù)∧+作出一個(gè)形式正確的推理，推理形式為：p,q├p∧q。小張既有優(yōu)點(diǎn)，也有缺點(diǎn)，所以，小張是有優(yōu)點(diǎn)的。根據(jù)∧_作出一個(gè)形式正確的推理，推理形式為：p∧q├p。聯(lián)言命題的推導(dǎo)規(guī)則12/23/202245合取引入規(guī)則（∧+）：從A和B可推出A∧B。圖示如下：聯(lián)言命選言命題選言命題分為“相容選言命題”和“不相容選言命題”兩種。相容選言命題的選言支可以同時(shí)為真，如：(1)小王或者是班干部，或者是學(xué)生會(huì)干部(二者可以得兼)。(2)這份統(tǒng)計(jì)材料，或者是原始材料有錯(cuò)誤，或者是計(jì)算有錯(cuò)誤，或者兩種情況都存在。而不相容選言命題的選言支不能同時(shí)為真，如：(1)魚(yú)，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼。(2)要么選老王當(dāng)村長(zhǎng)，要么選小李當(dāng)村長(zhǎng)。

選言命題用選言聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)支命題而形成的復(fù)合命題。12/23/202246選言命題選言命題分為“相容選言命題”和“不相容選言命題”兩相容選言命題的形式：p或者q(p∨q)∨的真值表：相容選言命題的邏輯特征：相容選言命題為真，則它的選言支至少有一個(gè)為真；反過(guò)來(lái)講，當(dāng)選言命題至少有一個(gè)選言支為真，選言命題一定為真。FFTFFTTTp∨qqpTFTT相容選言命題及推理12/23/202247相容選言命題的形式：p或者q(p∨q)FFTFFTTTp∨q∨的運(yùn)算規(guī)律∧和∨的混合運(yùn)算規(guī)律(1)∧對(duì)∨的分配律:p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)。(2)∨對(duì)∧的分配律：p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)。(3)吸收律：p∧(p∨q)p；p∨(p∧q)p。(4)德·摩根律：?(p∧q)?p∨?q；?(p∨q)?p∧?q。(1)∨的交換律：p∨qq∨p，(2)∨的結(jié)合律：p∨(q∨r)(p∨q)∨r(3)∨的重言律：p∨p

p。12/23/202248∨的運(yùn)算規(guī)律(1)∧對(duì)∨的分配律:p∧(q∨r)(用真值表檢驗(yàn)德·摩根律：從上真值表，可得：?(p∧q)<=>?p∨?q應(yīng)用德·摩根律的實(shí)例:并非這件衣服物美(而且)價(jià)廉這件衣服或者物不美，或者價(jià)不廉。并非小李或者喜歡音樂(lè)，或者喜歡體育小李既不喜歡音樂(lè)，也不喜歡體育。TTFTTFFTTFFTTFTTFTFFTFFTFFTTp∨q(p∧q)p∧qqpqp12/23/202249用真值表檢驗(yàn)德·摩根律：TTFTTFFTTFFTTFTTFT析取消去規(guī)則(∨－)從A∨B和?A可推出B；從A∨B和?B可推出A。A∨BA∨B?A?B————BA（只討論有兩個(gè)選言支的選言命題，下同）析取消去規(guī)則的應(yīng)用實(shí)例：或者李某是嫌疑犯，或者王某是嫌疑犯(或者二者都是)；李某不是嫌疑犯；所以，王某是嫌疑犯。其推理形式為：

p∨q,?p├q肯定一個(gè)選言支，不能否定另一個(gè)選言支。下述推理形式均錯(cuò)誤：A∨B,A├?B；A∨B，B├?A規(guī)則：否定一個(gè)選言支，就要肯定另一個(gè)選言支。12/23/202250析取消去規(guī)則(∨－)規(guī)則：否定一個(gè)選言支，就要肯定另一個(gè)選析取引入規(guī)則(記為∨＋)：從A可推出A∨B；從B可推出A∨B。AB————A∨BA∨B析取引入規(guī)則的應(yīng)用實(shí)例：小王是醫(yī)生；所以，小王是醫(yī)生，或者小王是教師。其推理形式為：p├p∨q12/23/202251析取引入規(guī)則(記為∨＋)：12/21/202251FFTFFTTTpqqp的真值表的運(yùn)算規(guī)律的交換律：pqqP(qr)(pq)的結(jié)合律：prFTTF形式：要么p,要么q（pq）q＝df(p∨q)∧(p∧q)p不相容選言命題及推理邏輯性質(zhì)：不相容選言命題為真，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)選言支有且只有一個(gè)為真。12/23/202252FFTFFTTTpqqp的真值表的運(yùn)算規(guī)律的交換消去規(guī)則(記為_(kāi)):從AB和A可推出B；從AB和B可推出A；ABA——BABB——A從AB和

A可推出B；從AB和

B可推出A；AB

A——BAB

B——A12/23/202253消去規(guī)則(記為_(kāi)):從AB和A可推出B；從假言命題（1）如果寒潮到來(lái)，那么氣溫就會(huì)下降。（2）只有你去，我才放心。（3）人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人。在（1）、（2）中由“如果”、“只有”引出的支命題稱為前件，由“那么”、“才”引出的支命題稱為后件。假言命題的種類一、充分條件假言命題二、必要條件假言命題三、充分必要條件假言命題

假言命題是由假言聯(lián)結(jié)詞(如“如果，那么”、“只有，才”、“當(dāng)且僅當(dāng)”等)聯(lián)結(jié)支命題而形成的復(fù)合命題，例如：12/23/202254假言命題（1）如果寒潮到來(lái)，那么氣溫就會(huì)下降。假言命題是充分條件假言命題(1)如果你不斷地堅(jiān)持鍛煉，你的身體就會(huì)康復(fù)。(2)假如語(yǔ)言能創(chuàng)造財(cái)富，那么，夸夸其談的人就會(huì)成為世界上最富有的人。

充分條件假言命題的形式：如果p，那么q(p→q)在蘊(yùn)涵式p→q中，p稱為→的前件(左轄域)，q稱為→的后件(右轄域)。充分條件假言命題亦稱條件命題或者實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵命題,是用“如果，那么”等聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)前、后件形成的假言命題，例如：12/23/202255充分條件假言命題充分條件假言命題亦稱條件命題或者實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵命題→的真值表

充分條件假言命題的邏輯性質(zhì)是：除了前件為真而后件為假時(shí)充分條件假言命題是假的以外,在其它三種情況下,充分條件假言命題都是真的。FFTFFTTTp→qqpTTTF12/23/202256→的真值表FFTFFTTTp→qqpTTTF12/21/2必要條件假言命題

(1)只有由細(xì)菌引起的疾病，才能用抗生素治療。(2)我不去，除非你去。必要條件假言命題的形式：只有p,才q(p←q)用“只有，才”聯(lián)結(jié)前、后件形成的假言命題，例如：在蘊(yùn)涵式p←q中，p稱為←的前件(左轄域)，q稱為←的后件(右轄域)。12/23/202257必要條件假言命題

用“只有，才”聯(lián)結(jié)前、后件形成的假言命題，←的真值表必要條件假言命題的邏輯性質(zhì)是：除了前件為假而后件為真時(shí)充分條件假言命題是假的之外,其它情況下,充分條件假言命題都是真的。pqp←qTTTTFTFTFFFT12/23/202258←的真值表pqp←qTTTTFTFTFFFT12/21/2充分必要條件假言命題

(1)a和b平行,當(dāng)且僅當(dāng)它們的同位角相等。(2)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。充要條件假言命題的形式：p當(dāng)且僅當(dāng)q(pq)在充要條件式pq中，稱p為的前件(左轄域)，稱q為的后件(右轄域)。充分必要條件假言命題又稱雙條件命題，簡(jiǎn)稱充要條件假言命題，是用“當(dāng)且僅當(dāng)”等作為聯(lián)結(jié)詞的命題，例如：12/23/202259充分必要條件假言命題

充分必要條件假言命題又稱雙條件命題，簡(jiǎn)的真值表的邏輯性質(zhì)：當(dāng)p和q的真值相同時(shí)，pq的真值為真；當(dāng)p和q的真值不相同時(shí)，pq的真值為假。除上述已有規(guī)則外，→、←、還有一些運(yùn)算規(guī)律FFTFFTTTp

qqpFFTT12/23/202260的真值表FFTFFTTTpqqpFFTT12/21/關(guān)于→的推理規(guī)則(1)蘊(yùn)涵消去規(guī)則,也稱分離規(guī)則(略縮為M.P.)或肯定前件式(記為→_)從A→B和A可推出B。圖示：A→BA——B(2)否定后件式(略縮為M.T.)從A→B和B可推出A。圖示：

A→B

B——

A規(guī)則：肯定前件就要肯定后件規(guī)則：否定后件就要否定前件12/23/202261關(guān)于→的推理規(guī)則(1)蘊(yùn)涵消去規(guī)則,也稱分離規(guī)則(略縮為M.關(guān)于→的推理規(guī)則的應(yīng)用（1）如果甲方付給了定金,乙方就得按時(shí)發(fā)貨。甲方已付給了定金。所以乙方得按時(shí)發(fā)貨。其推理形式為：p→q，p├q（2）如果這部電影受觀眾歡迎，那么買票的人就多。買票的人不多。所以這部電影不受觀眾歡迎。其推理形式為：p→q,q├p規(guī)則：肯定前件就要肯定后件規(guī)則：否定后件就要否定前件12/23/202262關(guān)于→的推理規(guī)則的應(yīng)用（1）如果甲方付給了定金,乙方就得按時(shí)關(guān)于→的推理的錯(cuò)誤應(yīng)用在日常思維中，關(guān)于→的推理，容易發(fā)生的錯(cuò)誤是：從A→B和B推出A；從A→B和A推出B。例如如是小K是持槍殺人兇手，那么他肯定有槍。小K有槍。所以，他是持槍殺人兇手。如是小K是持槍殺人兇手，那么他肯定有槍。小K不是持槍殺人兇手。所以，他肯定沒(méi)有槍。為避免錯(cuò)誤，制定了這樣的規(guī)則：肯定后件不能肯定前件；否定前件不能否定后件。12/23/202263關(guān)于→的推理的錯(cuò)誤應(yīng)用在日常思維中，關(guān)于→的推理，容易發(fā)生的(2)肯定后件規(guī)則:從A←B和B可推出A圖示：

A←

BB——A(1)否定前件規(guī)則:從A←B和A可推出B圖示：A←

BA——B規(guī)則：否定前件就要否定后件規(guī)則：肯定后件就要肯定前件關(guān)于←的推理規(guī)則12/23/202264(2)肯定后件規(guī)則:從A←B和B可推出AA←B(1)關(guān)于←的推理規(guī)則應(yīng)用(1)只有你學(xué)習(xí)努力，才能取得好成績(jī)。你學(xué)習(xí)不努力，所以，你不能取得好成績(jī)。其推理形式為：p←q，p├q(2)除非發(fā)生了意外情況，這趟列車不會(huì)停在這個(gè)地方。它既然停在這個(gè)地方，可見(jiàn)，發(fā)生了意外情況。其推理形式為：p←q,q├p12/23/202265關(guān)于←的推理規(guī)則應(yīng)用(1)只有你學(xué)習(xí)努力，才能取得好成績(jī)。你關(guān)于←的推理的錯(cuò)誤應(yīng)用在日常思維中，關(guān)于←的推理的錯(cuò)誤應(yīng)用，容易發(fā)生的錯(cuò)誤是:從A←B和A推出B；從A←B和B推出A。例如:只有小A在作案現(xiàn)場(chǎng)，他才是殺人兇手。有人證明小A在作案現(xiàn)場(chǎng)，所以，小A是殺人兇手。只有小A在作案現(xiàn)場(chǎng)，他才是殺人兇手。小A不是殺人兇手，所以，小A不在作案現(xiàn)場(chǎng)。為避免錯(cuò)誤，制定了這樣的規(guī)則：肯定前件不能肯定后件；否定后件不能否定前件。12/23/202266關(guān)于←的推理的錯(cuò)誤應(yīng)用在日常思維中，關(guān)于←的推理的錯(cuò)誤應(yīng)用，關(guān)于的推理規(guī)則(1)等值引入規(guī)則(記為+)：從A→B和B→A可推出AB。圖示：A→BB→A——AB(2)等值消去規(guī)則(記為－)：從AB可推出A→B；從AB可推出B→A。圖示：AB——A→BAB——B→A12/23/202267關(guān)于的推理規(guī)則(1)等值引入規(guī)則(記為+)：從A→B和B其他常見(jiàn)的推理1.假言易位推理：A→B├┤B→A；A→B├┤B→A；A→B├┤B→A2.二難推理：簡(jiǎn)單構(gòu)成式：A→C,B→C,A∨B├C復(fù)雜構(gòu)成式：A→C,B→D,A∨B├C∨D簡(jiǎn)單破壞式：A→B,A→C,B∨C├A復(fù)雜破壞式：A→C,B→D,C∨D├A∨B3.假言三段論：A→B，B→C├A→C4.反三段論：(A∧B)→C├┤(A∧C)→B

(A∧B)→C├┤(B∧C)→A5.反證法：A→B，A→B├A6.歸謬法：A→B，A→B├A12/23/202268其他常見(jiàn)的推理1.假言易位推理：12/21/202268第二章命題邏輯第三節(jié)：

命題邏輯的自然演繹系統(tǒng)NP12/23/202269第二章命題邏輯第三節(jié)：12/21/202269自然演繹系統(tǒng)NP命題邏輯的自然演繹系統(tǒng)NP是由形式語(yǔ)言L′和一組推導(dǎo)（變形）規(guī)則構(gòu)成的。其中形式語(yǔ)言L′包括初始符號(hào)、形成規(guī)則和定義。一、初始符號(hào)(1)甲類符號(hào)：p1,p2,p3,…；(2)乙類符號(hào)：，∧，∨，→；(3)丙類符號(hào)：(，)。這些符號(hào)構(gòu)成的有窮長(zhǎng)的序列叫做符號(hào)串，例如:p,p∧q，p∨q,p→q；(p∧q)→r，p∧(q→r)，…其中p、p都稱p的子公式。

構(gòu)建命題邏輯的形式系統(tǒng)，可以采用公理化方法，也可采用自然演繹的方法。為接近人們的日常思維，現(xiàn)采用自然演繹的方法來(lái)構(gòu)建命題邏輯的一個(gè)形式系統(tǒng)NP。12/23/202270自然演繹系統(tǒng)NP命題邏輯的自然演繹系統(tǒng)NP是由形式語(yǔ)自然演繹系統(tǒng)NP二、形成規(guī)則(1)任何單個(gè)的命題變?cè)猵是合式公式；(2)如果A是合式公式，則A是合式公式；(3)如果A和B是合式公式，則A∧B、A∨B、A→B是合式公式；只有（1）----（3）形成的符號(hào)串是合式公式。三、定義：用來(lái)表示縮寫(xiě)的，定義兩邊的符號(hào)串可以相互代替。如：(AB)=df(A→B)∧(B→A)。形式語(yǔ)言L′的全體合式公式記為Form(L′)。形式語(yǔ)言L′是我們的研究對(duì)象，叫對(duì)象語(yǔ)言。討論對(duì)象語(yǔ)言的語(yǔ)言叫元語(yǔ)言或語(yǔ)法語(yǔ)言。形成規(guī)則的作用12/23/202271自然演繹系統(tǒng)NP二、形成規(guī)則NP系統(tǒng)的推導(dǎo)規(guī)則1.合取引入規(guī)則(記為∧+)：從A和B推出A∧B；2.合取消去規(guī)則(記為∧_):從A∧B推出A；從A∧B推出B；3.析取引入規(guī)則(記為∨+)：從A推出A∨B；從B推出A∨B；4.析取消去規(guī)則(記為∨_(tái)):從A∨B和A推出B；從A∨B和B推出A；5.蘊(yùn)涵引入規(guī)則(記為→+)：如果從公式集Γ和A推出B，則從Γ推出A→B；6.蘊(yùn)涵消去規(guī)則(記為→_)：從A→B和A推出B；7.否定消去規(guī)則(記為_(kāi))：如果從Γ和A推出B∧B，則從Γ推出A。又稱條件證明規(guī)則或演繹定理，是把從Γ推出A→B的推理轉(zhuǎn)化為從Γ和臨時(shí)的假設(shè)A推出B的推理。(即移出律)又稱間接證明或反證法，是把由Γ推出A的推理轉(zhuǎn)化為由Γ和臨時(shí)的假設(shè)A推出B∧B的推理。12/23/202272NP系統(tǒng)的推導(dǎo)規(guī)則1.合取引入規(guī)則(記為∧+)：又稱條件證明NP系統(tǒng)有前提的形式推演一個(gè)有窮的公式序列B1,B2,…，Bm是從前提集Γ(Γ不是空集)到結(jié)論B的有前提的形式推演，如果每一個(gè)公式Bi(1≤i≤m)滿足以下條件之一：(1)Bi∈Γ(即Bi是前提集Γ中的一個(gè)公式)；(2)Bi是一個(gè)據(jù)→+或-臨時(shí)引入的假設(shè)；(3)Bi是該序列中在前的若干公式應(yīng)用NP系統(tǒng)的推導(dǎo)規(guī)則得到的公式；(4)B=Bm。則我們稱Γ和B具有語(yǔ)法推出關(guān)系，B從Γ中可演繹的，或者說(shuō)，從?？梢酝瞥鯞，記為：Γ├NPB。12/23/202273NP系統(tǒng)有前提的形式推演一個(gè)有窮的公式序列B1,B2,NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系我們以T1，T2，…來(lái)給由基本推導(dǎo)規(guī)則確立的語(yǔ)法推出關(guān)系的編號(hào)，用(1)，(2)，…，(m)給形式推理過(guò)程中的公式序列中的每一個(gè)公式編號(hào)。T1A├A(肯定前提)(1)A前提A既是該序列的第1個(gè)公式，也是第m個(gè)公式(m=1)。T2A，B├A(肯定前提)T3A，B├B(1)AA1(2)BA2B是第2個(gè)公式，也是第m個(gè)公式(m=2)。12/23/202274NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系我們以T1，T2，…NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T4A，B├A∧BT5(a)A∧B├AT5(b)A∧B├BT6(a)A├A∨BT6(b)B├A∨BT7(a)A∨B,A├BT7(b)A∨B,B├AT8A→B,A├B12/23/202275NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T4A，B├A∧BNP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T8:A→B,A├B(1)A→BA1(2)AA2(3)B(1)，(2)，→_T9

(假言三段論，記為H.S.)：A→B，B→C├A→C(1)A→BA1(2)B→CA2(3)AH1(→+的假設(shè))(4)B(1)，(3)，→_(5)C(2)，(4)，→_(6)A→C(3)—(5)，→+(消去H1)12/23/202276NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T8:A→B,A├B12NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T10(雙重否定消去規(guī)則，記為_(kāi))：A├A(1)AA(2)AH（_的假設(shè)）(3)A∧A(1)，(2)，∧+(4)A(2)—(3)，_(消去H)T11(雙重否定引入規(guī)則，記為+):A├A(1)AA(2)AH（_的假設(shè)）(3)A(2)

，_(4)A∧A(1)，(3)，∧+(5)A(2)—(4)，_（消去H）12/23/202277NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T10(雙重否定消去規(guī)則，記NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T12A，Ａ├BT13Ａ，A├B只證T12：(1)AA1(2)AA2(3)A∨B(1),∨+(4)B(3)，(2)，∨_(tái)T14A→B，A→B├A(歸謬法，記為+)(1)A→BA1(2)A→BA2(3)AH1(_的假設(shè))(4)A(3)，_(5)B(1)，(4)，→_(6)B(2)，(4)，→_(7)B∧B(5)，(6)，∧+(8)A(3)—(7)，_（消去H1）12/23/202278NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T12A，Ａ├BNP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T15(a)A→B├B→A(假言易位)T15(b)B→A├A→B只證T１5(a)：(1)A→BA(2)BH1（→+的假設(shè)）(3)AH2(_的假設(shè))(4)A(3)，_(5)B(1)，(4)，→_(6)B∧B(2)，(5)，∧+(7)A(3)—(6)，_（消去H2）(8)B→A(2)—(7)，→+（消去H1）T15(c)A→B├┤B→AT15(d)A→B├┤B→A12/23/202279NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T15(a)A→B├NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系可證等價(jià)關(guān)系也稱演繹等值關(guān)系,如果A├B且B├A，A和B就具有可證等價(jià)關(guān)系，記為A≡B。據(jù)T15(a)和T15(b)，有如下可證等價(jià)關(guān)系：A→B≡B→A。可證等價(jià)置換規(guī)則(記為R．P．)：如果A≡B，則在A出現(xiàn)的公式C中(即A是C的子公式)，可以用B代替A，在B出現(xiàn)的公式C中(即B是C的子公式)，可以用A代替B。12/23/202280NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系可證等價(jià)關(guān)系12/21/20NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T16A→B，B├A(否定后件,記為M.T.)(1)A→BA1(2)BA2(3)B→A(1)，R．P．(4)A(2)，(3)，→_T17A∨B，A→C，B→C├C(二難推理,記為D.C.)(1)A∨BA1(2)A→CA2(3)B→CA3(4)CH1（_的假設(shè)）(5)A(2)，(4)，M．T．(6)B(1)，(5)，∨_(tái)(7)C(3)，(6)，→_(8)C∧C(4)，(7)，∧+(9)C(4)—(8)，_（消去H1）12/23/202281NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T16A→B，B├ANP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T18(a)

(A∧B)├┤A∨B(記為DeM.)T18(b)(A∨B)├┤A∧B(記為DeM.)T19(a)(A∨B)├AT19(b)(A∨B)├BT20(a)A├(A∧B)T20(b)B├(A∧B)12/23/202282NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T18(a)(A∧B)├NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T18(a)

(A∧B)├┤A∨B的證明先證(A∧B)├A∨B:(1)(A∧B)A(2)(A∨B)H1(_的假設(shè))(3)AH2(_的假設(shè))(4)A∨B(3)，∨+(5)(A∨B)∧(A∨B)(2),(4),∧+(6)A(3)—(5),_(消去H2)(7)BH3(_的假設(shè))(8)A∨B(7)，∨+(9)(A∨B)∧(A∨B)(2)，(8)，∧+(10)B(7)—(9)，_(消去H3)(11)A∧B(6)，(10),∧+(12)(A∧B)∧(A∧B)(1)，(11),∧+(13)A∨B(2)—(12)，_(消去H1)12/23/202283NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T18(a)(A∧B)├NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T18(a)

(A∧B)├┤A∨B的證明再證A∨B├(A∧B)：(1)A∨BA(2)(A∧B)H(_的假設(shè))(3)A∧B(2)，_(4)A(3)，∧_(5)B(3)，∧_(6)A(4)，+(7)B(1),(6),∨_(tái)(8)B∧B(5),(7),∧+(9)(A∧B)(2)—(8),_(消去H)12/23/202284NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T18(a)(A∧B)├NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系交換律T21(a)A∧B├┤B∧AT21(b)A∨B├┤B∨A結(jié)合律T22(a)A∨(B∨C)├┤(A∨B)∨CT22(b)A∧(B∧C)├┤(A∧B)∧C分配律T23(a)A∧(B∨C)├┤(A∧B)∨(A∧C)T23(b)A∨(B∧C)├┤(A∨B)∧(A∨C)12/23/202285NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系交換律12/21/20228NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系

T21(b)A∨B├┤B∨A的證明先證A∨B├B∨A(1)A∨BA(2)AH1(→+的假設(shè))(3)B∨A(2)，∨+(4)A→B∨A(2)—(3)，→+（消去H1）(5)BH2(→+的假設(shè))(6)B∨A(5)，∨+(7)B→B∨A(5)—(6)，→+（消去H2）(8)B∨A(1)，(4)，(7)，D.C.同理，可證B∨A├A∨B。12/23/202286NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系

T21(b)A∨B├┤NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T24(a)

A→B├┤(A∧B)T24(b)(Ａ→B)├┤A∧BT25(a)A→B├┤A∨B

(蘊(yùn)析律)T25(b)A∨B├┤A→ＢT26(a)(A∧B)├┤A→ＢT26(b)A∧Ｂ├┤(A→Ｂ)T27(a)A∧Ｂ├┤(A∨Ｂ)T27(b)A∨Ｂ├┤(A∧Ｂ)T28(b)A→B,A→C,B∨C├A(二難推理)T28(c)A→C，B→D，A∨B├B∨DT28(d)A→C，B→D，C∨D├A∨B12/23/202287NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T24(a)A→B├┤(NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T29(a)A∧B→C├┤A∧C→B(反三段論)T29(b)A∧B→C├┤B∧C→AT30A∧B→C├A→(B→C)(條件輸出)T31A→(B→C)├A∧B→C(條件輸入)T32A→(B→C)├┤B→(A→C)(條件互易)T33A→(B→C)├┤(A→B)→(A→C)T34A→(A→B)├┤A→B(條件融合)T35(a)A→B├A∧C→B∧C(前件附加)T35(b)A→B├A∨C→B∨CT35(c)A→B├(C→A)→(C→B)T36（A→B）→C├B→C12/23/202288NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T29(a)A∧B→C├NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T37A→B，B→A├AB(+)T38(a)AB├A→B(_)T38(b)AB├B→AT39A→C,B→C├A∧B→C(前件合取)T40A→B,A→C├A→B∧C(后件合取)T41A∧B→C├┤(A→C)∨(B→C)T42A∨B→C├┤(A→C)∧(B→C)T43A→B∧C├┤(A→B)∧(A→C)T44A→B∨C├┤(A→B)∨(A→C)……12/23/202289NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T37A→B，B→ANP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(一)如果不換8號(hào)上場(chǎng)（p），或者換12號(hào)上場(chǎng)(q)，甲隊(duì)的形勢(shì)不會(huì)好轉(zhuǎn)(r)。教練沒(méi)有換8號(hào)上場(chǎng)，也沒(méi)有換12號(hào)上場(chǎng)。所以，甲隊(duì)的形勢(shì)不會(huì)好轉(zhuǎn)。首先，將前提和結(jié)論形式化：A1：(p∨q)→rA2：p∧qB：r(1)(p∨q)→rA1(2)p∧qA2(3)(p∨q)(2)，DeM.(4)r(1)，(3)，→_12/23/202290NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(一)12/21/2NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(二)如果線段L有存在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，那么，如果這些點(diǎn)有長(zhǎng)度，則線段L將無(wú)窮長(zhǎng)，而且，如果這些點(diǎn)都沒(méi)有長(zhǎng)度,則線段L也不會(huì)有長(zhǎng)度。但是，一條線段既不會(huì)無(wú)窮長(zhǎng),也不會(huì)沒(méi)有長(zhǎng)度。所以L上不會(huì)有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。前題和結(jié)論符號(hào)化：A1：p→(q→r)∧(q→s)A2：r∧sB：p12/23/202291NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(二)12/21/2(1)p→(q→r)∧(q→s)A1(2)r∧sA2(3)pH（_的假設(shè))(4)p(3),_(5)(q→r)∧(q→s)(1)，(4)，→_(6)q→r(5),∧_(7)q→s(5),∧_(8)r(2),∧_(9)s(2),∧_(10)q(6),(8),M.T.(11)q(7),(9),M.T.(12)q∧q(10),(11),∧+(13)p(3)—(12)，_,(消去H)12/23/202292(1)p→(q→r)∧(q→s)A112NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(三)如果貨幣供應(yīng)量保持現(xiàn)狀，而貨幣需求量增加，則銀行利率就會(huì)上升。如果貨幣需求量增加導(dǎo)致銀行利率上升，則在銀行存款更被看好。主管部門已宣布貨幣供應(yīng)總是保持不變。因此，在銀行存款更被看好。A1：p∧q→rA2：(q→r)→sA3：pB：s12/23/202293NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(三)12/21/2NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(三)方法一：（1）p∧q→rA1（2）（q→r）→sA2（3）pA3(4)qH1（→+的假設(shè))(5)p∧q(3)，(4)，∧+(6)r(1)，(5)，→_(7)q→r(4)—(6)，→+(消去H1)(8)s(2)，(7)，→_12/23/202294NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(三)12/21/2NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(三)方法二：（1）p∧q→rA1（2）（q→r）→sA2（3）pA3 (4)sH（→_的假設(shè)) (5)（q→r）(2),(4)M.T. (6)q∧r(5),R.P. (7)r(6)，∧_ (8)(p∧q)(1),(7)M.T. (9)p∨q(8),R.P. (10)q(6)，∧_ (11)q(10),+ (12)p(9),(11),∨_(tái) (13)p∧p(3),(12),∧+(14)s(4)—(13),_(消去H)12/23/202295NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(三)12/21/2證明公式集不一致

包括邏輯矛盾的公式(命題)集稱為不相容(不一致,不協(xié)調(diào))的公式集.判定公式集｛A∨B→C，(A→C)→D，B∧D｝是否為不一致的公式集.(1)A∨B→CA1(2)C→DA2(3)A∧DA3(4)A(3)，∧_(5)D(3)，∧__(6)A∨B(4)，∨+(7)C(1)，(6)，→_(8)D(2)，(7)，→_(9)D∧D(5)，(8)，∧+故原公式集是不一致的公式集。12/23/202296證明公式集不一致

包括邏輯矛盾的公式(命題)集稱為不相容(不第二章命題邏輯第四節(jié)：命題邏輯有效性的判定12/23/202297第二章命題邏輯第四節(jié)：12/21/202297真值指派和真值賦值真值指派（簡(jiǎn)稱指派）：給每個(gè)命題變?cè)付ㄒ粋€(gè)真值的過(guò)程，記為ρ。從直觀上講，真值指派實(shí)質(zhì)上可看成是給構(gòu)成復(fù)合命題的支命題（表示為命題變?cè)┲付ㄕ嬷档倪^(guò)程。ρ(p)=T（ρ(p)=F）就是把p解釋為一個(gè)真（假）命題。真值賦值（簡(jiǎn)稱賦值）:給定一個(gè)真值指派以后，給每個(gè)公式確定一個(gè)唯一的真值的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程稱為由該真值指派導(dǎo)出的真值賦值，記為δ。公式A在賦值δ下的值，記為δ(A)。真值指派ρ導(dǎo)出真值賦值δ，實(shí)質(zhì)上可看成由支命題（表示為命題變?cè)┑恼嬷荡_定復(fù)合命題（表示為公式）的真值的過(guò)程。12/23/202298真值指派和真值賦值真值指派（簡(jiǎn)稱指派）：給每個(gè)命題變?cè)付ㄒ恍问秸Z(yǔ)言L′的基本語(yǔ)義解釋設(shè)ρ為任一指派，δ是由ρ導(dǎo)出的賦值：(Ⅰ)對(duì)任何命題變?cè)猵，δ(p)=ρ(p)，其中ρ(p)已有定義。(Ⅱ)δ(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)δ(A)=F;(Ⅲ)δ(A∧B)=T當(dāng)且僅當(dāng)δ(A)=T并且δ(B)=T;(Ⅳ)δ(A∨B)=T當(dāng)且僅當(dāng)δ(A)=T或者δ(B)=T;(Ⅴ)δ(A→B)=T當(dāng)且僅當(dāng)δ(A)=F或者δ(B)=T。給定一個(gè)真值指派ρ:ρ(p)=T,ρ(q)=F,ρ(r)=T,…。根據(jù)基本語(yǔ)義解釋，可以導(dǎo)出一個(gè)真值賦值δ,以確定由這些命題變?cè)獦?gòu)成的任何公式在δ下的真值。例如：δ(p)=F,δ(p∧r)=T,δ(p∨q→r)=T,δ(p∨r→q)=F，…。真值條件語(yǔ)義學(xué)：上述基本基本語(yǔ)義解釋，實(shí)質(zhì)上是以嚴(yán)格的形式陳述了真值表所表示的真值運(yùn)算或真值函數(shù)，陳述了命題變?cè)蜃庸脚c公式的真值對(duì)應(yīng)關(guān)系或真值條件聯(lián)系，因此，我們也把這種對(duì)形式語(yǔ)言L′所作的語(yǔ)義解釋，稱為真值條件語(yǔ)義學(xué)。形式語(yǔ)言L′的語(yǔ)義解釋，就是根據(jù)基本語(yǔ)義解釋來(lái)確定L′的全體公式的真值。12/23/202299形式語(yǔ)言L′的基本語(yǔ)義解釋設(shè)ρ為任一指派，δ是由ρ導(dǎo)出的重要的語(yǔ)義概念可滿足性：對(duì)任何公式A，如果存在賦值δ,使得δ(A)=T，則稱A是可滿足的。如果對(duì)任何賦值δ，都有δ(A)=F，則稱A為不可滿足的。協(xié)調(diào)性：對(duì)公式集Γ(Γ={A1,A2,…,An})中的任一公式Ai(i=1,2,…,n)，如果存在賦值δ,使得δ(Ai)=T，則稱公式集Γ是協(xié)調(diào)的。語(yǔ)義后承：設(shè)Γ是一個(gè)公式集，B是一個(gè)公式，如果對(duì)任何賦值δ都有：如果δ(Γ)=T(即δ（A1）=T，δ（A2